Tετραγωνικές ρίζες

1📘 Τετραγωνική ρίζα και υπόρριζη ποσότητα

Η τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού \(\alpha\) είναι ο μοναδικός μη αρνητικός αριθμός που, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον \(\alpha\).

\(\sqrt{\alpha}=x\quad\Longleftrightarrow\quad x\geq0\ \text{και}\ x^2=\alpha\)

Ο αριθμός ή η παράσταση που βρίσκεται κάτω από το σύμβολο της ρίζας ονομάζεται υπόρριζη ποσότητα.

2📘 Ιδιότητα γινομένου

Για \(\alpha\geq0\) και \(\beta\geq0\) ισχύει:

\(\sqrt{\alpha\beta}=\sqrt{\alpha}\cdot\sqrt{\beta}\)

Η ιδιότητα χρησιμοποιείται και προς τις δύο κατευθύνσεις.

\(\sqrt{9\cdot16}=\sqrt9\cdot\sqrt{16}=3\cdot4=12\)

\(3\sqrt5=\sqrt9\cdot\sqrt5=\sqrt{45}\)

3📘 Ιδιότητα πηλίκου

Για \(\alpha\geq0\) και \(\beta>0\) ισχύει:

\(\sqrt{\dfrac{\alpha}{\beta}}=\dfrac{\sqrt{\alpha}}{\sqrt{\beta}}\)

\(\sqrt{\dfrac{100}{4}}=\dfrac{\sqrt{100}}{\sqrt4}=\dfrac{10}{2}=5\)

Στην προϋπόθεση γράφουμε \(\beta>0\), επειδή ο παρονομαστής δεν επιτρέπεται να είναι μηδέν.

4📘 Γιατί ισχύει η ιδιότητα γινομένου;

Δεν αρκεί ένα παράδειγμα για να αποδείξουμε μια μαθηματική ιδιότητα. Πρέπει να δείξουμε ότι ισχύει για όλους τους επιτρεπτούς αριθμούς.

Για \(\alpha\geq0\) και \(\beta\geq0\) έχουμε:

\(\left(\sqrt{\alpha\beta}\right)^2=\alpha\beta\)

\(\left(\sqrt\alpha\cdot\sqrt\beta\right)^2=(\sqrt\alpha)^2(\sqrt\beta)^2=\alpha\beta\)

Οι δύο αριθμοί είναι μη αρνητικοί και έχουν ίσα τετράγωνα. Επομένως είναι ίσοι.

5📘 Η ρίζα αθροίσματος δεν χωρίζεται

Η ιδιότητα του γινομένου δεν ισχύει για πρόσθεση ή αφαίρεση.

\(\sqrt{\alpha+\beta}\neq\sqrt\alpha+\sqrt\beta\)

Για παράδειγμα:

\(\sqrt{4+9}=\sqrt{13}\)

\(\sqrt4+\sqrt9=2+3=5\)

Επειδή \(\sqrt{13}\neq5\), η ισότητα είναι ψευδής.

6📘 Απλοποίηση τετραγωνικής ρίζας

Αναζητούμε έναν τέλειο τετράγωνο παράγοντα μέσα στην υπόρριζη ποσότητα.

\(\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=\sqrt{25}\cdot\sqrt2=5\sqrt2\)

\(\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt2\)

Δεν επιλέγουμε τυχαία ανάλυση. Για το \(50\), η γραφή \(50=25\cdot2\) είναι χρησιμότερη από τη γραφή \(50=5\cdot10\).

7📘 Πρόσθεση και αφαίρεση όμοιων ριζών

Οι ρίζες προστίθενται ή αφαιρούνται μόνο όταν, μετά την απλοποίηση, έχουν την ίδια υπόρριζη ποσότητα.

\(\sqrt{50}+\sqrt{32}=5\sqrt2+4\sqrt2=9\sqrt2\)

\(3\sqrt2+5\sqrt3\)

Η τελευταία παράσταση δεν απλοποιείται περισσότερο, επειδή οι ρίζες \(\sqrt2\) και \(\sqrt3\) δεν είναι όμοιες.

8📘 Ρίζες κλασμάτων και δεκαδικών αριθμών

Μετατρέπουμε έναν δεκαδικό αριθμό σε κλάσμα ή αναλύουμε κατάλληλα την υπόρριζη ποσότητα.

