Η δύναμη \(2^5\) σημαίνει \(2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\).

Άρα \(2^5=32\).

Έχουμε \(3^4=3\cdot3\cdot3\cdot3\).

Άρα \(3^4=81\).

Η δύναμη \(5^3\) είναι το γινόμενο τριών παραγόντων ίσων με \(5\).

Άρα \(5^3=5\cdot5\cdot5=125\).

Επειδή ο εκθέτης είναι άρτιος, το αποτέλεσμα είναι θετικό.

Άρα \(({-2})^4=16\).

Επειδή ο εκθέτης είναι περιττός, το αποτέλεσμα διατηρεί το αρνητικό πρόσημο.

Έτσι \(({-3})^3=-27\).

Υψώνουμε αριθμητή και παρονομαστή στην τέταρτη δύναμη.

Άρα \((\frac{1}{2})^4=\frac{1^4}{2^4}=\frac{1}{16}\).

Υψώνουμε και τον αριθμητή και τον παρονομαστή στην τρίτη δύναμη. Ο περιττός εκθέτης κρατά το αρνητικό πρόσημο.

Άρα \(({-\frac{2}{3}})^3=-\frac{8}{27}\).

Από τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας ισχύει \((\sqrt{5})^2=5\).

Άρα η τιμή της δύναμης είναι \(5\).

Κάθε μη μηδενικός αριθμός υψωμένος στη μηδενική δύναμη είναι ίσος με \(1\).

Άρα \(7^0=1\).

Η βάση είναι μη μηδενική, άρα η μηδενική δύναμη ισούται με \(1\).

Έτσι \(({-4})^0=1\).

Για αρνητικό εκθέτη παίρνουμε το αντίστροφο της αντίστοιχης θετικής δύναμης.

Άρα \(2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}\).

Έχουμε \(5^{-2}=\frac{1}{5^2}\).

Άρα \(5^{-2}=\frac{1}{25}\).

Πρώτα χρησιμοποιούμε τον κανόνα του αρνητικού εκθέτη: \(({-3})^{-2}=\frac{1}{({-3})^2}\).

Εφόσον \(({-3})^2=9\), προκύπτει \(({-3})^{-2}=\frac{1}{9}\).

Αντιστρέφουμε το κλάσμα και αλλάζουμε τον εκθέτη σε θετικό.

Άρα \((\frac{2}{5})^{-2}=(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}\).

Αντιστρέφουμε το κλάσμα: \(({-\frac{1}{3}})^{-3}=(-3)^3\). Ο περιττός εκθέτης δίνει αρνητικό αποτέλεσμα.

Άρα \(({-\frac{1}{3}})^{-3}=-27\).

Με αρνητικό εκθέτη έχουμε \((\sqrt{2})^{-2}=\frac{1}{(\sqrt{2})^2}\).

Επομένως \((\sqrt{2})^{-2}=\frac{1}{2}\).

Βάση αρνητική και εκθέτης περιττός σημαίνει αρνητικό αποτέλεσμα.

Άρα \(({-5})^{17}<0\).

Βάση αρνητική και εκθέτης άρτιος σημαίνει θετικό αποτέλεσμα.

Άρα \(({-8})^{24}>0\).

Έχουν την ίδια βάση μεγαλύτερη από \(1\). Άρα η μεγαλύτερη δύναμη είναι εκείνη με τον μεγαλύτερο εκθέτη.

Επομένως \(3^4<3^5\).

Έχουμε \(2^{-2}=\frac{1}{4}\) και \(2^{-4}=\frac{1}{16}\).

Άρα \(2^{-2}>2^{-4}\).

Υπολογίζουμε: \(({-2})^3=-8\), \(({-2})^4=16\), \(({-2})^5=-32\).

Άρα \(({-2})^5<({-2})^3<({-2})^4\).

Όταν η βάση είναι μεταξύ \(0\) και \(1\), η δύναμη μικραίνει όσο μεγαλώνει ο εκθέτης.

Άρα \((\frac{1}{2})^3>(\frac{1}{2})^5\).

