04_Ισότητες
1
Ποιες είναι οι βασικές ιδιότητες των δυνάμεων με πραγματική βάση και ακέραιο εκθέτη;
Για τις δυνάμεις πραγματικών αριθμών ισχύουν οι βασικές ιδιότητες:
\(a^0=1\), για \(a\neq0\).
\(a^1=a\).
\(a^κ\cdot a^λ=a^{κ+λ}\).
\(\dfrac{a^κ}{a^λ}=a^{κ-λ}\), με \(a\neq0\).
\((a^κ)^λ=a^{κ\cdot λ}\).
\((a\cdot β)^κ=a^κ\cdot β^κ\).
\(\left(\dfrac{a}{β}\right)^κ=\dfrac{a^κ}{β^κ}\), με \(β\neq0\).
Οι ιδιότητες αυτές μας βοηθούν να απλοποιούμε παραστάσεις με δυνάμεις.
\(a^0=1\), για \(a\neq0\).
\(a^1=a\).
\(a^κ\cdot a^λ=a^{κ+λ}\).
\(\dfrac{a^κ}{a^λ}=a^{κ-λ}\), με \(a\neq0\).
\((a^κ)^λ=a^{κ\cdot λ}\).
\((a\cdot β)^κ=a^κ\cdot β^κ\).
\(\left(\dfrac{a}{β}\right)^κ=\dfrac{a^κ}{β^κ}\), με \(β\neq0\).
Οι ιδιότητες αυτές μας βοηθούν να απλοποιούμε παραστάσεις με δυνάμεις.
2
Πώς διατυπώνονται η αντιμεταθετική, η προσεταιριστική και η επιμεριστική ιδιότητα στους πραγματικούς αριθμούς;
Η αντιμεταθετική ιδιότητα λέει ότι στην πρόσθεση και στον πολλαπλασιασμό μπορούμε να αλλάζουμε τη σειρά των όρων ή των παραγόντων:
\(a+β=β+a\), \(a\cdot β=β\cdot a\).
Η προσεταιριστική ιδιότητα λέει ότι μπορούμε να αλλάζουμε την ομαδοποίηση:
\((a+β)+γ=a+(β+γ)\).
\((a\cdot β)\cdot γ=a\cdot(β\cdot γ)\).
Η επιμεριστική ιδιότητα συνδέει τον πολλαπλασιασμό με την πρόσθεση:
\(a(β+γ)=aβ+aγ\).
Οι ιδιότητες αυτές χρησιμοποιούνται συνεχώς στις αλγεβρικές πράξεις.
\(a+β=β+a\), \(a\cdot β=β\cdot a\).
Η προσεταιριστική ιδιότητα λέει ότι μπορούμε να αλλάζουμε την ομαδοποίηση:
\((a+β)+γ=a+(β+γ)\).
\((a\cdot β)\cdot γ=a\cdot(β\cdot γ)\).
Η επιμεριστική ιδιότητα συνδέει τον πολλαπλασιασμό με την πρόσθεση:
\(a(β+γ)=aβ+aγ\).
Οι ιδιότητες αυτές χρησιμοποιούνται συνεχώς στις αλγεβρικές πράξεις.
3
Τι ορίζει ο νόμος διαγραφής στον πολλαπλασιασμό και ποιος είναι ο βασικός περιορισμός του;
Ο νόμος διαγραφής στον πολλαπλασιασμό λέει ότι:
αν \(a\cdot γ=β\cdot γ\) και \(γ\neq0\), τότε \(a=β\).
Δηλαδή μπορούμε να διαγράψουμε τον κοινό παράγοντα \(γ\), μόνο όταν αυτός δεν είναι μηδέν.
Ο περιορισμός \(γ\neq0\) είναι απαραίτητος.
Αν \(γ=0\), τότε έχουμε \(a\cdot0=β\cdot0\), δηλαδή \(0=0\), που ισχύει για όλους τους αριθμούς \(a,β\), χωρίς να σημαίνει ότι \(a=β\).
