Η τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού είναι ο μη αρνητικός αριθμός του οποίου το τετράγωνο δίνει τον αρχικό αριθμό.
α. \( \sqrt{16}=4 \), επειδή \(4^2=16\).
\( \sqrt{0{,}16}=0{,}4 \), επειδή \(0{,}4^2=0{,}16\).
\( \sqrt{1600}=40 \), επειδή \(40^2=1600\).
β. \( \sqrt{144}=12 \), \( \sqrt{1{,}44}=1{,}2 \), \( \sqrt{14400}=120 \).
γ. \( \sqrt{0{,}49}=0{,}7 \), \( \sqrt{49}=7 \), \( \sqrt{4900}=70 \).

Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα \( \sqrt{\alpha}\cdot\sqrt{\beta}=\sqrt{\alpha\beta} \), για \(\alpha\geq0\) και \(\beta\geq0\).
α. \( \sqrt2\cdot\sqrt8=\sqrt{2\cdot8}=\sqrt{16}=4 \).
β. \( \sqrt3\cdot\sqrt{27}=\sqrt{3\cdot27}=\sqrt{81}=9 \).
γ. \( \sqrt5\cdot\sqrt{20}=\sqrt{5\cdot20}=\sqrt{100}=10 \).

Εφαρμόζουμε την ιδιότητα του γινομένου των τετραγωνικών ριζών.
α. \( \sqrt6\cdot\sqrt{\dfrac83}=\sqrt{6\cdot\dfrac83}=\sqrt{16}=4 \).
β. \( \sqrt{32}\cdot\sqrt{\dfrac18}=\sqrt{32\cdot\dfrac18}=\sqrt4=2 \).
γ. \( \sqrt7\cdot\sqrt{\dfrac79}=\sqrt{\dfrac{49}{9}}=\dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt9}=\dfrac73 \).

Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα \( \sqrt{\dfrac{\alpha}{\beta}}=\dfrac{\sqrt{\alpha}}{\sqrt{\beta}} \), για \(\alpha\geq0\) και \(\beta>0\).
α. \( \sqrt{\dfrac14}=\dfrac{\sqrt1}{\sqrt4}=\dfrac12 \).
β. \( \sqrt{\dfrac49}=\dfrac{\sqrt4}{\sqrt9}=\dfrac23 \).
γ. \( \sqrt{\dfrac{121}{81}}=\dfrac{\sqrt{121}}{\sqrt{81}}=\dfrac{11}{9} \).

α. \(2-\sqrt{x}=0\Rightarrow\sqrt{x}=2\Rightarrow x=4\).
β. \(4-\sqrt{x}=2\Rightarrow\sqrt{x}=2\Rightarrow x=4\).
γ. Η ισότητα είναι ίδια με τη β, άρα \(x=4\).
δ. \((\sqrt3)^2-(\sqrt{x})^2=1\Rightarrow3-x=1\Rightarrow x=2\).
ε. \(\sqrt{16+x}=7\Rightarrow16+x=49\Rightarrow x=33\).
ζ. \(\sqrt{\sqrt{100-x}}=3\Rightarrow\sqrt{100-x}=9\Rightarrow100-x=81\Rightarrow x=19\).

Θυμόμαστε ότι \( (\sqrt{\alpha})^2=\alpha \), για \(\alpha\geq0\), ενώ \( \sqrt{\alpha^2}=|\alpha| \), για κάθε πραγματικό \(\alpha\).
α. \( (\sqrt{36})^2+(\sqrt{256})^2=36+256=292 \).
β. \( \sqrt{(-15)^2}+\sqrt{15^2}=|-15|+|15|=15+15=30 \).
γ. \( \sqrt{(-7)^2}+\sqrt{\left(-\dfrac27\right)^2}=|-7|+\left|-\dfrac27\right|=7+\dfrac27=\dfrac{51}{7} \).

Υπολογίζουμε πρώτα τις εσωτερικές ρίζες και στη συνέχεια την εξωτερική ρίζα.
α. \(A=\sqrt{9-5}=\sqrt4=2\).
β. \(B=\sqrt{\dfrac{10}{2}+5\cdot4}=\sqrt{5+20}=\sqrt{25}=5\).
γ. \(\Gamma=\sqrt{\dfrac62+6}=\sqrt{3+6}=\sqrt9=3\).
δ. \(\Delta=\sqrt{2\cdot5+3\cdot4+7\cdot2}=\sqrt{10+12+14}=\sqrt{36}=6\).

