Γράφουμε \(-12=\frac{-12}{1}\).

Άρα ο \(-12\) είναι ρητός αριθμός.

Έχουμε \(0{,}45=\frac{45}{100}=\frac{9}{20}\).

Άρα ο αριθμός είναι ρητός.

Ο αριθμός είναι ήδη γραμμένος ως κλάσμα δύο ακεραίων με μη μηδενικό παρονομαστή.

Επομένως \(\frac{-7}{9}\in\mathbb{Q}\).

Ο δεκαδικός είναι πεπερασμένος.

Επομένως μπορεί να γραφεί ως κλάσμα και είναι ρητός.

Τα ψηφία \(27\) επαναλαμβάνονται περιοδικά.

Κάθε περιοδικός δεκαδικός είναι ρητός.

Ο \(11\) δεν είναι τέλειο τετράγωνο φυσικού αριθμού.

Άρα \(\sqrt{11}\) είναι άρρητος.

Επειδή \(144=12^2\), έχουμε \(\sqrt{144}=12\).

Άρα \(\sqrt{144}\) είναι ρητός.

Ο αριθμός \(\pi\) έχει άπειρη μη περιοδική δεκαδική ανάπτυξη.

Άρα ο \(\pi\) είναι άρρητος.

Η δεκαδική γραφή σταματά μετά από τρία δεκαδικά ψηφία.

Άρα είναι πεπερασμένος δεκαδικός και επομένως ρητός.

Η ομάδα ψηφίων \(18\) επαναλαμβάνεται συνεχώς.

Άρα είναι περιοδικός δεκαδικός και επομένως ρητός.

Τα δεκαδικά ψηφία δεν σταματούν και δεν εμφανίζουν σταθερή περίοδο.

Άρα ο αριθμός είναι άρρητος.

Έχουμε \(0{,}375=\frac{375}{1000}\).

Απλοποιώντας παίρνουμε \(0{,}375=\frac{3}{8}\).

Έχουμε \(1{,}2=\frac{12}{10}\).

Άρα \(1{,}2=\frac65\).

Παρότι έχει άπειρα δεκαδικά ψηφία, είναι περιοδικός.

Μάλιστα \(0{,}333\ldots=\frac13\), άρα είναι ρητός.

Για παράδειγμα μπορούμε να πάρουμε τον \(2{,}4\).

Ισχύει \(2<2{,}4<3\).

Για παράδειγμα ο \(0{,}777\ldots\) είναι περιοδικός.

Επίσης \(0<0{,}777\ldots<1\).

Έχουμε \(\sqrt{36}=6\), άρα είναι ρητός.

Ο \(37\) δεν είναι τέλειο τετράγωνο, άρα \(\sqrt{37}\) είναι άρρητος.

Επειδή \(81=9^2\), \(\sqrt{81}=9\) και είναι ρητός.

Ο \(82\) δεν είναι τέλειο τετράγωνο, άρα \(\sqrt{82}\) είναι άρρητος.

Έχουμε \(\sqrt{\frac{25}{49}}=\frac{5}{7}\).

Άρα είναι ρητός αριθμός.

Έχουμε \(\sqrt{\frac{2}{9}}=\frac{\sqrt2}{3}\).

Επειδή \(\sqrt2\) είναι άρρητος, και το πηλίκο με το \(3\neq0\) παραμένει άρρητο.

Επειδή \(0{,}7^2=0{,}49\), έχουμε \(\sqrt{0{,}49}=0{,}7\).

Άρα είναι ρητός.

Έχουμε \(\sqrt{0{,}5}=\sqrt{\frac12}=\frac{\sqrt2}{2}\).

Άρα είναι άρρητος.

Έχουμε \(\sqrt{121}=11\) και \(\sqrt{169}=13\).

Άρα μόνο ο \(\sqrt{122}\) είναι άρρητος.

Εφόσον \(4<5<9\) και \(4<7<9\), έχουμε \(2<\sqrt5<3\) και \(2<\sqrt7<3\).

Άρα ένα παράδειγμα είναι οι \(\sqrt5,\sqrt7\).

Επειδή \(2^2=4<6<9=3^2\),

έχουμε \(2<\sqrt6<3\).

Επειδή \(4^2=16<18<25=5^2\),

έχουμε \(4<\sqrt{18}<5\).

Επειδή \(7^2=49<50<64=8^2\),

έχουμε \(7<\sqrt{50}<8\).

Έχουμε \(1{,}7^2=2{,}89<3\) και \(1{,}8^2=3{,}24>3\).

Άρα \(1{,}7<\sqrt3<1{,}8\), οπότε στο δέκατο \(\sqrt3\approx1{,}7\).

Έχουμε \(2{,}6^2=6{,}76<7\) και \(2{,}7^2=7{,}29>7\).

Άρα \(2{,}6<\sqrt7<2{,}7\), οπότε \(\sqrt7\approx2{,}6\) στο δέκατο.

Έχουμε \(3{,}1^2=9{,}61<10\) και \(3{,}2^2=10{,}24>10\).

Άρα \(3{,}1<\sqrt{10}<3{,}2\).

Η ανισότητα δίνει \(25

Για παράδειγμα, για \(n=30\) ισχύει \(5<\sqrt{30}<6\).

