Η βάση είναι αρνητική και ο εκθέτης είναι περιττός, επομένως το αποτέλεσμα είναι αρνητικό.

\((-2)^5=-32\).

Η βάση είναι αρνητική και ο εκθέτης είναι άρτιος, επομένως το αποτέλεσμα είναι θετικό.

\((-3)^4=81\).

Στην παράσταση \(-3^4\) η δύναμη υπολογίζεται πριν από το πρόσημο: \(-3^4=-(3^4)\).

Άρα \(-3^4=-81\), ενώ \((-3)^4=81\).

Κάθε άρτια δύναμη του \(-1\) είναι ίση με \(1\).

\((-1)^{2026}=1\).

Κάθε περιττή δύναμη του \(-1\) είναι ίση με \(-1\).

\((-1)^{2027}=-1\).

Γράφουμε \((\sqrt{2})^4=((\sqrt{2})^2)^2\) και χρησιμοποιούμε ότι \((\sqrt{2})^2=2\).

\((\sqrt{2})^4=2^2=4\).

Κάθε μη μηδενικός αριθμός στη μηδενική δύναμη είναι ίσος με \(1\).

\(7^0+(-5)^0=1+1=2\).

Αρνητικός εκθέτης σημαίνει ότι αντιστρέφουμε τη βάση και κάνουμε τον εκθέτη θετικό.

\(\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}=\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}\).

Αντιστρέφουμε τη βάση: \(\left(-\frac{1}{2}\right)^{-3}=(-2)^3\).

\(\left(-\frac{1}{2}\right)^{-3}=-8\).

Έχουμε \(5^{-2}=\frac{1}{25}\) και \(125=5^3\).

\(5^{-2}\cdot125=\frac{125}{25}=5\).

Μετατρέπουμε τις αρνητικές δυνάμεις σε κλάσματα: \(4^{-1}=\frac14\) και \(2^{-2}=\frac14\).

\(4^{-1}+2^{-2}=\frac14+\frac14=\frac12\).

Ισχύει \((\sqrt{3})^{-2}=\frac{1}{(\sqrt{3})^2}\).

\((\sqrt{3})^{-2}=\frac13\).

Σε γινόμενο δυνάμεων με ίδια βάση προσθέτουμε τους εκθέτες.

\(2^4\cdot2^3=2^{4+3}=2^7=128\).

Σε πηλίκο δυνάμεων με ίδια βάση αφαιρούμε τους εκθέτες.

\(5^6:5^4=5^{6-4}=5^2=25\).

Προσθέτουμε τους εκθέτες: \(-2+5=3\).

\(3^{-2}\cdot3^5=3^3=27\).

Αφαιρούμε τους εκθέτες: \(3-5=-2\).

\(7^3:7^5=7^{-2}=\frac{1}{49}\).

Οι δυνάμεις έχουν ίδια βάση, άρα προσθέτουμε τους εκθέτες.

\((-2)^5\cdot(-2)^{-3}=(-2)^2=4\).

Προσθέτουμε τους εκθέτες: \(-2+3=1\).

\(\left(\frac13\right)^{-2}\cdot\left(\frac13\right)^3=\left(\frac13\right)^1=\frac13\).

Προσθέτουμε τους εκθέτες της ίδιας βάσης.

\(x^7\cdot x^{-3}=x^{7-3}=x^4\).

Στο πηλίκο αφαιρούμε τους εκθέτες: \(-2-(-5)=3\).

\(a^{-2}:a^{-5}=a^3\).

Σε δύναμη δύναμης πολλαπλασιάζουμε τους εκθέτες.

\((2^3)^4=2^{12}=4096\).

Πολλαπλασιάζουμε τους εκθέτες: \(2\cdot3=6\).

\(\big((-3)^2\big)^3=(-3)^6=729\).

Σε δύναμη δύναμης πολλαπλασιάζουμε τους εκθέτες: \((-2)(-1)=2\).

\((5^{-2})^{-1}=5^2=25\).

Ισχύει \((ab)^n=a^n b^n\), άρα \((2\cdot3)^4=2^4\cdot3^4\).

\((2\cdot3)^4=16\cdot81=1296\).

Οι εκθέτες είναι ίδιοι, οπότε συνδυάζουμε τις βάσεις.

\(\left(\frac25\cdot\frac52\right)^3=1^3=1\).

Με αρνητικό εκθέτη αντιστρέφουμε το κλάσμα.

\(\left(\frac32\right)^{-2}=\left(\frac23\right)^2=\frac49\).

Η δύναμη εφαρμόζεται σε κάθε παράγοντα και οι εκθέτες πολλαπλασιάζονται.

\((a^2b^3)^2=a^4b^6\).

Πρώτα πολλαπλασιάζουμε τους εκθέτες και μετά εφαρμόζουμε τη δύναμη πηλίκου.

\(\left[\left(\frac{x}{y}\right)^3\right]^2=\left(\frac{x}{y}\right)^6=\frac{x^6}{y^6}\).

Οι εκθέτες είναι ίδιοι, άρα \(2^3\cdot4^3=(2\cdot4)^3\).

\(2^3\cdot4^3=8^3=512\).

Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα \(a^n b^n=(ab)^n\).

\(9^4\cdot3^4=(9\cdot3)^4=27^4\).

Οι εκθέτες είναι ίδιοι, άρα \(25^3:5^3=\left(\frac{25}{5}\right)^3\).

\(25^3:5^3=5^3=125\).

Συνδυάζουμε τις βάσεις, επειδή οι εκθέτες είναι ίδιοι.