Σε γινόμενο δυνάμεων με ίδια βάση προσθέτουμε τους εκθέτες.

Άρα \(2^3\cdot2^5=2^{3+5}=2^8=256\).

Σε πηλίκο δυνάμεων με ίδια βάση αφαιρούμε τους εκθέτες.

Άρα \(3^7:3^4=3^{7-4}=3^3=27\).

Η βάση είναι η ίδια \(({-5})\), άρα προσθέτουμε τους εκθέτες.

Έτσι \(({-5})^2\cdot({-5})^3=({-5})^5=-3125\).

Αφαιρούμε τους εκθέτες.

Άρα \(10^6:10^2=10^{6-2}=10^4=10000\).

Στο γινόμενο δυνάμεων με την ίδια βάση προσθέτουμε τους εκθέτες.

Άρα \(a^4\cdot a^{-2}=a^{4+(-2)}=a^2\).

Αφαιρούμε τους εκθέτες: \(-3-(-5)=2\).

Άρα \(x^{-3}:x^{-5}=x^2\).

Αφαιρούμε τους εκθέτες.

Άρα \((\sqrt{3})^8:(\sqrt{3})^6=(\sqrt{3})^2=3\).

Προσθέτουμε τους εκθέτες: \(-1+4=3\).

Άρα \(5^{-1}\cdot5^4=5^3=125\).

Η δύναμη γινομένου ισούται με το γινόμενο των δυνάμεων.

Άρα \((2\cdot3)^4=2^4\cdot3^4=16\cdot81=1296\).

Για δύναμη κλάσματος υψώνουμε και τον αριθμητή και τον παρονομαστή.

Άρα \((\frac{2}{5})^3=\frac{2^3}{5^3}=\frac{8}{125}\).

Στη δύναμη δύναμης πολλαπλασιάζουμε τους εκθέτες.

Άρα \((3^2)^4=3^{2\cdot4}=3^8=6561\).

Πολλαπλασιάζουμε τους εκθέτες.

Άρα \((({-2})^3)^2=({-2})^{3\cdot2}=({-2})^6=64\).

Χρησιμοποιούμε τον κανόνα της δύναμης δύναμης.

Άρα \((a^3)^5=a^{15}\).

Η δύναμη γινομένου δίνει δύναμη σε κάθε παράγοντα.

Άρα \((xy)^4=x^4y^4\).

Με αρνητικό εκθέτη αντιστρέφουμε το κλάσμα.

Άρα \((\frac{x}{y})^{-2}=(\frac{y}{x})^2=\frac{y^2}{x^2}\).

Πολλαπλασιάζουμε τους εκθέτες.

Έτσι \(((\sqrt{5})^3)^2=(\sqrt{5})^6=((\sqrt{5})^2)^3=5^3=125\).

Οι βάσεις είναι ίδιες, άρα προσθέτουμε τους εκθέτες.

Επομένως \(2^4\cdot2^3=2^7\).

Σε πηλίκο ίδιας βάσης αφαιρούμε τους εκθέτες.

Άρα \(7^9:7^4=7^5\).

Στη δύναμη δύναμης πολλαπλασιάζουμε τους εκθέτες.

Άρα \((5^2)^3=5^6\).

Έχουν ίδιο εκθέτη, άρα εφαρμόζουμε \(a^\nu\cdot b^\nu=(ab)^\nu\).

Έτσι \(4^3\cdot2^3=(4\cdot2)^3=8^3\).

Έχουν ίδιο εκθέτη, άρα \(\frac{a^\nu}{b^\nu}=(\frac{a}{b})^\nu\).

Άρα \(9^4:3^4=(\frac{9}{3})^4=3^4\).

Έχουν ίδιο εκθέτη \(-3\), άρα ομαδοποιούμε τις βάσεις.

Επομένως \(2^{-3}\cdot5^{-3}=(2\cdot5)^{-3}=10^{-3}\).

Προσθέτουμε τους εκθέτες: \(2+(-5)=-3\).

Άρα \((\frac{3}{4})^2\cdot(\frac{3}{4})^{-5}=(\frac{3}{4})^{-3}\).