\(\sqrt{0{,}25}=\sqrt{\dfrac{25}{100}}=\dfrac5{10}=0{,}5\)

\(\sqrt{1600}=\sqrt{16\cdot100}=4\cdot10=40\)

\(\sqrt{\dfrac94}+\sqrt{\dfrac{25}{4}}=\dfrac32+\dfrac52=4\)

9📘 Η βασική ταυτότητα \(\sqrt{\alpha^2}=|\alpha|\)

Για κάθε πραγματικό αριθμό \(\alpha\) ισχύει:

\(\sqrt{\alpha^2}=|\alpha|\)

\(\sqrt{5^2}=|5|=5\)

\(\sqrt{(-5)^2}=|-5|=5\)

Δεν γράφουμε γενικά \(\sqrt{\alpha^2}=\alpha\), επειδή ο αριθμός \(\alpha\) μπορεί να είναι αρνητικός, ενώ η τετραγωνική ρίζα είναι πάντοτε μη αρνητική.

10📘 Εφαρμογή στο Πυθαγόρειο Θεώρημα

Σε ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο με κάθετες πλευρές μήκους \(5\), η υποτείνουσα \(x\) ικανοποιεί:

\(x^2=5^2+5^2=50\)

\(x=\sqrt{50}=5\sqrt2\)

Γενικά, αν οι κάθετες πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι \(\sqrt\alpha\) και \(\sqrt\beta\), τότε η υποτείνουσα είναι

\(\sqrt{\alpha+\beta}\)

11📘 Έλεγχος των προϋποθέσεων

Η ισότητα \(\sqrt{\alpha\beta}=\sqrt\alpha\sqrt\beta\) δεν εφαρμόζεται όταν οι επιμέρους ρίζες δεν ορίζονται στους πραγματικούς αριθμούς.

Αν \(\alpha=-4\) και \(\beta=-25\), τότε το γινόμενο \(\alpha\beta=100\) είναι θετικό και η ρίζα \(\sqrt{100}\) ορίζεται.

Όμως οι ρίζες \(\sqrt{-4}\) και \(\sqrt{-25}\) δεν ορίζονται στους πραγματικούς αριθμούς. Άρα δεν επιτρέπεται να γράψουμε:

\(\sqrt{(-4)(-25)}=\sqrt{-4}\cdot\sqrt{-25}\)

⚠️ Προσοχή

1. Δεν ισχύει γενικά \(\sqrt{\alpha+\beta}=\sqrt\alpha+\sqrt\beta\).

2. Δεν ισχύει γενικά \(\sqrt{\alpha-\beta}=\sqrt\alpha-\sqrt\beta\).

3. Η ιδιότητα γινομένου απαιτεί \(\alpha\geq0\) και \(\beta\geq0\).

4. Η ιδιότητα πηλίκου απαιτεί \(\alpha\geq0\) και \(\beta>0\).

5. Το αποτέλεσμα μιας τετραγωνικής ρίζας είναι πάντοτε μη αρνητικό.

6. Γενικά \(\sqrt{\alpha^2}=|\alpha|\) και όχι υποχρεωτικά \(\alpha\).

💡 Να θυμάμαι

Ορισμός: \(\sqrt\alpha\) ορίζεται για \(\alpha\geq0\).

Γινόμενο: \(\sqrt{\alpha\beta}=\sqrt\alpha\sqrt\beta\), για \(\alpha,\beta\geq0\).

Πηλίκο: \(\sqrt{\dfrac\alpha\beta}=\dfrac{\sqrt\alpha}{\sqrt\beta}\), για \(\alpha\geq0\), \(\beta>0\).

Τετράγωνο: \((\sqrt\alpha)^2=\alpha\), για \(\alpha\geq0\).

Απόλυτη τιμή: \(\sqrt{\alpha^2}=|\alpha|\), για κάθε πραγματικό \(\alpha\).

Απλοποίηση: επιλέγω παράγοντα που είναι τέλειο τετράγωνο.

Όμοιες ρίζες: προσθέτω ή αφαιρώ μόνο όταν έχουν την ίδια υπόρριζη ποσότητα.

✍️ Πλήρως λυμένο παράδειγμα

🎯 Δοκίμασε μόνος σου

Να απλοποιήσεις την παράσταση εφαρμόζοντας τις ιδιότητες των τετραγωνικών ριζών.