03Β. Ανάλογα ποσά
🎯 Αναγνωρίζω ανάλογα ποσά
1
Η τιμή \(y\) για \(x\) ίδια τετράδια είναι \(y=3x\). Είναι τα ποσά \(x\) και \(y\) ανάλογα;

Ο λόγος \(\frac{y}{x}\) είναι σταθερός και ίσος με \(3\), για \(x\neq0\).

Άρα τα ποσά είναι ανάλογα.

2
Σε έναν πίνακα έχουμε τα ζεύγη \((1,4)\), \((2,8)\), \((3,12)\). Είναι τα ποσά ανάλογα;

Υπολογίζουμε \(\frac{4}{1}=4\), \(\frac{8}{2}=4\), \(\frac{12}{3}=4\).

Ο λόγος είναι σταθερός, άρα τα ποσά είναι ανάλογα.

3
Σε έναν πίνακα έχουμε τα ζεύγη \((1,5)\), \((2,10)\), \((3,16)\). Είναι τα ποσά ανάλογα;

Οι λόγοι είναι \(5\), \(5\) και \(\frac{16}{3}\).

Οι λόγοι δεν είναι όλοι ίσοι, άρα τα ποσά δεν είναι ανάλογα.

4
Αν το ένα ποσό διπλασιάζεται και το άλλο επίσης διπλασιάζεται, είναι αυτό από μόνο του αρκετό για να συμπεράνουμε ότι τα ποσά είναι ανάλογα;

Για να είναι ανάλογα πρέπει ο λόγος των αντίστοιχων τιμών να είναι σταθερός για όλα τα ζεύγη.

Άρα ένα μόνο ζεύγος μεταβολών δεν αρκεί.

5
Η περίμετρος \(P\) ενός τετραγώνου και η πλευρά \(a\) του συνδέονται με \(P=4a\). Είναι ανάλογα ποσά;

Έχουμε \(\frac{P}{a}=4\), σταθερό.

Άρα η περίμετρος και η πλευρά είναι ανάλογα ποσά.

6
Το εμβαδόν \(E\) ενός τετραγώνου και η πλευρά \(a\) του συνδέονται με \(E=a^2\). Είναι ανάλογα ποσά;

Ο λόγος \(\frac{E}{a}=a\) δεν είναι σταθερός.

Άρα τα ποσά δεν είναι ανάλογα.

7
Η απόσταση \(s\) που διανύει όχημα με σταθερή ταχύτητα \(60\) km/h και ο χρόνος \(t\) συνδέονται με \(s=60t\). Είναι ανάλογα;

Ο λόγος \(\frac{s}{t}=60\) είναι σταθερός.

Άρα τα ποσά είναι ανάλογα.

8
Η σχέση \(y=2x+5\) εκφράζει ανάλογα ποσά;

Για ανάλογα ποσά ο τύπος πρέπει να έχει μορφή \(y=\alpha x\), χωρίς σταθερό πρόσθετο όρο.

Άρα η σχέση \(y=2x+5\) δεν εκφράζει ανάλογα ποσά.

🎯 Βρίσκω τον συντελεστή αναλογίας
9
Τα ποσά \(x\) και \(y\) είναι ανάλογα και για \(x=3\) έχουμε \(y=12\). Να βρείτε τον συντελεστή αναλογίας \(\alpha\).

Ισχύει \(y=\alpha x\), άρα \(12=3\alpha\).

Επομένως \(\alpha=4\).

10
Για ανάλογα ποσά ισχύει \(x=5\), \(y=35\). Να βρείτε τον συντελεστή αναλογίας.

\(\alpha=\frac{y}{x}=\frac{35}{5}\).

Άρα \(\alpha=7\).

11
Για ανάλογα ποσά ισχύει \(x=8\), \(y=20\). Να βρείτε τον συντελεστή αναλογίας.

\(\alpha=\frac{20}{8}\).

Άρα \(\alpha=\frac{5}{2}\).

12
Για ανάλογα ποσά ισχύει \(x=6\), \(y=9\). Να βρείτε τον συντελεστή αναλογίας.

\(\alpha=\frac{9}{6}\).

Άρα \(\alpha=\frac{3}{2}\).

13
Η σχέση είναι \(y=\alpha x\) και το σημείο \((4,28)\) ανήκει στη γραφική της παράσταση. Να βρείτε το \(\alpha\).