Αφαιρούμε τους εκθέτες: \(6-8=-2\).

Άρα \(({-2})^6:({-2})^8=({-2})^{-2}\).

Στο γινόμενο δυνάμεων με την ίδια βάση προσθέτουμε τους εκθέτες.

Άρα \(x^3\cdot x^4=x^7\).

Στο πηλίκο αφαιρούμε τους εκθέτες.

Άρα \(a^9:a^4=a^5\).

Η δύναμη γινομένου δίνει \((2x)^3=2^3x^3\).

Άρα \((2x)^3=8x^3\).

Υψώνουμε και το \(-3\) και το \(x^2\) στη δεύτερη δύναμη.

Άρα \(({-3}x^2)^2=({-3})^2\cdot(x^2)^2=9x^4\).

Αφαιρούμε τους εκθέτες σε αριθμητή και παρονομαστή.

Άρα \(\frac{x^5y^3}{x^2y}=x^{5-2}y^{3-1}=x^3y^2\).

Υψώνουμε κάθε παράγοντα στη δεύτερη δύναμη.

Έτσι \((a^{-2}b^3)^2=a^{-4}b^6=\frac{b^6}{a^4}\).

Έχουμε \((x^2)^3=x^6\). Στη συνέχεια \(x^6\cdot x^{-1}=x^5\).

Άρα \(\frac{x^5}{x^4}=x\).

Με αρνητικό εκθέτη αντιστρέφουμε το κλάσμα.

Άρα \((\frac{2x^2}{y})^{-1}=\frac{y}{2x^2}\).

Υπολογίζουμε πρώτα τις δυνάμεις: \(2^3=8\) και \(3^2=9\).

Άρα \(A=8+9=17\).

Έχουμε \(5^2=25\) και \(2^4=16\).

Άρα \(A=25-16=9\).

Υπολογίζουμε \(({-2})^5=-32\) και \(({-2})^4=16\).

Άρα \(A=-32+16=-16\).

Έχουμε \(3^{-2}=\frac{1}{9}\) και \(2^{-1}=\frac{1}{2}\).

Άρα \(A=\frac{1}{9}+\frac{1}{2}=\frac{2+9}{18}=\frac{11}{18}\).

Συνδυάζουμε πρώτα τις δυνάμεις με ίδια βάση: \(2^3\cdot2^2=2^5\).

Έπειτα \(2^5:2^4=2^{5-4}=2\).

Πρώτα \((3^2)^2=3^4=81\).

Άρα \(A=81-5=76\).

Με αρνητικό εκθέτη παίρνουμε \((\frac{1}{2})^{-3}=2^3=8\).

Άρα \(A=8-3=5\).

Στον αριθμητή έχουμε \(2^5+2^5=2\cdot2^5=2^6\).

Άρα \(A=\frac{2^6}{2^4}=2^2=4\).

Γράφουμε το \(8\) ως δύναμη του \(2\): \(8=2^3\).

Άρα \(2^x=2^3\), οπότε \(x=3\).

Γράφουμε \(\frac{1}{25}=5^{-2}\).

Άρα \(5^x=5^{-2}\), οπότε \(x=-2\).

Υπολογίζουμε διαδοχικές δυνάμεις: \(({-3})^1=-3\), \(({-3})^2=9\), \(({-3})^3=-27\).

Άρα \(x=3\).

Το εμβαδόν μεταβάλλεται με το τετράγωνο του συντελεστή μεταβολής της πλευράς.

Αφού η πλευρά γίνεται \(3\) φορές μεγαλύτερη, το εμβαδόν γίνεται \(3^2=9\) φορές μεγαλύτερο.

Ο όγκος κύβου είναι ανάλογος του κύβου της ακμής.

Αν η ακμή διπλασιαστεί, ο όγκος γίνεται \(2^3=8\) φορές μεγαλύτερος.

Έχουμε \(4^2=(2^2)^2=2^4\) και \(8^2=(2^3)^2=2^6\).

Άρα \(\frac{2^3\cdot2^4}{2^6}=2^{3+4-6}=2\).