03Α. Η έννοια της συνάρτησης
🎯 Αναγνωρίζω πότε μια σχέση είναι συνάρτηση
1
Σε κάθε μαθητή μιας τάξης αντιστοιχίζουμε το ύψος του. Η αντιστοίχιση αυτή είναι συνάρτηση;

Κάθε μαθητής έχει μία μόνο συγκεκριμένη τιμή ύψους τη δεδομένη στιγμή.

Άρα η αντιστοίχιση είναι συνάρτηση.

2
Σε κάθε φυσικό αριθμό \(x\) αντιστοιχίζουμε τον αριθμό \(x+4\). Είναι συνάρτηση;

Για κάθε τιμή του \(x\) ο τύπος \(x+4\) δίνει μία μόνο τιμή.

Άρα η αντιστοίχιση είναι συνάρτηση.

3
Σε κάθε πραγματικό αριθμό \(x\) αντιστοιχίζουμε τους δύο αριθμούς \(x+1\) και \(x-1\). Είναι συνάρτηση;

Στην ίδια τιμή του \(x\) αντιστοιχούν δύο διαφορετικές τιμές.

Άρα η αντιστοίχιση δεν είναι συνάρτηση.

4
Σε κάθε θετικό αριθμό \(x\) αντιστοιχίζουμε το τετράγωνό του \(x^2\). Είναι συνάρτηση;

Κάθε θετικό \(x\) έχει ένα μόνο τετράγωνο.

Άρα η αντιστοίχιση είναι συνάρτηση.

5
Σε κάθε παιδί μιας οικογένειας αντιστοιχίζουμε την ηλικία του. Είναι συνάρτηση;

Κάθε παιδί έχει μία μόνο ηλικία σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή.

Άρα η αντιστοίχιση είναι συνάρτηση.

6
Σε κάθε αριθμό \(x\) αντιστοιχίζουμε έναν αριθμό \(y\) που ικανοποιεί \(y^2=x\). Για \(x=9\), η σχέση αυτή ορίζει συνάρτηση;

Για \(x=9\) υπάρχουν δύο τιμές, \(y=3\) και \(y=-3\).

Άρα με αυτή τη διατύπωση η σχέση δεν ορίζει συνάρτηση.

7
Σε κάθε ημέρα μιας εβδομάδας αντιστοιχίζουμε τη μέγιστη θερμοκρασία της ημέρας. Είναι συνάρτηση;

Για κάθε συγκεκριμένη ημέρα υπάρχει μία καταγεγραμμένη μέγιστη θερμοκρασία.

Άρα η αντιστοίχιση είναι συνάρτηση.

8
Σε κάθε αριθμό \(x\) αντιστοιχίζουμε την απόλυτη τιμή του \(|x|\). Είναι συνάρτηση;

Η απόλυτη τιμή κάθε πραγματικού αριθμού είναι μοναδική.

Άρα η αντιστοίχιση είναι συνάρτηση.

🎯 Ξεχωρίζω ανεξάρτητη και εξαρτημένη μεταβλητή
9
Το κόστος \(y\) μιας αγοράς εξαρτάται από το πλήθος \(x\) των τετραδίων που αγοράζουμε. Ποια είναι η ανεξάρτητη και ποια η εξαρτημένη μεταβλητή;

Επιλέγουμε το πλήθος \(x\) των τετραδίων και από αυτό προκύπτει το κόστος \(y\).

Ανεξάρτητη μεταβλητή είναι το \(x\) και εξαρτημένη το \(y\).

10
Η απόσταση \(s\) που διανύει ένα ποδήλατο εξαρτάται από τον χρόνο \(t\). Να χαρακτηρίσετε τις μεταβλητές.

Ο χρόνος \(t\) είναι το μέγεθος που μεταβάλλεται ανεξάρτητα και η απόσταση \(s\) εξαρτάται από αυτόν.

Ανεξάρτητη μεταβλητή είναι το \(t\), εξαρτημένη το \(s\).

11
Το εμβαδόν \(E\) ενός τετραγώνου εξαρτάται από το μήκος \(x\) της πλευράς του. Ποια μεταβλητή είναι εξαρτημένη;

Το εμβαδόν υπολογίζεται από την πλευρά.

Εξαρτημένη μεταβλητή είναι το \(E\).

12
Η θερμοκρασία \(T\) ενός υγρού μεταβάλλεται με τον χρόνο \(t\). Ποια μεταβλητή είναι ανεξάρτητη;

Παρακολουθούμε τη θερμοκρασία καθώς αλλάζει ο χρόνος.

