09A. Ιδιότητες παράλληλων ευθειών
1
Υπολογισμός γωνιών
Οι ευθείες \(ε_1\) και \(ε_2\) είναι παράλληλες και τέμνονται από την \(η\). Αν η γωνία \(ω\) είναι \(124^\circ\), να υπολογίσετε τις γωνίες \(x\) και \(y\).
Οι ευθείες \(ε_1\) και \(ε_2\) είναι παράλληλες και τέμνονται από την \(η\). Αν η γωνία \(ω\) είναι \(124^\circ\), να υπολογίσετε τις γωνίες \(x\) και \(y\).
1ο βήμα: Η γωνία \(y\) είναι ίση με τη γωνία \(ω\), επειδή είναι εντός–εκτός και επί τα αυτά μέρη.
\(y=124^\circ\).
2ο βήμα: Οι γωνίες \(x\) και \(y\) είναι παραπληρωματικές.
\(x+y=180^\circ\Rightarrow x=180^\circ-124^\circ=56^\circ\).
\(y=124^\circ\).
2ο βήμα: Οι γωνίες \(x\) και \(y\) είναι παραπληρωματικές.
\(x+y=180^\circ\Rightarrow x=180^\circ-124^\circ=56^\circ\).
Απάντηση: Άρα \(x=56^\circ\) και \(y=124^\circ\).
2
Ισοσκελές τρίγωνο και παράλληλη
Το τρίγωνο \(ΑΒΓ\) είναι ισοσκελές με \(ΑΒ=ΑΓ\). Από την κορυφή \(Α\) φέρουμε την ευθεία \(ΔΑΕ\parallel ΒΓ\). Να αποδείξετε ότι \(\widehat{ΔΑΒ}=\widehat{ΓΑΕ}\).
Το τρίγωνο \(ΑΒΓ\) είναι ισοσκελές με \(ΑΒ=ΑΓ\). Από την κορυφή \(Α\) φέρουμε την ευθεία \(ΔΑΕ\parallel ΒΓ\). Να αποδείξετε ότι \(\widehat{ΔΑΒ}=\widehat{ΓΑΕ}\).
Επειδή \(ΑΒ=ΑΓ\), οι γωνίες της βάσης του ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες:
\(\widehat{ΑΒΓ}=\widehat{ΒΓΑ}\).
Από την παραλληλία \(ΔΑΕ\parallel ΒΓ\) έχουμε:
\(\widehat{ΔΑΒ}=\widehat{ΑΒΓ}\) και \(\widehat{ΓΑΕ}=\widehat{ΒΓΑ}\), ως εντός εναλλάξ.
\(\widehat{ΑΒΓ}=\widehat{ΒΓΑ}\).
Από την παραλληλία \(ΔΑΕ\parallel ΒΓ\) έχουμε:
\(\widehat{ΔΑΒ}=\widehat{ΑΒΓ}\) και \(\widehat{ΓΑΕ}=\widehat{ΒΓΑ}\), ως εντός εναλλάξ.
Απάντηση: Επομένως \(\widehat{ΔΑΒ}=\widehat{ΓΑΕ}\).
3
Διχοτόμος και παράλληλη
Το \(ΟΑ\) είναι διχοτόμος της γωνίας \(xOy\). Από το \(Α\) φέρουμε \(ΑΒ\parallel Ox\), η οποία τέμνει την \(Oy\) στο \(Β\). Να αποδείξετε ότι \(ΟΑ=ΑΒ\).
Το \(ΟΑ\) είναι διχοτόμος της γωνίας \(xOy\). Από το \(Α\) φέρουμε \(ΑΒ\parallel Ox\), η οποία τέμνει την \(Oy\) στο \(Β\). Να αποδείξετε ότι \(ΟΑ=ΑΒ\).
Επειδή το \(ΟΑ\) είναι διχοτόμος, ισχύει \(\widehat{xOA}=\widehat{AOy}\).
Αφού \(ΑΒ\parallel Ox\), η γωνία \(\widehat{OAB}\) είναι ίση με τη \(\widehat{xOA}\), ως εντός εναλλάξ.
Άρα \(\widehat{OAB}=\widehat{AOB}\).
Στο τρίγωνο \(ΟΑΒ\) ίσες γωνίες βρίσκονται απέναντι από ίσες πλευρές.
Αφού \(ΑΒ\parallel Ox\), η γωνία \(\widehat{OAB}\) είναι ίση με τη \(\widehat{xOA}\), ως εντός εναλλάξ.
