01Γ. Δυνάμεις πραγματικών αριθμών

1📘 Τι είναι δύναμη πραγματικού αριθμού;

Αν \(α\) είναι πραγματικός αριθμός και \(ν\) φυσικός με \(ν＞1\), η δύναμη \(α^ν\) είναι το γινόμενο \(ν\) ίσων παραγόντων, καθένας από τους οποίους είναι ίσος με \(α\).

\(α^ν=\underbrace{α\cdot α\cdot\ldots\cdot α}_{ν\ \text{παράγοντες}}\)

Ο αριθμός \(α\) λέγεται βάση και ο \(ν\) λέγεται εκθέτης.

Παραδείγματα
\(3^4=3\cdot3\cdot3\cdot3=81\) και \((-\sqrt2)^3=(-\sqrt2)(-\sqrt2)(-\sqrt2)\).

2📘 Εκθέτης \(1\) και εκθέτης \(0\)

Για κάθε πραγματικό αριθμό \(α\) ισχύει:

\(α^1=α\)

Για κάθε μη μηδενικό πραγματικό αριθμό \(α\) ορίζουμε:

\(α^0=1,\qquad α\ne0\)

Παραδείγματα
\((-\sqrt5)^1=-\sqrt5\) και \((-\sqrt5)^0=1\).

3📘 Αρνητικός ακέραιος εκθέτης

Αν \(α\ne0\) και \(ν\) είναι θετικός ακέραιος, τότε:

\(α^{-ν}=\frac{1}{α^ν}\)

Ο αρνητικός εκθέτης δεν κάνει τη δύναμη αρνητική. Μας οδηγεί στον αντίστροφο της αντίστοιχης δύναμης με θετικό εκθέτη.

Παράδειγμα 1
\(2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac18\).

Παράδειγμα 2
\((-3)^{-2}=\frac{1}{(-3)^2}=\frac19\).

4📘 Πρόσημο δύναμης με αρνητική βάση

Όταν η βάση είναι αρνητική, το πρόσημο του αποτελέσματος εξαρτάται από το αν ο εκθέτης είναι άρτιος ή περιττός.

• Αρνητική βάση με άρτιο εκθέτη δίνει θετικό αποτέλεσμα.
• Αρνητική βάση με περιττό εκθέτη δίνει αρνητικό αποτέλεσμα.

\((-α)^{2κ}＞0,\qquad(-α)^{2κ+1}＜0,\quad α＞0\)

Παραδείγματα
\((-2)^6=64\), ενώ \((-2)^5=-32\).

5📘 Γινόμενο δυνάμεων με την ίδια βάση

Για να πολλαπλασιάσουμε δυνάμεις με την ίδια βάση, αφήνουμε τη βάση ίδια και προσθέτουμε τους εκθέτες.

\(α^μ\cdot α^ν=α^{μ+ν}\)

Παράδειγμα
\(5^3\cdot5^{-1}=5^{3+(-1)}=5^2=25\).

6📘 Πηλίκο δυνάμεων με την ίδια βάση

Για να διαιρέσουμε δυνάμεις με την ίδια μη μηδενική βάση, αφήνουμε τη βάση ίδια και αφαιρούμε τον εκθέτη του διαιρέτη από τον εκθέτη του διαιρετέου.

\(α^μ:α^ν=α^{μ-ν},\qquad α\ne0\)

Παράδειγμα
\(3^2:3^5=3^{2-5}=3^{-3}=\frac{1}{27}\).

7📘 Δύναμη δύναμης

Όταν υψώνουμε μια δύναμη σε άλλη δύναμη, αφήνουμε τη βάση ίδια και πολλαπλασιάζουμε τους εκθέτες.

\((α^μ)^ν=α^{μν}\)

Παράδειγμα
\((2^{-3})^4=2^{-12}=\frac{1}{2^{12}}\).

8📘 Δύναμη γινομένου και πηλίκου

Η δύναμη ενός γινομένου είναι ίση με το γινόμενο των αντίστοιχων δυνάμεων:

\((αβ)^ν=α^νβ^ν\)

Η δύναμη ενός πηλίκου είναι ίση με το πηλίκο των αντίστοιχων δυνάμεων:

\(\left(\frac{α}{β}\right)^ν=\frac{α^ν}{β^ν},\qquad β\ne0\)

Παραδείγματα
\((2\cdot5)^3=2^3\cdot5^3\) και \(\left(\frac23\right)^4=\frac{2^4}{3^4}\).

Για αρνητικό εκθέτη σε κλάσμα μπορούμε να αντιστρέψουμε το κλάσμα:

\(\left(\frac{α}{β}\right)^{-ν}=\left(\frac{β}{α}\right)^ν,\qquad αβ\ne0\)

9📘 Πώς απλοποιούμε παράσταση με δυνάμεις;

1. Εντοπίζουμε αν υπάρχει δύναμη δύναμης ή δύναμη γινομένου.
2. Γράφουμε, όταν χρειάζεται, όλους τους παράγοντες με κοινή βάση.
3. Στα γινόμενα προσθέτουμε εκθέτες και στα πηλίκα αφαιρούμε.
4. Μετατρέπουμε τον τελικό αρνητικό εκθέτη σε θετικό.

Παράδειγμα
Για \(x,y\ne0\):

\(\frac{(x^2y^{-1})^3}{x^4y^{-5}}=\frac{x^6y^{-3}}{x^4y^{-5}}=x^{6-4}y^{-3-(-5)}=x^2y^2\)

10📘 Προτεραιότητα πράξεων με δυνάμεις

Σε μια αριθμητική παράσταση εκτελούμε πρώτα τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις, έπειτα τις δυνάμεις, μετά πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις και τέλος προσθέσεις και αφαιρέσεις.

Παράδειγμα
\(A=(-2)^3-3^2+[5-2(4-7)]\).

\(A=-8-9+[5-2(-3)]=-17+11=-6\)

11📘 Τυποποιημένη ή επιστημονική μορφή

Ένας μη μηδενικός αριθμός είναι γραμμένος σε επιστημονική μορφή όταν έχει τη μορφή:

\(α\cdot10^ν,\qquad1\le\lvert α\rvert＜10,\quad ν\in\mathbb Z\)

Για μεγάλους αριθμούς ο εκθέτης του \(10\) είναι θετικός, ενώ για πολύ μικρούς αριθμούς είναι αρνητικός.

Παράδειγμα 1
\(7\,350\,000=7,35\cdot10^6\).

Παράδειγμα 2
\(0,0000048=4,8\cdot10^{-6}\).