Αντικαθιστούμε \(x=4\), \(y=28\): \(28=4\alpha\).

Άρα \(\alpha=7\).

14
Η συνάρτηση \(y=\alpha x\) περνά από το σημείο \((10,5)\). Να βρείτε το \(\alpha\).

Έχουμε \(5=10\alpha\).

Άρα \(\alpha=\frac{1}{2}\).

15
Σε ανάλογα ποσά, όταν \(x=12\), \(y=3\). Να βρείτε τον συντελεστή αναλογίας.

\(\alpha=\frac{3}{12}\).

Άρα \(\alpha=\frac{1}{4}\).

16
Για μια αναλογία ισχύει \(y=0,8x\). Ποιος είναι ο συντελεστής αναλογίας;

Στη μορφή \(y=\alpha x\), ο αριθμός που πολλαπλασιάζει το \(x\) είναι ο συντελεστής αναλογίας.

Άρα \(\alpha=0,8\).

🎯 Συμπληρώνω πίνακες ανάλογων ποσών
17
Τα ποσά είναι ανάλογα με τύπο \(y=3x\). Να βρείτε τις τιμές του \(y\) για \(x=1,2,4,6\).

Πολλαπλασιάζουμε κάθε τιμή του \(x\) με \(3\).

Οι τιμές του \(y\) είναι \(3,6,12,18\).

18
Τα ποσά είναι ανάλογα με τύπο \(y=5x\). Να συμπληρώσετε τις τιμές για \(x=0,2,3,7\).

Υπολογίζουμε \(5x\).

Οι τιμές είναι \(0,10,15,35\).

19
Τα ποσά είναι ανάλογα και για \(x=2\) έχουμε \(y=8\). Να βρείτε τα \(y\) που αντιστοιχούν στα \(x=1,3,5\).

Από \(\frac{8}{2}=4\) βρίσκουμε \(y=4x\).

Για \(x=1,3,5\), έχουμε \(y=4,12,20\).

20
Τα ποσά είναι ανάλογα και για \(x=4\) έχουμε \(y=10\). Να βρείτε το \(y\) όταν \(x=8\).

Ο συντελεστής είναι \(\alpha=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}\).

Άρα \(y=\frac{5}{2}\cdot8=20\).

21
Τα ποσά είναι ανάλογα με \(\alpha=\frac{1}{2}\). Να βρείτε τα \(y\) για \(x=2,6,10,14\).

Ισχύει \(y=\frac{x}{2}\).

Οι τιμές είναι \(1,3,5,7\).

22
Τα ποσά είναι ανάλογα με τύπο \(y=0,4x\). Να βρείτε τα \(y\) για \(x=5,10,15,20\).

Πολλαπλασιάζουμε με \(0,4\).

Οι τιμές είναι \(2,4,6,8\).

23
Σε πίνακα ανάλογων ποσών έχουμε \(x=3,6,9\) και \(y=7,14,\ ?\). Να βρείτε την άγνωστη τιμή.

Ο λόγος είναι \(\frac{7}{3}\), άρα \(y=\frac{7}{3}x\).

Για \(x=9\), \(y=21\).

24
Σε πίνακα ανάλογων ποσών έχουμε \(x=4,\ ?,12\) και \(y=6,12,18\). Να βρείτε την άγνωστη τιμή του \(x\).

Ο συντελεστής είναι \(\alpha=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\).

Από \(12=\frac{3}{2}x\) βρίσκουμε \(x=8\).

🎯 Χρησιμοποιώ τον τύπο \(y=lpha x\)
25
Δίνεται η συνάρτηση \(y=4x\). Να βρείτε το \(y\) όταν \(x=7\).

Αντικαθιστούμε \(x=7\): \(y=4\cdot7\).

Άρα \(y=28\).

26
Δίνεται η συνάρτηση \(y=6x\). Να βρείτε το \(x\) όταν \(y=42\).

Λύνουμε \(42=6x\).

Άρα \(x=7\).

27
Δίνεται η συνάρτηση \(y=\frac{3}{2}x\). Να βρείτε το \(y\) όταν \(x=8\).

Έχουμε \(y=\frac{3}{2}\cdot8\).

Άρα \(y=12\).

28
Δίνεται η συνάρτηση \(y=0,25x\). Να βρείτε το \(y\) όταν \(x=40\).

