06Β. Όγκος κυλίνδρου και κώνου
1
Βασικός υπολογισμός όγκου κυλίνδρου
Ένας κύλινδρος έχει ακτίνα βάσης \(ρ=5\) cm και ύψος \(υ=4\) cm. Να υπολογίσετε τον όγκο του.
Ένας κύλινδρος έχει ακτίνα βάσης \(ρ=5\) cm και ύψος \(υ=4\) cm. Να υπολογίσετε τον όγκο του.
1ο βήμα: Το εμβαδόν της κυκλικής βάσης είναι:
\(E_β=πρ^2=π\cdot5^2=25π\) cm².
2ο βήμα: Ο όγκος του κυλίνδρου είναι:
\(V=E_β\cdot υ\).
3ο βήμα: Άρα:
\(V=25π\cdot4=100π\) cm³.
Για \(π\approx3{,}14\):
\(V\approx314\) cm³.
\(E_β=πρ^2=π\cdot5^2=25π\) cm².
2ο βήμα: Ο όγκος του κυλίνδρου είναι:
\(V=E_β\cdot υ\).
3ο βήμα: Άρα:
\(V=25π\cdot4=100π\) cm³.
Για \(π\approx3{,}14\):
\(V\approx314\) cm³.
Απάντηση: \(V=100π\) cm³ \(\approx314\) cm³.
2
Κυλινδρικό ενυδρείο
Ένα κυλινδρικό ενυδρείο έχει διάμετρο \(40\) cm και ύψος \(60\) cm. Να υπολογίσετε πόσα λίτρα νερού χωράει, αν γεμίσει μέχρι επάνω. Χρησιμοποιήστε \(π=3{,}14\).
Ένα κυλινδρικό ενυδρείο έχει διάμετρο \(40\) cm και ύψος \(60\) cm. Να υπολογίσετε πόσα λίτρα νερού χωράει, αν γεμίσει μέχρι επάνω. Χρησιμοποιήστε \(π=3{,}14\).
1ο βήμα: Η διάμετρος είναι \(40\) cm, επομένως:
\(ρ=20\) cm.
2ο βήμα: Ο όγκος είναι:
\(V=πρ^2υ\).
Άρα:
\(V=3{,}14\cdot20^2\cdot60\).
\(V=3{,}14\cdot400\cdot60=75360\) cm³.
3ο βήμα: Επειδή \(1000\) cm³ \(=1\) L:
\(75360\) cm³ \(=75{,}36\) L.
\(ρ=20\) cm.
2ο βήμα: Ο όγκος είναι:
\(V=πρ^2υ\).
Άρα:
\(V=3{,}14\cdot20^2\cdot60\).
\(V=3{,}14\cdot400\cdot60=75360\) cm³.
3ο βήμα: Επειδή \(1000\) cm³ \(=1\) L:
\(75360\) cm³ \(=75{,}36\) L.
Απάντηση: Το ενυδρείο χωράει \(75{,}36\) λίτρα νερού.
3
Βασικός υπολογισμός όγκου κώνου
Ένας κώνος έχει ακτίνα βάσης \(ρ=10\) cm και ύψος \(υ=2\) cm. Να υπολογίσετε τον όγκο του.
Ένας κώνος έχει ακτίνα βάσης \(ρ=10\) cm και ύψος \(υ=2\) cm. Να υπολογίσετε τον όγκο του.
1ο βήμα: Το εμβαδόν της βάσης είναι:
\(E_β=πρ^2=π\cdot10^2=100π\) cm².
2ο βήμα: Για τον κώνο ισχύει:
\(V=\frac13E_β\cdot υ\).
3ο βήμα: Άρα:
\(V=\frac13\cdot100π\cdot2=\frac{200π}{3}\) cm³.
Για \(π\approx3{,}14\):
\(V\approx209{,}33\) cm³.
\(E_β=πρ^2=π\cdot10^2=100π\) cm².
2ο βήμα: Για τον κώνο ισχύει:
\(V=\frac13E_β\cdot υ\).
3ο βήμα: Άρα:
\(V=\frac13\cdot100π\cdot2=\frac{200π}{3}\) cm³.
Για \(π\approx3{,}14\):
\(V\approx209{,}33\) cm³.
Απάντηση: \(V=\frac{200π}{3}\) cm³ \(\approx209{,}33\) cm³.
4
Κώνος με γνωστή γενέτειρα
Ένας ορθός κώνος έχει ακτίνα βάσης \(10\) cm και γενέτειρα \(20\) cm. Να υπολογίσετε πρώτα το ύψος του και στη συνέχεια τον όγκο του.