Άρα \(\widehat{OAB}=\widehat{AOB}\).
Στο τρίγωνο \(ΟΑΒ\) ίσες γωνίες βρίσκονται απέναντι από ίσες πλευρές.
Απάντηση: Επομένως \(ΟΑ=ΑΒ\).
4
Απόδειξη παραλληλίας
Στο σχήμα ισχύουν \(\widehat{ΑΒΓ}=68^\circ\) και \(\widehat{ΒΓΔ}=112^\circ\). Να αποδείξετε ότι \(ΑΒ\parallel ΓΔ\).
Στο σχήμα ισχύουν \(\widehat{ΑΒΓ}=68^\circ\) και \(\widehat{ΒΓΔ}=112^\circ\). Να αποδείξετε ότι \(ΑΒ\parallel ΓΔ\).
Οι γωνίες \(\widehat{ΑΒΓ}\) και \(\widehat{ΒΓΔ}\) είναι εντός και επί τα αυτά μέρη ως προς τις ευθείες \(ΑΒ,ΓΔ\) και την τέμνουσα \(ΒΓ\).
Έχουμε:
\(68^\circ+112^\circ=180^\circ\).
Άρα οι δύο γωνίες είναι παραπληρωματικές.
Έχουμε:
\(68^\circ+112^\circ=180^\circ\).
Άρα οι δύο γωνίες είναι παραπληρωματικές.
Απάντηση: Με το κριτήριο παραλληλίας προκύπτει \(ΑΒ\parallel ΓΔ\).
5
Δύο ευθείες κάθετες στην ίδια ευθεία
Οι ευθείες \(ε_1\) και \(ε_2\) είναι κάθετες στην ευθεία \(η\), σε διαφορετικά σημεία. Να αποδείξετε ότι \(ε_1\parallel ε_2\).
Οι ευθείες \(ε_1\) και \(ε_2\) είναι κάθετες στην ευθεία \(η\), σε διαφορετικά σημεία. Να αποδείξετε ότι \(ε_1\parallel ε_2\).
Εφόσον \(ε_1\perp η\), η γωνία που σχηματίζουν είναι \(90^\circ\).
Εφόσον \(ε_2\perp η\), η αντίστοιχη γωνία είναι επίσης \(90^\circ\).
Οι δύο αντίστοιχες γωνίες είναι ίσες.
Εφόσον \(ε_2\perp η\), η αντίστοιχη γωνία είναι επίσης \(90^\circ\).
Οι δύο αντίστοιχες γωνίες είναι ίσες.
Απάντηση: Άρα, από το κριτήριο παραλληλίας, \(ε_1\parallel ε_2\).
6
Παράλληλο τμήμα μέσα σε τρίγωνο
Στο τρίγωνο \(ΑΒΓ\), τα σημεία \(Δ\in ΑΒ\) και \(Ε\in ΑΓ\) είναι τέτοια ώστε \(ΔΕ\parallel ΒΓ\). Αν \(\widehat{Β}=54^\circ\) και \(\widehat{Γ}=71^\circ\), να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου \(ΑΔΕ\).
Στο τρίγωνο \(ΑΒΓ\), τα σημεία \(Δ\in ΑΒ\) και \(Ε\in ΑΓ\) είναι τέτοια ώστε \(ΔΕ\parallel ΒΓ\). Αν \(\widehat{Β}=54^\circ\) και \(\widehat{Γ}=71^\circ\), να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου \(ΑΔΕ\).
Επειδή \(ΔΕ\parallel ΒΓ\), έχουμε:
\(\widehat{ΑΔΕ}=\widehat{ΑΒΓ}=54^\circ\) και \(\widehat{ΑΕΔ}=\widehat{ΑΓΒ}=71^\circ\).
Στο τρίγωνο \(ΑΔΕ\):
\(\widehat{ΔΑΕ}=180^\circ-54^\circ-71^\circ=55^\circ\).
\(\widehat{ΑΔΕ}=\widehat{ΑΒΓ}=54^\circ\) και \(\widehat{ΑΕΔ}=\widehat{ΑΓΒ}=71^\circ\).
Στο τρίγωνο \(ΑΔΕ\):
\(\widehat{ΔΑΕ}=180^\circ-54^\circ-71^\circ=55^\circ\).
Απάντηση: Οι γωνίες του τριγώνου \(ΑΔΕ\) είναι \(54^\circ,71^\circ,55^\circ\).
