01α_Τετραγωνικές ρίζες
Θεωρία
1
Ποιες είναι οι δύο βασικές ιδιότητες του γινομένου και του πηλίκου των τετραγωνικών ριζών και κάτω από ποιες προϋποθέσεις ισχύουν για τους αριθμούς \(α\) και \(β\);
Ιδιότητα γινομένου
Για \(α\geq0\) και \(β\geq0\) ισχύει:
\(\sqrt{α\cdot β}=\sqrt{α}\cdot\sqrt{β}\).
Ιδιότητα πηλίκου
Για \(α\geq0\) και \(β>0\) ισχύει:
\(\sqrt{\dfrac{α}{β}}=\dfrac{\sqrt{α}}{\sqrt{β}}\).
Στη δεύτερη ιδιότητα απαιτούμε \(β>0\), επειδή το \(β\) βρίσκεται στον παρονομαστή και δεν επιτρέπεται να είναι μηδέν. Ταυτόχρονα, για να ορίζεται η \(\sqrt{β}\), πρέπει \(β\geq0\). Άρα τελικά χρειάζεται \(β>0\).
Για \(α\geq0\) και \(β\geq0\) ισχύει:
\(\sqrt{α\cdot β}=\sqrt{α}\cdot\sqrt{β}\).
Ιδιότητα πηλίκου
Για \(α\geq0\) και \(β>0\) ισχύει:
\(\sqrt{\dfrac{α}{β}}=\dfrac{\sqrt{α}}{\sqrt{β}}\).
Στη δεύτερη ιδιότητα απαιτούμε \(β>0\), επειδή το \(β\) βρίσκεται στον παρονομαστή και δεν επιτρέπεται να είναι μηδέν. Ταυτόχρονα, για να ορίζεται η \(\sqrt{β}\), πρέπει \(β\geq0\). Άρα τελικά χρειάζεται \(β>0\).
2
Ισχύει γενικά η ισότητα \(\sqrt{α+β}=\sqrt{α}+\sqrt{β}\); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
Η ισότητα δεν ισχύει γενικά.
Αρκεί ένα αντιπαράδειγμα. Για \(α=4\) και \(β=9\) έχουμε:
\(\sqrt{4+9}=\sqrt{13}\),
ενώ
\(\sqrt4+\sqrt9=2+3=5\).
Επειδή \(\sqrt{13} eq5\), η ισότητα είναι λανθασμένη. Οι ιδιότητες των ριζών εφαρμόζονται στο γινόμενο και στο πηλίκο, όχι γενικά στο άθροισμα ή στη διαφορά.
Αρκεί ένα αντιπαράδειγμα. Για \(α=4\) και \(β=9\) έχουμε:
\(\sqrt{4+9}=\sqrt{13}\),
ενώ
\(\sqrt4+\sqrt9=2+3=5\).
Επειδή \(\sqrt{13} eq5\), η ισότητα είναι λανθασμένη. Οι ιδιότητες των ριζών εφαρμόζονται στο γινόμενο και στο πηλίκο, όχι γενικά στο άθροισμα ή στη διαφορά.
3
Ο Χαράλαμπος ισχυρίζεται ότι η ιδιότητα \(\sqrt{α\cdot β}=\sqrt{α}\cdot\sqrt{β}\) ισχύει ακόμη και όταν \(α=-4\) και \(β=-25\). Συμφωνείτε; Γιατί;
Δεν συμφωνούμε.
Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών οι παραστάσεις \(\sqrt{-4}\) και \(\sqrt{-25}\) δεν ορίζονται.
Πράγματι, το γινόμενο είναι θετικό και
\(\sqrt{(-4)(-25)}=\sqrt{100}=10\),
όμως το δεξί μέλος \(\sqrt{-4}\cdot\sqrt{-25}\) δεν έχει νόημα στους πραγματικούς αριθμούς.
Η ιδιότητα εφαρμόζεται μόνο όταν \(α\geq0\) και \(β\geq0\). Εδώ οι προϋποθέσεις δεν ικανοποιούνται.
Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών οι παραστάσεις \(\sqrt{-4}\) και \(\sqrt{-25}\) δεν ορίζονται.
Πράγματι, το γινόμενο είναι θετικό και
\(\sqrt{(-4)(-25)}=\sqrt{100}=10\),
όμως το δεξί μέλος \(\sqrt{-4}\cdot\sqrt{-25}\) δεν έχει νόημα στους πραγματικούς αριθμούς.