αν \(a\cdot γ=β\cdot γ\) και \(γ\neq0\), τότε \(a=β\).
Δηλαδή μπορούμε να διαγράψουμε τον κοινό παράγοντα \(γ\), μόνο όταν αυτός δεν είναι μηδέν.
Ο περιορισμός \(γ\neq0\) είναι απαραίτητος.
Αν \(γ=0\), τότε έχουμε \(a\cdot0=β\cdot0\), δηλαδή \(0=0\), που ισχύει για όλους τους αριθμούς \(a,β\), χωρίς να σημαίνει ότι \(a=β\).
4
Ποια είναι η διαφορά ανάμεσα στον μηδενισμό γινομένου και στον μηδενισμό αθροίσματος τετραγώνων;
Για ένα γινόμενο ισχύει:
\(a\cdot β=0\Leftrightarrow a=0\) ή \(β=0\).
Δηλαδή για να μηδενιστεί ένα γινόμενο, αρκεί να μηδενιστεί ένας τουλάχιστον παράγοντας.
Για άθροισμα τετραγώνων ισχύει:
\(a^2+β^2=0\Leftrightarrow a=0\) και \(β=0\).
Εδώ πρέπει να μηδενιστούν ταυτόχρονα και οι δύο βάσεις, γιατί κάθε τετράγωνο πραγματικού αριθμού είναι μη αρνητικό.
Άρα το γινόμενο θέλει τουλάχιστον έναν μηδενικό παράγοντα, ενώ το άθροισμα τετραγώνων θέλει όλα τα τετράγωνα να είναι μηδέν.
\(a\cdot β=0\Leftrightarrow a=0\) ή \(β=0\).
Δηλαδή για να μηδενιστεί ένα γινόμενο, αρκεί να μηδενιστεί ένας τουλάχιστον παράγοντας.
Για άθροισμα τετραγώνων ισχύει:
\(a^2+β^2=0\Leftrightarrow a=0\) και \(β=0\).
Εδώ πρέπει να μηδενιστούν ταυτόχρονα και οι δύο βάσεις, γιατί κάθε τετράγωνο πραγματικού αριθμού είναι μη αρνητικό.
Άρα το γινόμενο θέλει τουλάχιστον έναν μηδενικό παράγοντα, ενώ το άθροισμα τετραγώνων θέλει όλα τα τετράγωνα να είναι μηδέν.
5
Ποιες είναι οι βασικές ταυτότητες με δυνάμεις δεύτερου βαθμού;
Οι βασικές ταυτότητες δεύτερου βαθμού είναι:
Τετράγωνο αθροίσματος:
\((a+β)^2=a^2+2aβ+β^2\).
Τετράγωνο διαφοράς:
\((a-β)^2=a^2-2aβ+β^2\).
Διαφορά τετραγώνων:
\(a^2-β^2=(a-β)(a+β)\).
Οι δύο πρώτες ταυτότητες χρησιμοποιούνται για ανάπτυγμα, ενώ η τρίτη χρησιμοποιείται πολύ συχνά για παραγοντοποίηση.
Τετράγωνο αθροίσματος:
\((a+β)^2=a^2+2aβ+β^2\).
Τετράγωνο διαφοράς:
\((a-β)^2=a^2-2aβ+β^2\).
Διαφορά τετραγώνων:
\(a^2-β^2=(a-β)(a+β)\).
Οι δύο πρώτες ταυτότητες χρησιμοποιούνται για ανάπτυγμα, ενώ η τρίτη χρησιμοποιείται πολύ συχνά για παραγοντοποίηση.
6
Ποιες είναι οι βασικές ταυτότητες με δυνάμεις τρίτου βαθμού;
Οι βασικές ταυτότητες τρίτου βαθμού είναι:
Κύβος αθροίσματος:
\((a+β)^3=a^3+3a^2β+3aβ^2+β^3\).