7
Άγνωστες γωνίες
Οι ευθείες \(ε_1\parallel ε_2\). Αν η σημειωμένη γωνία είναι \(137^\circ\), να υπολογίσετε τις γωνίες \(x,y,z\).
Οι ευθείες \(ε_1\parallel ε_2\). Αν η σημειωμένη γωνία είναι \(137^\circ\), να υπολογίσετε τις γωνίες \(x,y,z\).
1ο βήμα: Οι ευθείες \(ε_1\) και \(ε_2\) είναι παράλληλες και τέμνονται από την ίδια τέμνουσα.
Η γωνία \(x\) είναι εντός εναλλάξ με τη δοσμένη γωνία \(137^\circ\). Άρα:
\(x=137^\circ\).
2ο βήμα: Οι γωνίες \(x\) και \(y\) είναι κατακορυφήν, επομένως είναι ίσες.
Άρα:
\(y=137^\circ\).
3ο βήμα: Οι γωνίες \(y\) και \(z\) είναι παραπληρωματικές.
Επομένως:
\(y+z=180^\circ\).
\(137^\circ+z=180^\circ\), άρα \(z=43^\circ\).
Η γωνία \(x\) είναι εντός εναλλάξ με τη δοσμένη γωνία \(137^\circ\). Άρα:
\(x=137^\circ\).
2ο βήμα: Οι γωνίες \(x\) και \(y\) είναι κατακορυφήν, επομένως είναι ίσες.
Άρα:
\(y=137^\circ\).
3ο βήμα: Οι γωνίες \(y\) και \(z\) είναι παραπληρωματικές.
Επομένως:
\(y+z=180^\circ\).
\(137^\circ+z=180^\circ\), άρα \(z=43^\circ\).
Απάντηση: \(x=137^\circ\), \(y=137^\circ\) και \(z=43^\circ\).
8
Απόδειξη ισοσκελούς τριγώνου
Στο τρίγωνο \(ΑΒΓ\), η ευθεία \(ΔΕ\parallel ΒΓ\), με \(Δ\in ΑΒ\), \(Ε\in ΑΓ\). Αν \(\widehat{ΑΒΓ}=\widehat{ΒΓΑ}\), να αποδείξετε ότι το τρίγωνο \(ΑΔΕ\) είναι ισοσκελές.
Στο τρίγωνο \(ΑΒΓ\), η ευθεία \(ΔΕ\parallel ΒΓ\), με \(Δ\in ΑΒ\), \(Ε\in ΑΓ\). Αν \(\widehat{ΑΒΓ}=\widehat{ΒΓΑ}\), να αποδείξετε ότι το τρίγωνο \(ΑΔΕ\) είναι ισοσκελές.
1ο βήμα: Επειδή \(ΔΕ\parallel ΒΓ\), η γωνία \(\widehat{ΑΔΕ}\) είναι ίση με τη γωνία \(\widehat{ΑΒΓ}\), ως αντίστοιχες γωνίες.
2ο βήμα: Επίσης, επειδή \(ΔΕ\parallel ΒΓ\), η γωνία \(\widehat{ΑΕΔ}\) είναι ίση με τη γωνία \(\widehat{ΒΓΑ}\), ως αντίστοιχες γωνίες.
3ο βήμα: Από την υπόθεση έχουμε \(\widehat{ΑΒΓ}=\widehat{ΒΓΑ}\). Άρα:
\(\widehat{ΑΔΕ}=\widehat{ΑΕΔ}\).
4ο βήμα: Στο τρίγωνο \(ΑΔΕ\), ίσες γωνίες βρίσκονται απέναντι από ίσες πλευρές. Επομένως:
\(ΑΔ=ΑΕ\).
2ο βήμα: Επίσης, επειδή \(ΔΕ\parallel ΒΓ\), η γωνία \(\widehat{ΑΕΔ}\) είναι ίση με τη γωνία \(\widehat{ΒΓΑ}\), ως αντίστοιχες γωνίες.
3ο βήμα: Από την υπόθεση έχουμε \(\widehat{ΑΒΓ}=\widehat{ΒΓΑ}\). Άρα:
\(\widehat{ΑΔΕ}=\widehat{ΑΕΔ}\).
4ο βήμα: Στο τρίγωνο \(ΑΔΕ\), ίσες γωνίες βρίσκονται απέναντι από ίσες πλευρές. Επομένως:
\(ΑΔ=ΑΕ\).
Απάντηση: Το τρίγωνο \(ΑΔΕ\) είναι ισοσκελές με \(ΑΔ=ΑΕ\).