Υπολογίζουμε \(0,25\cdot40\).

Άρα \(y=10\).

29
Δίνεται η συνάρτηση \(y=2,5x\). Να βρείτε το \(x\) όταν \(y=20\).

Λύνουμε \(2,5x=20\).

Άρα \(x=8\).

30
Δίνεται η συνάρτηση \(y=\frac{x}{4}\). Να βρείτε το \(x\) όταν \(y=6\).

Έχουμε \(\frac{x}{4}=6\).

Άρα \(x=24\).

31
Δίνεται η συνάρτηση \(y=7x\). Για ποια τιμή του \(x\) έχουμε \(y=63\);

Λύνουμε \(7x=63\).

Άρα \(x=9\).

32
Η συνάρτηση είναι \(y=1,2x\). Να βρείτε το \(y\) για \(x=15\).

Υπολογίζουμε \(1,2\cdot15\).

Άρα \(y=18\).

🎯 Ελέγχω σημεία και γραφική παράσταση
33
Να εξετάσετε αν το σημείο \((3,12)\) ανήκει στη γραφική παράσταση της \(y=4x\).

Για \(x=3\), ο τύπος δίνει \(y=4\cdot3=12\).

Άρα το σημείο ανήκει στη γραφική παράσταση.

34
Να εξετάσετε αν το σημείο \((5,18)\) ανήκει στη γραφική παράσταση της \(y=4x\).

Για \(x=5\), παίρνουμε \(y=20\).

Επειδή \(18\neq20\), το σημείο δεν ανήκει.

35
Η γραφική παράσταση της \(y=3x\) περνά από την αρχή των αξόνων;

Για \(x=0\), έχουμε \(y=0\).

Άρα περνά από το σημείο \(O(0,0)\).

36
Ποια από τα σημεία \((1,2)\), \((2,4)\), \((3,7)\) ανήκουν στη γραφική παράσταση της \(y=2x\);

Ελέγχουμε: \(2=2\cdot1\), \(4=2\cdot2\), ενώ \(7\neq2\cdot3\).

Ανήκουν τα \((1,2)\) και \((2,4)\).

37
Η ευθεία μιας συνάρτησης \(y=\alpha x\) περνά από το σημείο \((6,18)\). Να βρείτε το \(\alpha\).

Έχουμε \(18=6\alpha\).

Άρα \(\alpha=3\).

38
Η γραφική παράσταση της \(y=\frac{1}{2}x\) περιέχει το σημείο \((8,4)\);

Για \(x=8\), παίρνουμε \(y=\frac{1}{2}\cdot8=4\).

Άρα ναι, το σημείο ανήκει.

39
Μπορεί η γραφική παράσταση ανάλογων ποσών να είναι ευθεία που δεν περνά από την αρχή των αξόνων;

Στα ανάλογα ποσά ισχύει \(y=\alpha x\). Για \(x=0\), προκύπτει \(y=0\).

Άρα η ευθεία πρέπει να περνά από την αρχή των αξόνων.

40
Μια ευθεία περνά από τα σημεία \(O(0,0)\) και \(A(4,10)\). Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης ανάλογων ποσών που παριστάνει.

Ο συντελεστής είναι \(\alpha=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}\).

Άρα ο τύπος είναι \(y=\frac{5}{2}x\).

🎯 Λύνω προβλήματα με αναγωγή στη μονάδα
41
Τα \(4\) kg μήλα κοστίζουν \(12\) ευρώ. Πόσο κοστίζει \(1\) kg;

Διαιρούμε το συνολικό κόστος με τα κιλά: \(12:4=3\).

Το \(1\) kg κοστίζει \(3\) ευρώ.

42
Τα \(6\) τετράδια κοστίζουν \(18\) ευρώ. Πόσο κοστίζουν \(10\) ίδια τετράδια;

Ένα τετράδιο κοστίζει \(18:6=3\) ευρώ.

Άρα τα \(10\) τετράδια κοστίζουν \(10\cdot3=30\) ευρώ.

43
Τα \(5\) m ύφασμα κοστίζουν \(40\) ευρώ. Πόσο κοστίζουν \(8\) m;

Ένα μέτρο κοστίζει \(40:5=8\) ευρώ.

Άρα τα \(8\) m κοστίζουν \(64\) ευρώ.