Ένας ορθός κώνος έχει ακτίνα βάσης \(10\) cm και γενέτειρα \(20\) cm. Να υπολογίσετε πρώτα το ύψος του και στη συνέχεια τον όγκο του.
1ο βήμα: Η ακτίνα \(ρ\), το ύψος \(υ\) και η γενέτειρα \(λ\) σχηματίζουν ορθογώνιο τρίγωνο.
Άρα:
\(λ^2=ρ^2+υ^2\).
2ο βήμα: Αντικαθιστούμε:
\(20^2=10^2+υ^2\).
\(400=100+υ^2\).
\(υ^2=300\).
Άρα:
\(υ=10\sqrt3\) cm.
3ο βήμα: Ο όγκος είναι:
\(V=\frac13πρ^2υ\).
Άρα:
\(V=\frac13π\cdot100\cdot10\sqrt3\).
\(V=\frac{1000π\sqrt3}{3}\) cm³.
Άρα:
\(λ^2=ρ^2+υ^2\).
2ο βήμα: Αντικαθιστούμε:
\(20^2=10^2+υ^2\).
\(400=100+υ^2\).
\(υ^2=300\).
Άρα:
\(υ=10\sqrt3\) cm.
3ο βήμα: Ο όγκος είναι:
\(V=\frac13πρ^2υ\).
Άρα:
\(V=\frac13π\cdot100\cdot10\sqrt3\).
\(V=\frac{1000π\sqrt3}{3}\) cm³.
Απάντηση: \(υ=10\sqrt3\) cm και \(V=\frac{1000π\sqrt3}{3}\) cm³.
5
Κύλινδρος και κώνος με ίδια βάση και ίδιο ύψος
Ένας κύλινδρος και ένας κώνος έχουν ακτίνα βάσης \(6\) cm και ύψος \(10\) cm. Να υπολογίσετε τους όγκους τους και να τους συγκρίνετε.
Ένας κύλινδρος και ένας κώνος έχουν ακτίνα βάσης \(6\) cm και ύψος \(10\) cm. Να υπολογίσετε τους όγκους τους και να τους συγκρίνετε.
1ο βήμα: Για τον κύλινδρο:
\(V_{\mathrm{κυλ}}=πρ^2υ\).
Άρα:
\(V_{\mathrm{κυλ}}=π\cdot6^2\cdot10=360π\) cm³.
2ο βήμα: Για τον κώνο:
\(V_{\mathrm{κων}}=\frac13πρ^2υ\).
Άρα:
\(V_{\mathrm{κων}}=\frac13\cdot360π=120π\) cm³.
3ο βήμα: Συνεπώς:
\(V_{\mathrm{κυλ}}=3V_{\mathrm{κων}}\).
\(V_{\mathrm{κυλ}}=πρ^2υ\).
Άρα:
\(V_{\mathrm{κυλ}}=π\cdot6^2\cdot10=360π\) cm³.
2ο βήμα: Για τον κώνο:
\(V_{\mathrm{κων}}=\frac13πρ^2υ\).
Άρα:
\(V_{\mathrm{κων}}=\frac13\cdot360π=120π\) cm³.
3ο βήμα: Συνεπώς:
\(V_{\mathrm{κυλ}}=3V_{\mathrm{κων}}\).
Απάντηση: Ο κύλινδρος έχει όγκο \(360π\) cm³ και ο κώνος \(120π\) cm³. Ο όγκος του κώνου είναι το \(\frac13\) του όγκου του κυλίνδρου.
6
Ποιος κύλινδρος έχει μεγαλύτερο όγκο;
Ο κύλινδρος Α έχει διάμετρο \(2\) m και ύψος \(1\) m. Ο κύλινδρος Β έχει διάμετρο \(1\) m και ύψος \(2\) m. Να συγκρίνετε τους όγκους τους.
Ο κύλινδρος Α έχει διάμετρο \(2\) m και ύψος \(1\) m. Ο κύλινδρος Β έχει διάμετρο \(1\) m και ύψος \(2\) m. Να συγκρίνετε τους όγκους τους.
1ο βήμα: Για τον κύλινδρο Α η ακτίνα είναι \(1\) m.
Άρα:
\(V_A=π\cdot1^2\cdot1=π\) m³.
2ο βήμα: Για τον κύλινδρο Β η ακτίνα είναι \(0{,}5\) m.
Άρα:
\(V_B=π\cdot0{,}5^2\cdot2\).