\(8^2\cdot27^2=(8\cdot27)^2=216^2\).

Πολλαπλασιάζουμε τις βάσεις: \(\frac34\cdot\frac89=\frac23\).

\(\left(\frac34\right)^6\cdot\left(\frac89\right)^6=\left(\frac23\right)^6=\frac{64}{729}\).

Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα \(a^n:b^n=\left(\frac ab\right)^n\).

\(6^5:2^5=3^5=243\).

Οι εκθέτες είναι ίδιοι, άρα συνδυάζουμε τις βάσεις.

\((-4)^7:2^7=(-2)^7=-128\).

Πολλαπλασιάζουμε τους αριθμητικούς συντελεστές και προσθέτουμε τους εκθέτες του \(x\).

\(2x^3\cdot5x^2=10x^5\).

Έχουμε \((x^2)^3=x^6\) και στη συνέχεια \(x^6\cdot x^{-4}=x^2\).

Η απλούστερη μορφή είναι \(x^2\).

Αναπτύσσουμε τη δύναμη: \((a^3b^{-2})^2=a^6b^{-4}\). Έπειτα προσθέτουμε εκθέτες.

\(a^6b^{-4}\cdot a^{-4}b^5=a^2b\).

Ο αριθμητής είναι \(8x^6y^3\). Διαιρούμε ομώνυμες δυνάμεις αφαιρώντας εκθέτες.

\(\frac{8x^6y^3}{8x^4y^2}=x^2y\).

Ο αριθμητής γίνεται \(9a^4b^2\). Απλοποιούμε τους κοινούς παράγοντες.

\(\frac{9a^4b^2}{9ab^2}=a^3\).

Έχουμε \((x^{-2}y^3)^{-1}=x^2y^{-3}\). Προσθέτουμε τους εκθέτες των ίδιων βάσεων.

\(x^2y^{-3}\cdot x^3y^{-1}=x^5y^{-4}=\frac{x^5}{y^4}\).

Διαιρούμε τους συντελεστές και αφαιρούμε τους εκθέτες: \(x^{3-(-1)}=x^4\), \(y^{-2-1}=y^{-3}\).

\(\frac{4x^3y^{-2}}{2x^{-1}y}=2x^4y^{-3}=\frac{2x^4}{y^3}\).

Ο αριθμητής είναι \((-2)^3a^6b^3=-8a^6b^3\).

\(\frac{-8a^6b^3}{-8a^4b^2}=a^2b\).

Ο αριθμητής γίνεται \(x^6y^{-3}\). Στο πηλίκο αφαιρούμε τους εκθέτες.

\(\frac{x^6y^{-3}}{x^4y^{-5}}=x^2y^2\).

Υπολογίζουμε πρώτα τις δυνάμεις: \(2^5=32\), \(3^2=9\), \((-1)^7=-1\).

\(32-9-1=22\).

Μέσα στην παρένθεση έχουμε \(3^2-5=9-5=4\).

\(4^2+2^3=16+8=24\).

Υπολογίζουμε με τη σωστή σειρά: \(5^3:5=125:5=25\), \(2^4=16\), \(3^2=9\).

\(25+16-9=32\).

Έχουμε \(2^{-2}=\frac14\) και \(4^{-1}=\frac14\), άρα το άθροισμα είναι \(\frac12\).

\(\frac12\cdot8=4\).

Υπολογίζουμε τις δυνάμεις: \((-2)^4=16\), \(2^3=8\), \(2^2=4\).

\(\frac{16-8}{4}=\frac84=2\).

Με αρνητικό εκθέτη \(\left(\frac12\right)^{-3}=2^3=8\).

\(8-4=4\).

Γράφουμε τα πάντα με βάση το \(3\): \(9^2=3^4\) και \(27=3^3\).

\(3^{-1}\cdot3^4:3^3=3^{-1+4-3}=3^0=1\).

Διαιρούμε με \(2^{-3}\): \(x=2^2:2^{-3}=2^{2-(-3)}\).

\(x=2^5=32\).

Διαιρούμε και τα δύο μέλη με \(3^4\).

\(x=3^{7-4}=3^3=27\).

Γράφουμε \(5=5^1\) και διαιρούμε με \(5^{-2}\).

\(x=5^{1-(-2)}=5^3=125\).

Οι βάσεις είναι ίδιες και θετικές, οπότε εξισώνουμε τους εκθέτες: \(x+1=5\).

\(x=4\).

Εξισώνουμε τους εκθέτες: \(2x-1=5\).

\(2x=6\), άρα \(x=3\).

Οι βάσεις είναι ίδιες, άρα \(x-2=4\).

\(x=6\).

Ο όγκος κύβου είναι \(V=a^3\). Αν η ακμή γίνει \(2a\), τότε ο νέος όγκος είναι \((2a)^3=2^3a^3\).

Ο όγκος γίνεται \(8\) φορές μεγαλύτερος. Πράγματι, \(4^3=64\) και \(8^3=512=8\cdot64\).

Το εμβαδόν είναι \(E=a^2\). Με πλευρά \(3a\), το νέο εμβαδόν είναι \((3a)^2=3^2a^2\).

Το εμβαδόν γίνεται \(9\) φορές μεγαλύτερο. Από \(25\,\text{cm}^2\) γίνεται \(225\,\text{cm}^2\).

Έχουμε \(4^2=(2^2)^2=2^4\) και \(8^2=(2^3)^2=2^6\).

\(\frac{2^3\cdot2^4}{2^6}=2^{3+4-6}=2\).