Ανεξάρτητη μεταβλητή είναι το \(t\).

13
Η περίμετρος \(P\) ενός ισόπλευρου τριγώνου εξαρτάται από την πλευρά \(a\). Να χαρακτηρίσετε τις μεταβλητές.

Η πλευρά \(a\) επιλέγεται και από αυτήν προκύπτει η περίμετρος \(P\).

Ανεξάρτητη είναι η \(a\), εξαρτημένη η \(P\).

14
Η χρέωση \(C\) ενός ταξί εξαρτάται από τα χιλιόμετρα \(x\). Ποια μεταβλητή εξαρτάται από την άλλη;

Η χρέωση υπολογίζεται με βάση τα χιλιόμετρα.

Η \(C\) εξαρτάται από το \(x\).

15
Ο όγκος \(V\) ενός κύβου εξαρτάται από την ακμή \(a\). Ποια είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή;

Η ακμή είναι η τιμή από την οποία υπολογίζεται ο όγκος.

Ανεξάρτητη μεταβλητή είναι η \(a\).

16
Η ποσότητα νερού \(Q\) σε μια δεξαμενή εξαρτάται από τον χρόνο \(t\) λειτουργίας μιας αντλίας. Ποια είναι η εξαρτημένη μεταβλητή;

Η ποσότητα νερού αλλάζει καθώς αλλάζει ο χρόνος λειτουργίας.

Εξαρτημένη μεταβλητή είναι η \(Q\).

🎯 Υπολογίζω τιμές συνάρτησης από τον τύπο
17
Δίνεται η συνάρτηση \(y=2x+3\). Να βρείτε την τιμή του \(y\) για \(x=4\).

Αντικαθιστούμε \(x=4\): \(y=2\cdot4+3\).

Άρα \(y=11\).

18
Δίνεται η συνάρτηση \(y=3x-2\). Να βρείτε την τιμή του \(y\) για \(x=5\).

Θέτουμε \(x=5\): \(y=3\cdot5-2\).

Άρα \(y=13\).

19
Δίνεται η συνάρτηση \(y=4x+1\). Να βρείτε την τιμή του \(y\) για \(x=-2\).

Αντικαθιστούμε \(x=-2\): \(y=4(-2)+1=-8+1\).

Άρα \(y=-7\).

20
Δίνεται η συνάρτηση \(y=x^2+2\). Να βρείτε την τιμή του \(y\) για \(x=3\).

Θέτουμε \(x=3\): \(y=3^2+2=9+2\).

Άρα \(y=11\).

21
Δίνεται η συνάρτηση \(y=5-x\). Να βρείτε την τιμή του \(y\) για \(x=-4\).

Αντικαθιστούμε \(x=-4\): \(y=5-(-4)\).

Άρα \(y=9\).

22
Δίνεται η συνάρτηση \(y=\frac{x}{2}+4\). Να βρείτε την τιμή του \(y\) για \(x=8\).

Θέτουμε \(x=8\): \(y=\frac{8}{2}+4=4+4\).

Άρα \(y=8\).

23
Δίνεται η συνάρτηση \(y=2x^2\). Να βρείτε την τιμή του \(y\) για \(x=-3\).

Έχουμε \(y=2(-3)^2=2\cdot9\).

Άρα \(y=18\).

24
Δίνεται η συνάρτηση \(y=10-3x\). Να βρείτε την τιμή του \(y\) για \(x=2\).

Αντικαθιστούμε: \(y=10-3\cdot2\).

Άρα \(y=4\).

🎯 Συμπληρώνω πίνακες τιμών
25
Για τη συνάρτηση \(y=x+2\), να βρείτε τις αντίστοιχες τιμές του \(y\) για \(x=0,1,2,3\).

Υπολογίζουμε διαδοχικά \(0+2\), \(1+2\), \(2+2\), \(3+2\).

Οι τιμές του \(y\) είναι \(2,3,4,5\).

26
Για τη συνάρτηση \(y=2x\), να βρείτε τις τιμές του \(y\) για \(x=-2,-1,0,1,2\).

Πολλαπλασιάζουμε κάθε τιμή του \(x\) με \(2\).

Οι τιμές του \(y\) είναι \(-4,-2,0,2,4\).

27
Για τη συνάρτηση \(y=3x+1\), να βρείτε τις τιμές του \(y\) για \(x=1,2,3,4\).

Υπολογίζουμε \(3x+1\) για κάθε δοσμένη τιμή.