44
Με \(3\) L χρώμα βάφουμε \(24\) m\(^2\). Πόσα m\(^2\) βάφουμε με \(5\) L, αν η κατανάλωση είναι σταθερή;

Με \(1\) L βάφουμε \(24:3=8\) m\(^2\).

Με \(5\) L βάφουμε \(5\cdot8=40\) m\(^2\).

45
Ένα αυτοκίνητο με σταθερή ταχύτητα διανύει \(180\) km σε \(3\) ώρες. Πόσα km διανύει σε \(5\) ώρες;

Σε \(1\) ώρα διανύει \(180:3=60\) km.

Σε \(5\) ώρες διανύει \(300\) km.

46
Για \(7\) ίδια εισιτήρια πληρώνουμε \(56\) ευρώ. Πόσο κοστίζουν \(4\) εισιτήρια;

Ένα εισιτήριο κοστίζει \(56:7=8\) ευρώ.

Άρα \(4\) εισιτήρια κοστίζουν \(32\) ευρώ.

47
Σε \(9\) λεπτά μια μηχανή παράγει \(63\) τεμάχια. Πόσα παράγει σε \(12\) λεπτά με σταθερό ρυθμό;

Σε \(1\) λεπτό παράγει \(63:9=7\) τεμάχια.

Σε \(12\) λεπτά παράγει \(84\) τεμάχια.

48
Τα \(8\) μπουκάλια χωρούν συνολικά \(12\) L. Πόσα λίτρα χωρούν \(14\) ίδια μπουκάλια;

Ένα μπουκάλι χωρά \(12:8=1,5\) L.

Άρα τα \(14\) μπουκάλια χωρούν \(21\) L.

🎯 Εφαρμόζω αναλογίες
49
Αν \(\frac{x}{5}=\frac{12}{15}\), να βρείτε το \(x\).

Κάνουμε χιαστί γινόμενα: \(15x=5\cdot12=60\).

Άρα \(x=4\).

50
Αν \(\frac{7}{x}=\frac{14}{10}\), να βρείτε το \(x\).

Κάνουμε χιαστί: \(7\cdot10=14x\).

Άρα \(70=14x\) και \(x=5\).

51
Αν \(\frac{3}{4}=\frac{x}{20}\), να βρείτε το \(x\).

Κάνουμε χιαστί: \(4x=60\).

Άρα \(x=15\).

52
Αν \(\frac{9}{6}=\frac{21}{x}\), να βρείτε το \(x\).

Κάνουμε χιαστί: \(9x=6\cdot21=126\).

Άρα \(x=14\).

53
Αν \(\frac{x}{8}=\frac{15}{20}\), να βρείτε το \(x\).

Κάνουμε χιαστί: \(20x=8\cdot15=120\).

Άρα \(x=6\).

54
Αν \(\frac{5}{2}=\frac{20}{x}\), να βρείτε το \(x\).

Κάνουμε χιαστί: \(5x=40\).

Άρα \(x=8\).

55
Αν \(\frac{4}{7}=\frac{12}{x}\), να βρείτε το \(x\).

Κάνουμε χιαστί: \(4x=84\).

Άρα \(x=21\).

56
Αν \(\frac{x}{9}=\frac{14}{21}\), να βρείτε το \(x\).

Κάνουμε χιαστί: \(21x=9\cdot14=126\).

Άρα \(x=6\).

🎯 Προβλήματα ανάλογων ποσών
57
Ένα κιλό ξηρών καρπών κοστίζει \(8\) ευρώ. Πόσο κοστίζουν \(3,5\) kg;

Το κόστος είναι ανάλογο με το βάρος: \(y=8x\).

Για \(x=3,5\), \(y=8\cdot3,5=28\) ευρώ.

58
Ένα όχημα κινείται με σταθερή ταχύτητα \(75\) km/h. Πόση απόσταση διανύει σε \(4\) ώρες;

Η απόσταση είναι \(s=75t\).

Για \(t=4\), \(s=300\) km.

59
Για μια συνταγή χρειάζονται \(250\) g αλεύρι για \(5\) μερίδες. Πόσο αλεύρι χρειάζεται για \(8\) μερίδες;

Ανά μερίδα χρειάζονται \(250:5=50\) g.

Για \(8\) μερίδες χρειάζονται \(400\) g.