Εργαζόμαστε από την πιο εσωτερική ρίζα προς την εξωτερική.
α. \(A=\sqrt{21+\sqrt{13+3}}=\sqrt{21+\sqrt{16}}=\sqrt{25}=5\).
β. \(B=\sqrt{96+5+11}=\sqrt{112}=\sqrt{16\cdot7}=4\sqrt7\).
γ. \(\Gamma=\sqrt{12+\sqrt{8+8}}=\sqrt{12+\sqrt{16}}=\sqrt{16}=4\).
δ. \(\Delta=\sqrt{4+\sqrt{5+20}}=\sqrt{4+\sqrt{25}}=\sqrt9=3\).

Η διαγώνιος και οι δύο πλευρές σχηματίζουν ορθογώνιο τρίγωνο.
Έστω \(x\) η άγνωστη πλευρά. Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα:
\(x^2+7^2=25^2\).
\(x^2+49=625\Rightarrow x^2=576\).
Επειδή το μήκος είναι θετικό, \(x=\sqrt{576}=24\).

Οι δύο ίσες πλευρές έχουν συνολικό μήκος \(8-3=5\ \text{cm}\), άρα καθεμία έχει μήκος \(\dfrac52\ \text{cm}\).
Το ύψος προς τη βάση διχοτομεί τη βάση, επομένως κάθε μισό της βάσης έχει μήκος \(\dfrac32\ \text{cm}\).
Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα:
\(h^2+\left(\dfrac32\right)^2=\left(\dfrac52\right)^2\).
\(h^2+\dfrac94=\dfrac{25}{4}\Rightarrow h^2=\dfrac{16}{4}=4\Rightarrow h=2\ \text{cm}\).
Το εμβαδόν είναι \(E=\dfrac{\beta h}{2}=\dfrac{3\cdot2}{2}=3\ \text{cm}^2\).

α. Η υποτείνουσα είναι \(15\ \text{m}\) και η μία κάθετη πλευρά \(12\ \text{m}\).
\(x^2+12^2=15^2\Rightarrow x^2=225-144=81\Rightarrow x=9\ \text{m}\).
β. Μετατρέπουμε \(30\ \text{cm}=3\ \text{dm}\).
\(x^2=4^2+3^2=16+9=25\Rightarrow x=5\ \text{dm}=50\ \text{cm}\).
γ. Η υποτείνουσα είναι \(29\ \text{cm}\) και η μία κάθετη πλευρά \(21\ \text{cm}\).
\(x^2+21^2=29^2\Rightarrow x^2=841-441=400\Rightarrow x=20\ \text{cm}\).

Αφού το εμβαδόν του τετραγώνου είναι \(36\ \text{cm}^2\), η πλευρά του είναι:
\(x=\sqrt{36}=6\ \text{cm}\).
Στο ορθογώνιο τρίγωνο \(\Gamma\Delta Z\) οι κάθετες πλευρές είναι \(6\ \text{cm}\) και \(8\ \text{cm}\).
\(y^2=6^2+8^2=36+64=100\Rightarrow y=10\ \text{cm}\).
Το τραπέζιο \(ΑΒΓΖ\) αποτελείται από το τετράγωνο και το ορθογώνιο τρίγωνο.
\(E_{\text{τετρ.}}=36\ \text{cm}^2\).
\(E_{\text{τριγ.}}=\dfrac{6\cdot8}{2}=24\ \text{cm}^2\).
Άρα \(E_{ΑΒΓΖ}=36+24=60\ \text{cm}^2\).

Στο ορθογώνιο τρίγωνο \(ΑΒΔ\) έχουμε \(ΑΔ=13\ \text{cm}\) και \(ΑΒ=12\ \text{cm}\).
Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα:
\(x^2+12^2=13^2\Rightarrow x^2=169-144=25\Rightarrow x=5\ \text{cm}\).
Για το μήκος \(y\), στο δοσμένο σχήμα δεν αναγράφεται κάποιο μήκος ή κάποια γωνιακή συνθήκη για το τρίγωνο \(ΒΔΓ\). Επομένως το \(y\) δεν προσδιορίζεται μοναδικά από τα εμφανιζόμενα δεδομένα.
Αν στο αρχικό σχήμα λείπει η συνηθισμένη ένδειξη \(ΒΓ=3\ \text{cm}\) και το τρίγωνο \(ΒΔΓ\) είναι ορθογώνιο στο \(\Gamma\), τότε:
\(y^2+3^2=5^2\Rightarrow y^2=16\Rightarrow y=4\ \text{cm}\).

Πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή με την κατάλληλη τετραγωνική ρίζα.
α. \( \dfrac1{\sqrt3}\cdot\dfrac{\sqrt3}{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{3} \).
β. \( \dfrac5{\sqrt2}\cdot\dfrac{\sqrt2}{\sqrt2}=\dfrac{5\sqrt2}{2} \).
γ. \( \dfrac1{3\sqrt7}\cdot\dfrac{\sqrt7}{\sqrt7}=\dfrac{\sqrt7}{3\cdot7}=\dfrac{\sqrt7}{21} \).