Η ιδιότητα εφαρμόζεται μόνο όταν \(α\geq0\) και \(β\geq0\). Εδώ οι προϋποθέσεις δεν ικανοποιούνται.
Σωστό - Λάθος
1
\(\sqrt2\cdot\sqrt3=\sqrt{2\cdot3}\).
Σωστό.
Οι αριθμοί \(2\) και \(3\) είναι μη αρνητικοί, επομένως εφαρμόζεται η ιδιότητα γινομένου: \(\sqrt2\cdot\sqrt3=\sqrt6\).
Οι αριθμοί \(2\) και \(3\) είναι μη αρνητικοί, επομένως εφαρμόζεται η ιδιότητα γινομένου: \(\sqrt2\cdot\sqrt3=\sqrt6\).
2
\(\dfrac{\sqrt5}{\sqrt3}=\sqrt{\dfrac53}\).
Σωστό.
Έχουμε \(5\geq0\) και \(3>0\), οπότε εφαρμόζεται η ιδιότητα του πηλίκου.
Έχουμε \(5\geq0\) και \(3>0\), οπότε εφαρμόζεται η ιδιότητα του πηλίκου.
3
\(\dfrac{\sqrt2}{\sqrt1}=\sqrt{\dfrac21}\).
Σωστό.
Επειδή \(2\geq0\) και \(1>0\), η ιδιότητα του πηλίκου εφαρμόζεται κανονικά. Και τα δύο μέλη είναι ίσα με \(\sqrt2\).
Επειδή \(2\geq0\) και \(1>0\), η ιδιότητα του πηλίκου εφαρμόζεται κανονικά. Και τα δύο μέλη είναι ίσα με \(\sqrt2\).
4
\(\sqrt{4+9}=\sqrt4+\sqrt9\).
Λάθος.
Το αριστερό μέλος είναι \(\sqrt{13}\), ενώ το δεξί είναι \(2+3=5\). Άρα \(\sqrt{13} eq5\).
Το αριστερό μέλος είναι \(\sqrt{13}\), ενώ το δεξί είναι \(2+3=5\). Άρα \(\sqrt{13} eq5\).
5
\(\sqrt{-4}\cdot\sqrt{-25}=\sqrt{(-4)(-25)}\).
Λάθος.
Στους πραγματικούς αριθμούς οι ρίζες \(\sqrt{-4}\) και \(\sqrt{-25}\) δεν ορίζονται. Επομένως το αριστερό μέλος δεν έχει νόημα, παρότι το γινόμενο \((-4)(-25)=100\) είναι θετικό.
Στους πραγματικούς αριθμούς οι ρίζες \(\sqrt{-4}\) και \(\sqrt{-25}\) δεν ορίζονται. Επομένως το αριστερό μέλος δεν έχει νόημα, παρότι το γινόμενο \((-4)(-25)=100\) είναι θετικό.
Θέματα
Εύκολες ασκήσεις
1
Να εφαρμόσετε τις ιδιότητες της τετραγωνικής ρίζας και να υπολογίσετε την παράσταση \(\sqrt3\cdot\sqrt{25}\).
Εφαρμόζουμε την ιδιότητα του γινομένου:
\(\sqrt3\cdot\sqrt{25}=\sqrt{3\cdot25}=\sqrt{75}\).
Επειδή \(75=25\cdot3\), έχουμε:
\(\sqrt{75}=\sqrt{25}\cdot\sqrt3=5\sqrt3\).
Επομένως \(\boxed{5\sqrt3}\).
\(\sqrt3\cdot\sqrt{25}=\sqrt{3\cdot25}=\sqrt{75}\).
Επειδή \(75=25\cdot3\), έχουμε:
\(\sqrt{75}=\sqrt{25}\cdot\sqrt3=5\sqrt3\).
Επομένως \(\boxed{5\sqrt3}\).
2
Να εφαρμόσετε τις ιδιότητες της τετραγωνικής ρίζας και να υπολογίσετε την παράσταση \(\sqrt{16}\cdot\sqrt5\).
Υπολογίζουμε πρώτα την τετραγωνική ρίζα του \(16\):
\(\sqrt{16}=4\).
Άρα:
\(\sqrt{16}\cdot\sqrt5=4\sqrt5\).
Επομένως \(\boxed{4\sqrt5}\).
\(\sqrt{16}=4\).