9
Διχοτόμοι εντός και επί τα αυτά
Δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται από τρίτη. Να αποδείξετε ότι οι διχοτόμοι δύο εντός και επί τα αυτά μέρη γωνιών είναι κάθετες.
Δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται από τρίτη. Να αποδείξετε ότι οι διχοτόμοι δύο εντός και επί τα αυτά μέρη γωνιών είναι κάθετες.
1ο βήμα: Έστω ότι οι δύο εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες είναι \(α\) και \(β\).
Επειδή οι δύο ευθείες είναι παράλληλες, οι γωνίες αυτές είναι παραπληρωματικές:
\(α+β=180^\circ\).
2ο βήμα: Οι διχοτόμοί τους χωρίζουν τις γωνίες στα δύο. Άρα οι γωνίες που σχηματίζουν με την τέμνουσα είναι \(\frac{α}{2}\) και \(\frac{β}{2}\).
3ο βήμα: Προσθέτουμε:
\(\frac{α}{2}+\frac{β}{2}=\frac{α+β}{2}=\frac{180^\circ}{2}=90^\circ\).
4ο βήμα: Επομένως η γωνία που σχηματίζουν οι δύο διχοτόμοι είναι ορθή.
Επειδή οι δύο ευθείες είναι παράλληλες, οι γωνίες αυτές είναι παραπληρωματικές:
\(α+β=180^\circ\).
2ο βήμα: Οι διχοτόμοί τους χωρίζουν τις γωνίες στα δύο. Άρα οι γωνίες που σχηματίζουν με την τέμνουσα είναι \(\frac{α}{2}\) και \(\frac{β}{2}\).
3ο βήμα: Προσθέτουμε:
\(\frac{α}{2}+\frac{β}{2}=\frac{α+β}{2}=\frac{180^\circ}{2}=90^\circ\).
4ο βήμα: Επομένως η γωνία που σχηματίζουν οι δύο διχοτόμοι είναι ορθή.
Απάντηση: Οι διχοτόμοι των δύο εντός και επί τα αυτά μέρη γωνιών είναι κάθετες.
10
Παραλληλία από ισότητα γωνιών
Στο τετράπλευρο \(ΑΒΓΔ\) ισχύει \(\widehat{ΑΒΓ}=\widehat{ΒΓΔ}\). Να αποδείξετε ότι \(ΑΒ\parallel ΓΔ\), εφόσον οι δύο γωνίες είναι εντός εναλλάξ ως προς την τέμνουσα \(ΒΓ\).
Στο τετράπλευρο \(ΑΒΓΔ\) ισχύει \(\widehat{ΑΒΓ}=\widehat{ΒΓΔ}\). Να αποδείξετε ότι \(ΑΒ\parallel ΓΔ\), εφόσον οι δύο γωνίες είναι εντός εναλλάξ ως προς την τέμνουσα \(ΒΓ\).
1ο βήμα: Θεωρούμε τις ευθείες \(ΑΒ\) και \(ΓΔ\), οι οποίες τέμνονται από την ευθεία \(ΒΓ\).
2ο βήμα: Οι γωνίες \(\widehat{ΑΒΓ}\) και \(\widehat{ΒΓΔ}\) είναι, σύμφωνα με την εκφώνηση, εντός εναλλάξ ως προς την τέμνουσα \(ΒΓ\).
3ο βήμα: Από την υπόθεση ισχύει:
\(\widehat{ΑΒΓ}=\widehat{ΒΓΔ}\).
4ο βήμα: Όταν δύο ευθείες που τέμνονται από τρίτη σχηματίζουν ίσες εντός εναλλάξ γωνίες, τότε οι δύο ευθείες είναι παράλληλες.
2ο βήμα: Οι γωνίες \(\widehat{ΑΒΓ}\) και \(\widehat{ΒΓΔ}\) είναι, σύμφωνα με την εκφώνηση, εντός εναλλάξ ως προς την τέμνουσα \(ΒΓ\).
3ο βήμα: Από την υπόθεση ισχύει:
\(\widehat{ΑΒΓ}=\widehat{ΒΓΔ}\).
4ο βήμα: Όταν δύο ευθείες που τέμνονται από τρίτη σχηματίζουν ίσες εντός εναλλάξ γωνίες, τότε οι δύο ευθείες είναι παράλληλες.
Απάντηση: Επομένως \(ΑΒ\parallel ΓΔ\).
Τέλος