Φυσικά, ακολουθούν ερωτήσεις θεωρίας (Σωστό / Λάθος και Ανάπτυξης) με τις αναλυτικές λύσεις τους, βασισμένες αποκλειστικά στην ενότητα των Ανισώσεων 2ου βαθμού (παράγραφος 4.4) του βιβλίου που μου παραχωρήσατε. Ερωτήσεις Σωστό / Λάθος (με αιτιολόγηση) Ερώτηση 1: Το τριώνυμο f(x)=αx 2 +βx+γ (με α  =0) παίρνει τιμές ετερόσημες του α για τις τιμές του x που βρίσκονται μεταξύ των ριζών του, αποκλειστικά και μόνο όταν η διακρίνουσα Δ είναι θετική (Δ>0). Λύση: Σωστό. Σύμφωνα με τη θεωρία, οι τιμές ενός τριωνύμου είναι ετερόσημες του α μόνο όταν Δ>0 και ειδικότερα για εκείνες τις τιμές του x που βρίσκονται μεταξύ των δύο πραγματικών και άνισων ριζών του . Ερώτηση 2: Αν ένα τριώνυμο αx 2 +βx+γ έχει αρνητική διακρίνουσα (Δ<0), τότε οι τιμές του είναι πάντοτε αρνητικές για κάθε πραγματικό αριθμό x. Λύση: Λάθος. Όταν Δ<0, το τριώνυμο δεν έχει πραγματικές ρίζες και οι τιμές του είναι πάντοτε ομόσημες του α για κάθε πραγματική τιμή του x. Επομένως, θα είναι αρνητικές μόνο αν το α είναι αρνητικό (α<0), ενώ αν το α είναι θετικό (α>0) οι τιμές θα είναι πάντοτε θετικές . Ερώτηση 3: Αν η διακρίνουσα Δ ενός τριωνύμου αx 2 +βx+γ (με α  =0) είναι ίση με το μηδέν (Δ=0), τότε το τριώνυμο παίρνει τιμές ετερόσημες του α για κάθε x  =− 2α β ​ . Λύση: Λάθος. Όταν Δ=0, το τριώνυμο έχει μία διπλή ρίζα στο x 0 ​ =− 2α β ​ . Για κάθε άλλη τιμή του x (x  =x 0 ​ ), το τριώνυμο δεν παίρνει ετερόσημες, αλλά ομόσημες του α τιμές . Ερώτηση 4: Η ανίσωση αx 2 +βx+γ≤0, εφόσον γνωρίζουμε ότι α>0 και Δ=0, επαληθεύεται μόνο για μία μοναδική τιμή του πραγματικού αριθμού x. Λύση: Σωστό. Εφόσον Δ=0, το τριώνυμο είναι ομόσημο του α (δηλαδή παίρνει θετικές τιμές, αφού α>0) για κάθε x εκτός από τη διπλή ρίζα του, όπου μηδενίζεται . Συνεπώς, δεν παίρνει ποτέ αρνητικές τιμές και η μόνη τιμή του x που επαληθεύει την ανισότητα (ώστε να ισούται με μηδέν) είναι η διπλή ρίζα του. Ερώτηση 5: Η επίλυση μιας ανίσωσης 2ου βαθμού ανάγεται ουσιαστικά στην εύρεση του προσήμου του αντίστοιχου τριωνύμου. Λύση: Σωστό. Για να λύσουμε ανισώσεις της μορφής αx 2 +βx+γ>0 ή <0, μελετάμε το πρόσημο του τριωνύμου αx 2 +βx+γ, βρίσκοντας τις ρίζες του και εξετάζοντας το πρόσημο της διακρίνουσας Δ . Ερωτήσεις Ανάπτυξης Ερώτηση 1: Ποιος είναι ο κανόνας που καθορίζει το πρόσημο των τιμών του τριωνύμου f(x)=αx 2 +βx+γ (με α  =0), στην περίπτωση που η διακρίνουσα του είναι θετική (Δ>0); Λύση: Όταν η διακρίνουσα είναι θετική (Δ>0), το τριώνυμο έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες x 1 ​ και x 2 ​ . Σε αυτή την περίπτωση, οι τιμές του τριωνύμου είναι: Ετερόσημες του α για τις τιμές του x που βρίσκονται μεταξύ των ριζών . Μηδέν, όταν η τιμή του x ισούται με κάποια από τις ρίζες του . Ομόσημες του α, για τις τιμές του x που βρίσκονται εκτός των ριζών . Ερώτηση 2: Τι γνωρίζετε για το πρόσημο του τριωνύμου αx 2 +βx+γ (με α  =0) όταν η διακρίνουσα Δ είναι αρνητική (Δ<0); Ποιες είναι οι συνέπειες για τις τιμές του αν α>0 και αν α<0; Λύση: Όταν η διακρίνουσα είναι αρνητική (Δ<0), η αντίστοιχη εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες (το τριώνυμο δεν μηδενίζεται ποτέ) . Σε αυτή την περίπτωση, το τριώνυμο παίρνει τιμές ομόσημες του α για κάθε πραγματική τιμή του x . Ειδικότερα, αν α>0 (και Δ<0), οι τιμές του τριωνύμου είναι πάντοτε θετικές για κάθε πραγματικό αριθμό x . Αν α<0 (και Δ<0), οι τιμές του είναι πάντοτε αρνητικές για κάθε πραγματικό αριθμό x . Ερώτηση 3: Πώς ερμηνεύεται γεωμετρικά (με τη χρήση της γραφικής παράστασης) η επίλυση μιας ανίσωσης 2ου βαθμού; Εξηγήστε χρησιμοποιώντας το παράδειγμα ενός τριωνύμου με Δ>0 και α>0. Λύση: Η επίλυση μιας ανίσωσης 2ου βαθμού ταυτίζεται με την αναζήτηση των διαστημάτων του x στα οποία η γραφική παράσταση του αντίστοιχου τριωνύμου (δηλαδή η παραβολή) βρίσκεται "πάνω" ή "κάτω" από τον άξονα x ′ x . Στο παράδειγμα όπου Δ>0 και α>0, η παραβολή είναι "ανοικτή" προς τα πάνω (εφόσον α>0) και τέμνει τον άξονα x ′ x σε δύο διαφορετικά σημεία, που αντιστοιχούν στις ρίζες x 1 ​ και x 2 ​ . Για τα x που βρίσκονται εκτός των ριζών, τα αντίστοιχα σημεία της παραβολής βρίσκονται πάνω από τον άξονα x ′ x, γεγονός που γεωμετρικά σημαίνει ότι το τριώνυμο παίρνει θετικές τιμές (ομόσημες του α) . Για τα x που βρίσκονται μεταξύ των ριζών, το τμήμα της παραβολής βρίσκεται κάτω από τον άξονα x ′ x, υποδεικνύοντας ότι το τριώνυμο παίρνει αρνητικές τιμές (ετερόσημες του α) .