Άρα:
\(\sqrt{16}\cdot\sqrt5=4\sqrt5\).
Επομένως \(\boxed{4\sqrt5}\).
3
Να υπολογίσετε την παράσταση \(\sqrt{\dfrac{16}{100}}\) χρησιμοποιώντας την ιδιότητα του πηλίκου.
Επειδή \(16\geq0\) και \(100>0\), εφαρμόζουμε την ιδιότητα του πηλίκου:
\(\sqrt{\dfrac{16}{100}}=\dfrac{\sqrt{16}}{\sqrt{100}}=\dfrac4{10}=\dfrac25\).
Επομένως \(\boxed{\dfrac25}\).
\(\sqrt{\dfrac{16}{100}}=\dfrac{\sqrt{16}}{\sqrt{100}}=\dfrac4{10}=\dfrac25\).
Επομένως \(\boxed{\dfrac25}\).
4
Με τη βοήθεια των ιδιοτήτων των ριζών να υπολογίσετε την τιμή \(\sqrt{0{,}64}\).
Γράφουμε τον δεκαδικό αριθμό ως κλάσμα:
\(0{,}64=\dfrac{64}{100}\).
Άρα:
\(\sqrt{0{,}64}=\sqrt{\dfrac{64}{100}}=\dfrac{\sqrt{64}}{\sqrt{100}}=\dfrac8{10}=0{,}8\).
Επομένως \(\boxed{0{,}8}\).
\(0{,}64=\dfrac{64}{100}\).
Άρα:
\(\sqrt{0{,}64}=\sqrt{\dfrac{64}{100}}=\dfrac{\sqrt{64}}{\sqrt{100}}=\dfrac8{10}=0{,}8\).
Επομένως \(\boxed{0{,}8}\).
Μέτριες ασκήσεις
5
Να εκφράσετε την τιμή της παράστασης \(\sqrt{50}+\sqrt{32}\) με τη χρήση απλούστερων ριζών.
Αναλύουμε κάθε υπόρριζο ώστε να περιέχει τέλειο τετράγωνο:
\(50=25\cdot2\) και \(32=16\cdot2\).
Επομένως:
\(\sqrt{50}+\sqrt{32}=\sqrt{25\cdot2}+\sqrt{16\cdot2}\)
\(=\sqrt{25}\sqrt2+\sqrt{16}\sqrt2\)
\(=5\sqrt2+4\sqrt2=9\sqrt2\).
Άρα \(\boxed{9\sqrt2}\).
\(50=25\cdot2\) και \(32=16\cdot2\).
Επομένως:
\(\sqrt{50}+\sqrt{32}=\sqrt{25\cdot2}+\sqrt{16\cdot2}\)
\(=\sqrt{25}\sqrt2+\sqrt{16}\sqrt2\)
\(=5\sqrt2+4\sqrt2=9\sqrt2\).
Άρα \(\boxed{9\sqrt2}\).
6
Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης \(\sqrt{\dfrac94}+\sqrt{\dfrac{25}{4}}\).
Εφαρμόζουμε την ιδιότητα του πηλίκου σε κάθε ρίζα:
\(\sqrt{\dfrac94}+\sqrt{\dfrac{25}{4}}=\dfrac{\sqrt9}{\sqrt4}+\dfrac{\sqrt{25}}{\sqrt4}\)
\(=\dfrac32+\dfrac52=\dfrac82=4\).
Επομένως \(\boxed4\).
\(\sqrt{\dfrac94}+\sqrt{\dfrac{25}{4}}=\dfrac{\sqrt9}{\sqrt4}+\dfrac{\sqrt{25}}{\sqrt4}\)
\(=\dfrac32+\dfrac52=\dfrac82=4\).
Επομένως \(\boxed4\).
7
Να κάνετε τις πράξεις στην παράσταση \(\sqrt{25}\cdot\sqrt2+\sqrt{16}\cdot\sqrt2\).
Υπολογίζουμε τις τετραγωνικές ρίζες των τέλειων τετραγώνων:
\(\sqrt{25}=5\) και \(\sqrt{16}=4\).
Άρα:
\(\sqrt{25}\cdot\sqrt2+\sqrt{16}\cdot\sqrt2=5\sqrt2+4\sqrt2\).
Οι ρίζες είναι όμοιες, επομένως προσθέτουμε τους συντελεστές:
\((5+4)\sqrt2=9\sqrt2\).