Οι τιμές είναι \(4,7,10,13\).

28
Για τη συνάρτηση \(y=x^2\), να βρείτε τις τιμές του \(y\) για \(x=-2,-1,0,1,2\).

Υψώνουμε κάθε τιμή του \(x\) στο τετράγωνο.

Οι τιμές είναι \(4,1,0,1,4\).

29
Για τη συνάρτηση \(y=2x^2\), να βρείτε τις τιμές του \(y\) για \(x=0,1,2,3\).

Υπολογίζουμε \(2x^2\).

Οι τιμές είναι \(0,2,8,18\).

30
Για τη συνάρτηση \(y=6-x\), να βρείτε τις τιμές του \(y\) για \(x=0,2,4,6\).

Αντικαθιστούμε στον τύπο \(y=6-x\).

Οι τιμές είναι \(6,4,2,0\).

31
Για τη συνάρτηση \(y=\frac{x}{3}\), να βρείτε τις τιμές του \(y\) για \(x=0,3,6,9\).

Διαιρούμε κάθε τιμή του \(x\) με \(3\).

Οι τιμές είναι \(0,1,2,3\).

32
Για τη συνάρτηση \(y=2x-5\), να βρείτε τις τιμές του \(y\) για \(x=1,3,5,7\).

Αντικαθιστούμε κάθε τιμή στον τύπο.

Οι τιμές είναι \(-3,1,5,9\).

🎯 Βρίσκω τον τύπο από έναν απλό κανόνα
33
Σε έναν αριθμό \(x\) αντιστοιχίζουμε το διπλάσιό του. Να γράψετε τον τύπο της συνάρτησης.

Το διπλάσιο του \(x\) είναι \(2x\).

Άρα \(y=2x\).

34
Σε έναν αριθμό \(x\) αντιστοιχίζουμε τον αριθμό που είναι κατά \(5\) μεγαλύτερός του. Να γράψετε τον τύπο.

Προσθέτουμε \(5\) στην τιμή του \(x\).

Άρα \(y=x+5\).

35
Σε έναν αριθμό \(x\) αντιστοιχίζουμε το τριπλάσιό του μειωμένο κατά \(2\). Να γράψετε τον τύπο.

Το τριπλάσιο είναι \(3x\) και στη συνέχεια αφαιρούμε \(2\).

Άρα \(y=3x-2\).

36
Σε έναν αριθμό \(x\) αντιστοιχίζουμε το τετράγωνό του. Να γράψετε τον τύπο.

Το τετράγωνο του \(x\) είναι \(x^2\).

Άρα \(y=x^2\).

37
Σε έναν αριθμό \(x\) αντιστοιχίζουμε το μισό του αυξημένο κατά \(1\). Να γράψετε τον τύπο.

Το μισό του \(x\) είναι \(\frac{x}{2}\). Προσθέτουμε \(1\).

Άρα \(y=\frac{x}{2}+1\).

38
Σε έναν αριθμό \(x\) αντιστοιχίζουμε τη διαφορά \(12-x\). Να γράψετε τον τύπο της συνάρτησης.

Η λεκτική περιγραφή δίνει απευθείας τη διαφορά \(12-x\).

Άρα \(y=12-x\).

39
Σε έναν αριθμό \(x\) αντιστοιχίζουμε το τετραπλάσιό του αυξημένο κατά \(3\). Να γράψετε τον τύπο.

Το τετραπλάσιο είναι \(4x\) και προσθέτουμε \(3\).

Άρα \(y=4x+3\).

40
Σε έναν αριθμό \(x\) αντιστοιχίζουμε το διπλάσιο του τετραγώνου του. Να γράψετε τον τύπο.

Το τετράγωνο είναι \(x^2\) και το διπλάσιό του \(2x^2\).

Άρα \(y=2x^2\).

🎯 Βρίσκω τιμή του \(x\) από γνωστή τιμή του \(y\)
41
Στη συνάρτηση \(y=2x+1\), να βρείτε το \(x\) όταν \(y=11\).

Θέτουμε \(11=2x+1\).

Άρα \(2x=10\) και \(x=5\).

42
Στη συνάρτηση \(y=3x-4\), να βρείτε το \(x\) όταν \(y=17\).

Θέτουμε \(17=3x-4\).

Άρα \(3x=21\) και \(x=7\).

43
Στη συνάρτηση \(y=x+6\), να βρείτε το \(x\) όταν \(y=20\).

Έχουμε \(20=x+6\).

Άρα \(x=14\).