60
Σε χάρτη κλίμακας, \(2\) cm αντιστοιχούν σε \(10\) km. Σε πόσα km αντιστοιχούν \(7\) cm;

Το \(1\) cm αντιστοιχεί σε \(5\) km.

Άρα τα \(7\) cm αντιστοιχούν σε \(35\) km.

61
Μια βρύση γεμίζει \(18\) L σε \(3\) λεπτά με σταθερή παροχή. Πόσα λίτρα γεμίζει σε \(8\) λεπτά;

Σε \(1\) λεπτό γεμίζει \(18:3=6\) L.

Σε \(8\) λεπτά γεμίζει \(48\) L.

62
Ένα πακέτο με \(6\) ίδιες μπαταρίες κοστίζει \(15\) ευρώ. Πόσο κοστίζουν \(10\) ίδιες μπαταρίες;

Μία μπαταρία κοστίζει \(15:6=2,5\) ευρώ.

Οι \(10\) μπαταρίες κοστίζουν \(25\) ευρώ.

63
Ένας εκτυπωτής τυπώνει \(45\) σελίδες σε \(3\) λεπτά με σταθερό ρυθμό. Πόσες σελίδες τυπώνει σε \(8\) λεπτά;

Σε \(1\) λεπτό τυπώνει \(15\) σελίδες.

Σε \(8\) λεπτά τυπώνει \(120\) σελίδες.

64
Ένα προϊόν κοστίζει \(4\) ευρώ το τεμάχιο. Αν διαθέτουμε \(36\) ευρώ, πόσα τεμάχια μπορούμε να αγοράσουμε;

Ισχύει \(y=4x\), όπου \(y\) το κόστος και \(x\) τα τεμάχια.

Από \(36=4x\) παίρνουμε \(x=9\) τεμάχια.

🎯 Μικτή εξάσκηση
65
Τα ποσά \(x,y\) είναι ανάλογα. Αν \(x=4\) και \(y=14\), να βρείτε τον τύπο που τα συνδέει.

Ο συντελεστής είναι \(\alpha=\frac{14}{4}=\frac{7}{2}\).

Άρα \(y=\frac{7}{2}x\).

66
Τα ποσά \(x,y\) είναι ανάλογα με συντελεστή \(\alpha=6\). Αν \(y=54\), να βρείτε το \(x\).

Ισχύει \(54=6x\).

Άρα \(x=9\).

67
Να εξετάσετε αν τα ζεύγη \((2,7)\), \((4,14)\), \((6,21)\) εκφράζουν ανάλογα ποσά.

Οι λόγοι είναι \(\frac72=\frac{14}{4}=\frac{21}{6}=\frac72\).

Άρα τα ποσά είναι ανάλογα.

68
Να εξετάσετε αν τα ζεύγη \((2,6)\), \((4,12)\), \((8,25)\) εκφράζουν ανάλογα ποσά.

Οι δύο πρώτοι λόγοι είναι \(3\), ενώ ο τρίτος είναι \(\frac{25}{8}\).

Άρα τα ποσά δεν είναι ανάλογα.

69
Η γραφική παράσταση της \(y=\alpha x\) περνά από το σημείο \((5,20)\). Να βρείτε το \(y\) όταν \(x=9\).

Από \(20=5\alpha\) παίρνουμε \(\alpha=4\). Άρα \(y=4x\).

Για \(x=9\), \(y=36\).

70
Ένα προϊόν πωλείται \(12\) ευρώ ανά τεμάχιο. Να γράψετε τον τύπο του κόστους \(y\) για \(x\) τεμάχια και να βρείτε το κόστος για \(7\) τεμάχια.

Ο τύπος είναι \(y=12x\).

Για \(x=7\), \(y=84\) ευρώ.

71
Αν μια ποσότητα \(y\) είναι ανάλογη του \(x\) και για \(x=10\) είναι \(y=6\), να βρείτε το \(y\) για \(x=25\).

Ο συντελεστής είναι \(\alpha=\frac{6}{10}=0,6\).

Άρα \(y=0,6\cdot25=15\).

72
Σε ανάλογα ποσά, όταν το \(x\) τριπλασιάζεται, τι συμβαίνει στο \(y\);

Στα ανάλογα ποσά ισχύει \(y=\alpha x\). Αν το \(x\) γίνει \(3x\), τότε το \(y\) γίνεται \(3\alpha x\).

Άρα και το \(y\) τριπλασιάζεται.

Τέλος