Υψώνουμε τα θετικά μέλη στο τετράγωνο: \(9

Άρα \(n\in\{10,11,12,13,14,15\}\).

Επειδή \(2{,}2^2=4{,}84<5\), έχουμε \(2{,}2<\sqrt5\).

Άρα \(\sqrt5>2{,}2\).

Έχουμε \(8<9=3^2\).

Άρα \(\sqrt8<3\).

Έχουμε \(3{,}9^2=15{,}21>15\).

Άρα \(\sqrt{15}<3{,}9\).

Έχουμε \(1{,}6^2=2{,}56<3\) και \(1{,}8^2=3{,}24>3\).

Άρα \(1{,}6<\sqrt3<1{,}8\).

Έχουμε \(2^2=4<6\) και \(2{,}5^2=6{,}25>6\).

Άρα \(2<\sqrt6<2{,}5\).

Επειδή \(1<\sqrt3<2\), αλλάζοντας πρόσημα αντιστρέφεται η σειρά.

Άρα \(-2<-\sqrt3<-1\).

Επειδή \(2<\sqrt5<3\), έχουμε \(-3<-\sqrt5<-2\).

Επομένως \(-\sqrt5<-2<-1\).

Έχουμε \(0<\sqrt2<2\).

Άρα \(-1{,}5<0<\sqrt2<2\).

Έχουμε \(\sqrt2\approx1{,}41\), \(\frac32=1{,}5\) και \(\pi\approx3{,}14\).

Άρα \(\sqrt2<\frac32<3<\pi\).

Επειδή \(\sqrt7\approx2{,}65>2{,}5\), με αλλαγή πρόσημου αντιστρέφεται η ανισότητα.

Άρα \(-\sqrt7<-2{,}5\), επομένως μεγαλύτερος είναι ο \(-2{,}5\).

Ο \(8\) είναι φυσικός, άρα και ακέραιος, ρητός και πραγματικός.

Έτσι \(8\in\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R}\).

Ο \(-4\) είναι ακέραιος, άρα είναι και ρητός και πραγματικός.

Δεν είναι φυσικός.

Είναι κλάσμα ακεραίων με μη μηδενικό παρονομαστή.

Άρα \(\frac{5}{12}\in\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\).

Έχουμε \(-0{,}25=-\frac14\).

Άρα είναι ρητός και πραγματικός, αλλά όχι ακέραιος ούτε φυσικός.

Ο \(\sqrt2\) είναι άρρητος.

Επομένως ανήκει στο \(\mathbb{R}\), αλλά όχι στο \(\mathbb{Q}\).

Ο \(\pi\) είναι άρρητος πραγματικός αριθμός.

Άρα \(\pi\in\mathbb{R}\) και \(\pi\notin\mathbb{Q}\).

Κάθε φυσικός είναι ακέραιος, κάθε ακέραιος είναι ρητός και κάθε ρητός είναι πραγματικός.

Άρα \(\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\).

Όχι. Για παράδειγμα \(\frac12\) είναι ρητός αλλά όχι ακέραιος.

Άρα η πρόταση είναι λανθασμένη.

Ναι. Κάθε ακέραιος \(k\) γράφεται ως \(\frac{k}{1}\).

Άρα κάθε ακέραιος είναι ρητός.

Ναι. Οι δύο αυτές κατηγορίες αποτελούν ολόκληρο το σύνολο των πραγματικών αριθμών.

Άρα κάθε πραγματικός είναι ακριβώς είτε ρητός είτε άρρητος.

Ο \(\sqrt2\) βρίσκεται μεταξύ \(1\) και \(2\).

Άρα \(-2<0<1<\sqrt2<2\).

Επειδή \(1<\sqrt2<2\), έχουμε \(-2<-\sqrt2<-1\).

Άρα \(-\sqrt2<-1<0<1<\sqrt2\).

Επειδή \(3<\sqrt{10}<4\), αλλάζοντας πρόσημα έχουμε \(-4<-\sqrt{10}<-3\).

Άρα βρίσκεται μεταξύ \(-4\) και \(-3\).

Έχουμε \(25<27<36\).

Άρα \(5<\sqrt{27}<6\).

Ένας ρητός είναι ο \(\frac32=1{,}5\).

Ένας άρρητος είναι ο \(\sqrt2\).

Επειδή \(\sqrt5\approx2{,}236\), μπορούμε να επιλέξουμε αριθμούς μεγαλύτερους του \(2\) και μικρότερους του \(2{,}236\).

Για παράδειγμα \(2{,}1\) και \(2{,}2\).

Όχι. Ένας απειροψήφιος δεκαδικός μπορεί να είναι περιοδικός.

Για παράδειγμα \(0{,}444\ldots=\frac49\), άρα είναι ρητός.

Όχι. Για παράδειγμα \((\sqrt2)^2=2\).

Ο \(\sqrt2\) είναι άρρητος, αλλά το τετράγωνό του είναι ρητός.

Όχι. Για παράδειγμα \(\sqrt2+(-\sqrt2)=0\).

Άρα το άθροισμα δύο άρρητων μπορεί να είναι ρητός.

Οι δύο όροι είναι ίσοι, άρα η διαφορά τους είναι \(0\).

Επομένως \(\sqrt8-\sqrt8=0\), που είναι ρητός.