\(V_B=π\cdot0{,}25\cdot2=0{,}5π\) m³.
3ο βήμα: Έχουμε:
\(V_A=2V_B\).
Άρα:
\(V_A=π\cdot1^2\cdot1=π\) m³.
2ο βήμα: Για τον κύλινδρο Β η ακτίνα είναι \(0{,}5\) m.
Άρα:
\(V_B=π\cdot0{,}5^2\cdot2\).
\(V_B=π\cdot0{,}25\cdot2=0{,}5π\) m³.
3ο βήμα: Έχουμε:
\(V_A=2V_B\).
Απάντηση: Ο κύλινδρος Α έχει διπλάσιο όγκο από τον κύλινδρο Β.
7
Κύλινδρος
Να υπολογίσετε τον όγκο κυλίνδρου με ακτίνα βάσης \(ρ=5\) cm και ύψος \(υ=8\) cm.
Να υπολογίσετε τον όγκο κυλίνδρου με ακτίνα βάσης \(ρ=5\) cm και ύψος \(υ=8\) cm.
1ο βήμα: Για τον όγκο κυλίνδρου χρησιμοποιούμε τον τύπο:
\(V=πρ^2υ\).
2ο βήμα: Αντικαθιστούμε \(ρ=5\) cm και \(υ=8\) cm:
\(V=π\cdot5^2\cdot8\).
3ο βήμα: Επειδή \(5^2=25\), έχουμε:
\(V=π\cdot25\cdot8=200π\) cm³.
\(V=πρ^2υ\).
2ο βήμα: Αντικαθιστούμε \(ρ=5\) cm και \(υ=8\) cm:
\(V=π\cdot5^2\cdot8\).
3ο βήμα: Επειδή \(5^2=25\), έχουμε:
\(V=π\cdot25\cdot8=200π\) cm³.
Απάντηση: Ο όγκος του κυλίνδρου είναι \(200π\) cm³.
8
Κώνος
Ένας κώνος έχει ακτίνα βάσης \(6\) cm και ύψος \(9\) cm. Να υπολογίσετε τον όγκο του σε μορφή \(απ\).
Ένας κώνος έχει ακτίνα βάσης \(6\) cm και ύψος \(9\) cm. Να υπολογίσετε τον όγκο του σε μορφή \(απ\).
1ο βήμα: Για τον όγκο κώνου ισχύει:
\(V=\frac13πρ^2υ\).
2ο βήμα: Αντικαθιστούμε \(ρ=6\) cm και \(υ=9\) cm:
\(V=\frac13π\cdot6^2\cdot9\).
3ο βήμα: Υπολογίζουμε:
\(V=\frac13π\cdot36\cdot9=\frac{324π}{3}=108π\) cm³.
\(V=\frac13πρ^2υ\).
2ο βήμα: Αντικαθιστούμε \(ρ=6\) cm και \(υ=9\) cm:
\(V=\frac13π\cdot6^2\cdot9\).
3ο βήμα: Υπολογίζουμε:
\(V=\frac13π\cdot36\cdot9=\frac{324π}{3}=108π\) cm³.
Απάντηση: Ο όγκος του κώνου είναι \(108π\) cm³.
9
Αντίστροφο πρόβλημα κυλίνδρου
Ένας κύλινδρος έχει όγκο \(160π\) cm³ και ισχύει \(2υ=5ρ\). Να βρείτε την ακτίνα \(ρ\) και το ύψος \(υ\).
Ένας κύλινδρος έχει όγκο \(160π\) cm³ και ισχύει \(2υ=5ρ\). Να βρείτε την ακτίνα \(ρ\) και το ύψος \(υ\).
1ο βήμα: Από τη σχέση \(2υ=5ρ\) λύνουμε ως προς \(υ\):
\(υ=\frac52ρ\).
2ο βήμα: Ο όγκος του κυλίνδρου είναι:
\(V=πρ^2υ\).
Επειδή \(V=160π\), έχουμε:
\(160π=πρ^2\cdot\frac52ρ\).
3ο βήμα: Απλοποιούμε με \(π\):
\(160=\frac52ρ^3\).
Πολλαπλασιάζουμε επί \(2\):
\(320=5ρ^3\).
Άρα:
\(ρ^3=64\), οπότε \(ρ=4\) cm.
4ο βήμα: Από \(υ=\frac52ρ\):
\(υ=\frac52\cdot4=10\) cm.
\(υ=\frac52ρ\).
2ο βήμα: Ο όγκος του κυλίνδρου είναι:
\(V=πρ^2υ\).