Επομένως \(\boxed{9\sqrt2}\).
\(\sqrt{25}=5\) και \(\sqrt{16}=4\).
Άρα:
\(\sqrt{25}\cdot\sqrt2+\sqrt{16}\cdot\sqrt2=5\sqrt2+4\sqrt2\).
Οι ρίζες είναι όμοιες, επομένως προσθέτουμε τους συντελεστές:
\((5+4)\sqrt2=9\sqrt2\).
Επομένως \(\boxed{9\sqrt2}\).
Δύσκολες ασκήσεις
8
Σε ένα μεγάλο τετράγωνο υπάρχουν δύο σκιασμένα τετράγωνα με εμβαδά \(18\) και \(50\), όπως στο σχήμα. Να αποδείξετε ότι η πλευρά του μεγάλου τετραγώνου έχει μήκος \(8\sqrt2\).
Το μικρό σκιασμένο τετράγωνο έχει εμβαδόν \(18\). Αν η πλευρά του είναι \(x\), τότε:
\(x^2=18\Rightarrow x=\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot2}=3\sqrt2\).
Το μεγάλο σκιασμένο τετράγωνο έχει εμβαδόν \(50\). Αν η πλευρά του είναι \(y\), τότε:
\(y^2=50\Rightarrow y=\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt2\).
Από τη διάταξη του σχήματος, η πλευρά του μεγάλου τετραγώνου είναι το άθροισμα των δύο αυτών πλευρών:
\(x+y=3\sqrt2+5\sqrt2=8\sqrt2\).
Επομένως η πλευρά του μεγάλου τετραγώνου είναι \(\boxed{8\sqrt2}\).
\(x^2=18\Rightarrow x=\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot2}=3\sqrt2\).
Το μεγάλο σκιασμένο τετράγωνο έχει εμβαδόν \(50\). Αν η πλευρά του είναι \(y\), τότε:
\(y^2=50\Rightarrow y=\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt2\).
Από τη διάταξη του σχήματος, η πλευρά του μεγάλου τετραγώνου είναι το άθροισμα των δύο αυτών πλευρών:
\(x+y=3\sqrt2+5\sqrt2=8\sqrt2\).
Επομένως η πλευρά του μεγάλου τετραγώνου είναι \(\boxed{8\sqrt2}\).
9
Να αποδείξετε ότι το ύψος ενός ισόπλευρου τριγώνου πλευράς \(α\) είναι ίσο με \(\dfrac{α\sqrt3}{2}\).
Έστω ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς \(α\) και ύψος \(h\).
Στο ισόπλευρο τρίγωνο το ύψος είναι και διάμεσος, επομένως χωρίζει τη βάση σε δύο ίσα τμήματα μήκους \(\dfracα2\).
Στο ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζεται εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο Θεώρημα:
\(h^2+\left(\dfracα2 ight)^2=α^2\).
Άρα:
\(h^2=α^2-\dfrac{α^2}{4}=\dfrac{3α^2}{4}\).
Επειδή το ύψος είναι θετικό μήκος, παίρνουμε τη θετική τετραγωνική ρίζα:
\(h=\sqrt{\dfrac{3α^2}{4}}=\dfrac{\sqrt3\sqrt{α^2}}2\).
Για \(α>0\), ισχύει \(\sqrt{α^2}=α\), επομένως:
\(h=\dfrac{α\sqrt3}{2}\).
Άρα \(\boxed{h=\dfrac{α\sqrt3}{2}}\).
Στο ισόπλευρο τρίγωνο το ύψος είναι και διάμεσος, επομένως χωρίζει τη βάση σε δύο ίσα τμήματα μήκους \(\dfracα2\).
Στο ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζεται εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο Θεώρημα:
\(h^2+\left(\dfracα2 ight)^2=α^2\).
Άρα:
\(h^2=α^2-\dfrac{α^2}{4}=\dfrac{3α^2}{4}\).
Επειδή το ύψος είναι θετικό μήκος, παίρνουμε τη θετική τετραγωνική ρίζα:
\(h=\sqrt{\dfrac{3α^2}{4}}=\dfrac{\sqrt3\sqrt{α^2}}2\).
Για \(α>0\), ισχύει \(\sqrt{α^2}=α\), επομένως:
\(h=\dfrac{α\sqrt3}{2}\).
Άρα \(\boxed{h=\dfrac{α\sqrt3}{2}}\).
Τέλος