44
Στη συνάρτηση \(y=5x\), να βρείτε το \(x\) όταν \(y=35\).

Θέτουμε \(35=5x\).

Άρα \(x=7\).

45
Στη συνάρτηση \(y=4x-3\), να βρείτε το \(x\) όταν \(y=21\).

Θέτουμε \(21=4x-3\).

Άρα \(4x=24\) και \(x=6\).

46
Στη συνάρτηση \(y=\frac{x}{2}+2\), να βρείτε το \(x\) όταν \(y=8\).

Έχουμε \(8=\frac{x}{2}+2\), άρα \(\frac{x}{2}=6\).

Επομένως \(x=12\).

47
Στη συνάρτηση \(y=10-x\), να βρείτε το \(x\) όταν \(y=3\).

Θέτουμε \(3=10-x\).

Άρα \(x=7\).

48
Στη συνάρτηση \(y=x^2\), να βρείτε τις τιμές του \(x\) όταν \(y=25\).

Έχουμε \(x^2=25\).

Άρα \(x=5\) ή \(x=-5\).

🎯 Συνδέω τύπο, πίνακα και λεκτική περιγραφή
49
Μια συνάρτηση δίνεται από τον τύπο \(y=3x\). Πώς περιγράφεται λεκτικά η σχέση των \(x\) και \(y\);

Η τιμή του \(y\) προκύπτει πολλαπλασιάζοντας το \(x\) με \(3\).

Το \(y\) είναι το τριπλάσιο του \(x\).

50
Μια συνάρτηση περιγράφεται ως «στο \(x\) προσθέτουμε \(4\)». Ποιος είναι ο τύπος της;

Η διαδικασία είναι πρόσθεση του \(4\) στο \(x\).

Άρα \(y=x+4\).

51
Ένας πίνακας έχει ζεύγη \((1,5)\), \((2,7)\), \((3,9)\), \((4,11)\). Να βρείτε έναν απλό τύπο που τα επαληθεύει.

Παρατηρούμε ότι κάθε τιμή του \(y\) είναι \(2x+3\).

Άρα ο τύπος είναι \(y=2x+3\).

52
Ένας πίνακας έχει ζεύγη \((1,2)\), \((2,8)\), \((3,18)\), \((4,32)\). Να βρείτε έναν τύπο που τα επαληθεύει.

Οι τιμές είναι \(2\cdot1^2\), \(2\cdot2^2\), \(2\cdot3^2\), \(2\cdot4^2\).

Άρα ο τύπος είναι \(y=2x^2\).

53
Ένας πίνακας έχει ζεύγη \((0,6)\), \((1,5)\), \((2,4)\), \((3,3)\). Να βρείτε έναν απλό τύπο.

Καθώς το \(x\) αυξάνεται κατά \(1\), το \(y\) μειώνεται κατά \(1\), και για \(x=0\) είναι \(y=6\).

Άρα \(y=6-x\).

54
Η λεκτική περιγραφή είναι «η χρέωση είναι \(5\) ευρώ πάγιο και \(2\) ευρώ για κάθε μονάδα \(x\)». Να γράψετε τον τύπο.

Η μεταβλητή χρέωση είναι \(2x\) και προσθέτουμε το πάγιο \(5\).

Άρα \(y=2x+5\).

55
Ο τύπος μιας συνάρτησης είναι \(y=x^2+1\). Να δώσετε λεκτική περιγραφή.

Παίρνουμε το τετράγωνο του \(x\) και προσθέτουμε \(1\).

Το \(y\) είναι το τετράγωνο του \(x\) αυξημένο κατά \(1\).

56
Ένας πίνακας έχει ζεύγη \((2,1)\), \((4,2)\), \((6,3)\), \((8,4)\). Να βρείτε έναν τύπο.

Σε κάθε περίπτωση το \(y\) είναι το μισό του \(x\).

Άρα \(y=\frac{x}{2}\).

🎯 Εφαρμογές της έννοιας της συνάρτησης
57
Ένα πάρκινγκ χρεώνει \(3\) ευρώ είσοδο και \(2\) ευρώ για κάθε ώρα στάθμευσης. Αν \(x\) είναι οι ώρες και \(y\) το κόστος, να γράψετε τον τύπο.

Η χρέωση των ωρών είναι \(2x\) και προστίθενται τα \(3\) ευρώ εισόδου.

Άρα \(y=2x+3\).

58
Με τον τύπο \(y=2x+3\) του προηγούμενου προβλήματος, να βρείτε το κόστος για \(5\) ώρες.