Επειδή \(V=160π\), έχουμε:
\(160π=πρ^2\cdot\frac52ρ\).
3ο βήμα: Απλοποιούμε με \(π\):
\(160=\frac52ρ^3\).
Πολλαπλασιάζουμε επί \(2\):
\(320=5ρ^3\).
Άρα:
\(ρ^3=64\), οπότε \(ρ=4\) cm.
4ο βήμα: Από \(υ=\frac52ρ\):
\(υ=\frac52\cdot4=10\) cm.
Απάντηση: \(ρ=4\) cm και \(υ=10\) cm.
10
Ποιο δοχείο χωρά περισσότερο παγωτό;
Ένα κατάστημα διαθέτει τρία δοχεία στην ίδια τιμή:
• κυβικό δοχείο ακμής \(5\) cm,
• κυλινδρικό δοχείο ακτίνας \(2{,}5\) cm και ύψους \(6\) cm,
• κωνικό δοχείο διαμέτρου \(8\) cm και ύψους \(6\) cm.
Να υπολογίσετε τους τρεις όγκους και να επιλέξετε το δοχείο που χωρά περισσότερο.
Ένα κατάστημα διαθέτει τρία δοχεία στην ίδια τιμή:
• κυβικό δοχείο ακμής \(5\) cm,
• κυλινδρικό δοχείο ακτίνας \(2{,}5\) cm και ύψους \(6\) cm,
• κωνικό δοχείο διαμέτρου \(8\) cm και ύψους \(6\) cm.
Να υπολογίσετε τους τρεις όγκους και να επιλέξετε το δοχείο που χωρά περισσότερο.
1ο βήμα: Υπολογίζουμε τον όγκο του κυβικού δοχείου:
\(V_{\text{κύβου}}=α^3=5^3=125\) cm³.
2ο βήμα: Για το κυλινδρικό δοχείο έχουμε \(ρ=2{,}5\) cm και \(υ=6\) cm.
\(V_{\text{κυλ}}=πρ^2υ=π\cdot2{,}5^2\cdot6\).
Άρα:
\(V_{\text{κυλ}}=π\cdot6{,}25\cdot6=37{,}5π\) cm³.
Για \(π\approx3{,}14\):
\(V_{\text{κυλ}}\approx117{,}75\) cm³.
3ο βήμα: Στο κωνικό δοχείο η διάμετρος είναι \(8\) cm, άρα η ακτίνα είναι \(ρ=4\) cm.
\(V_{\text{κων}}=\frac13πρ^2υ=\frac13π\cdot4^2\cdot6\).
Άρα:
\(V_{\text{κων}}=32π\) cm³.
Για \(π\approx3{,}14\):
\(V_{\text{κων}}\approx100{,}48\) cm³.
4ο βήμα: Συγκρίνουμε:
\(125＞117{,}75＞100{,}48\).
Επομένως το κυβικό δοχείο έχει τη μεγαλύτερη χωρητικότητα.
\(V_{\text{κύβου}}=α^3=5^3=125\) cm³.
2ο βήμα: Για το κυλινδρικό δοχείο έχουμε \(ρ=2{,}5\) cm και \(υ=6\) cm.
\(V_{\text{κυλ}}=πρ^2υ=π\cdot2{,}5^2\cdot6\).
Άρα:
\(V_{\text{κυλ}}=π\cdot6{,}25\cdot6=37{,}5π\) cm³.
Για \(π\approx3{,}14\):
\(V_{\text{κυλ}}\approx117{,}75\) cm³.
3ο βήμα: Στο κωνικό δοχείο η διάμετρος είναι \(8\) cm, άρα η ακτίνα είναι \(ρ=4\) cm.
\(V_{\text{κων}}=\frac13πρ^2υ=\frac13π\cdot4^2\cdot6\).
Άρα:
\(V_{\text{κων}}=32π\) cm³.
Για \(π\approx3{,}14\):
\(V_{\text{κων}}\approx100{,}48\) cm³.
4ο βήμα: Συγκρίνουμε:
\(125＞117{,}75＞100{,}48\).
Επομένως το κυβικό δοχείο έχει τη μεγαλύτερη χωρητικότητα.
Απάντηση: Κυβικό δοχείο: \(125\) cm³, κυλινδρικό: \(37{,}5π\) cm³ \(\approx117{,}75\) cm³, κωνικό: \(32π\) cm³ \(\approx100{,}48\) cm³. Περισσότερο παγωτό χωρά το κυβικό δοχείο.
Τέλος