Θέτουμε \(x=5\): \(y=2\cdot5+3\).

Άρα το κόστος είναι \(13\) ευρώ.

59
Ένα φωτοτυπείο χρεώνει \(0,10\) ευρώ για κάθε φωτοτυπία. Αν \(x\) είναι οι φωτοτυπίες, να γράψετε το κόστος \(y\).

Το συνολικό κόστος είναι τιμή ανά φωτοτυπία επί πλήθος.

Άρα \(y=0,10x\).

60
Με τη συνάρτηση \(y=0,10x\), να βρείτε το κόστος για \(40\) φωτοτυπίες.

Θέτουμε \(x=40\): \(y=0,10\cdot40\).

Άρα το κόστος είναι \(4\) ευρώ.

61
Το εμβαδόν \(E\) ενός τετραγώνου εξαρτάται από την πλευρά \(x\). Να γράψετε τον τύπο της συνάρτησης.

Το εμβαδόν τετραγώνου είναι πλευρά επί πλευρά.

Άρα \(E=x^2\).

62
Με τον τύπο \(E=x^2\), να βρείτε το εμβαδόν τετραγώνου πλευράς \(7\) cm.

Θέτουμε \(x=7\): \(E=7^2\).

Άρα \(E=49\) cm\(^2\).

63
Ένα ποδήλατο κινείται με σταθερή ταχύτητα \(12\) km/h. Αν \(t\) είναι οι ώρες και \(s\) η απόσταση, να γράψετε τον τύπο.

Απόσταση = ταχύτητα επί χρόνο.

Άρα \(s=12t\).

64
Με τον τύπο \(s=12t\), να βρείτε την απόσταση σε \(3\) ώρες.

Θέτουμε \(t=3\): \(s=12\cdot3\).

Άρα \(s=36\) km.

🎯 Μικτή εξάσκηση
65
Δίνεται η συνάρτηση \(y=2x-1\). Να βρείτε τα ζεύγη \((x,y)\) για \(x=0,1,2,3\).

Υπολογίζουμε διαδοχικά τις τιμές του \(y\).

Τα ζεύγη είναι \((0,-1)\), \((1,1)\), \((2,3)\), \((3,5)\).

66
Δίνεται η συνάρτηση \(y=x^2+3\). Να βρείτε τις τιμές για \(x=-2,0,2\).

Για \(x=-2\), \(y=4+3=7\). Για \(x=0\), \(y=3\). Για \(x=2\), \(y=4+3=7\).

Οι τιμές είναι \(7,3,7\).

67
Στη συνάρτηση \(y=4x+2\), ποια τιμή του \(x\) δίνει \(y=30\);

Λύνουμε \(4x+2=30\).

Άρα \(4x=28\) και \(x=7\).

68
Να εξετάσετε αν τα ζεύγη \((1,4)\), \((2,7)\), \((3,10)\) επαληθεύουν τον τύπο \(y=3x+1\).

Για \(x=1,2,3\) παίρνουμε αντίστοιχα \(4,7,10\).

Άρα και τα τρία ζεύγη επαληθεύουν τον τύπο.

69
Να εξετάσετε αν το ζεύγος \((4,15)\) ανήκει στη συνάρτηση \(y=4x-1\).

Για \(x=4\), ο τύπος δίνει \(y=4\cdot4-1=15\).

Άρα το ζεύγος \((4,15)\) επαληθεύει τη συνάρτηση.

70
Να εξετάσετε αν το ζεύγος \((3,8)\) επαληθεύει τη συνάρτηση \(y=2x+1\).

Για \(x=3\), ο τύπος δίνει \(y=2\cdot3+1=7\).

Επειδή \(7\neq8\), το ζεύγος δεν επαληθεύει τη συνάρτηση.

71
Μια συνάρτηση έχει τύπο \(y=5x+4\). Αν το \(x\) αυξηθεί από \(2\) σε \(3\), πόσο αυξάνεται το \(y\);

Για \(x=2\), \(y=14\). Για \(x=3\), \(y=19\).

Άρα το \(y\) αυξάνεται κατά \(5\).

72
Η συνάρτηση \(y=3x+2\) δίνει για μια τιμή του \(x\) την τιμή \(y=23\). Να βρείτε το \(x\) και να ελέγξετε το αποτέλεσμα.

Λύνουμε \(3x+2=23\Rightarrow 3x=21\Rightarrow x=7\).

Έλεγχος: \(3\cdot7+2=21+2=23\), άρα \(x=7\).

Τέλος