Κύβος διαφοράς:
\((a-β)^3=a^3-3a^2β+3aβ^2-β^3\).
Άθροισμα κύβων:
\(a^3+β^3=(a+β)(a^2-aβ+β^2)\).
Διαφορά κύβων:
\(a^3-β^3=(a-β)(a^2+aβ+β^2)\).
Οι ταυτότητες αυτές χρησιμοποιούνται τόσο για ανάπτυγμα όσο και για παραγοντοποίηση.
Κύβος αθροίσματος:
\((a+β)^3=a^3+3a^2β+3aβ^2+β^3\).
Κύβος διαφοράς:
\((a-β)^3=a^3-3a^2β+3aβ^2-β^3\).
Άθροισμα κύβων:
\(a^3+β^3=(a+β)(a^2-aβ+β^2)\).
Διαφορά κύβων:
\(a^3-β^3=(a-β)(a^2+aβ+β^2)\).
Οι ταυτότητες αυτές χρησιμοποιούνται τόσο για ανάπτυγμα όσο και για παραγοντοποίηση.
7
Τι εκφράζει η ταυτότητα του Euler και ποια μορφή παίρνει όταν \(a+β+γ=0\);
Η ταυτότητα του Euler συνδέει το άθροισμα κύβων τριών αριθμών με το γινόμενό τους:
\(a^3+β^3+γ^3-3aβγ=(a+β+γ)(a^2+β^2+γ^2-aβ-βγ-γa)\).
Αν ισχύει \(a+β+γ=0\), τότε το δεξί μέλος μηδενίζεται.
Άρα παίρνουμε:
\(a^3+β^3+γ^3-3aβγ=0\).
Επομένως:
\(a^3+β^3+γ^3=3aβγ\).
Αυτή η μορφή είναι πολύ χρήσιμη όταν ξέρουμε ότι το άθροισμα των τριών αριθμών είναι μηδέν.
\(a^3+β^3+γ^3-3aβγ=(a+β+γ)(a^2+β^2+γ^2-aβ-βγ-γa)\).
Αν ισχύει \(a+β+γ=0\), τότε το δεξί μέλος μηδενίζεται.
Άρα παίρνουμε:
\(a^3+β^3+γ^3-3aβγ=0\).
Επομένως:
\(a^3+β^3+γ^3=3aβγ\).
Αυτή η μορφή είναι πολύ χρήσιμη όταν ξέρουμε ότι το άθροισμα των τριών αριθμών είναι μηδέν.
8
Ποια είναι η ταυτότητα του Lagrange και πού μπορεί να χρησιμοποιηθεί;
Μία βασική μορφή της ταυτότητας του Lagrange είναι:
\((a^2+β^2)(γ^2+δ^2)=(aγ+βδ)^2+(aδ-βγ)^2\).
Η ταυτότητα αυτή δείχνει ότι το γινόμενο δύο αθροισμάτων τετραγώνων μπορεί να γραφτεί πάλι ως άθροισμα δύο τετραγώνων.
Χρησιμοποιείται σε προβλήματα όπου θέλουμε να μετατρέψουμε γινόμενα σε αθροίσματα τετραγώνων ή να αποδείξουμε ότι μια παράσταση είναι μη αρνητική.
Επειδή τα τετράγωνα είναι πάντα μη αρνητικά, η ταυτότητα βοηθά πολύ και σε αποδείξεις ανισοτήτων.
\((a^2+β^2)(γ^2+δ^2)=(aγ+βδ)^2+(aδ-βγ)^2\).
Η ταυτότητα αυτή δείχνει ότι το γινόμενο δύο αθροισμάτων τετραγώνων μπορεί να γραφτεί πάλι ως άθροισμα δύο τετραγώνων.
Χρησιμοποιείται σε προβλήματα όπου θέλουμε να μετατρέψουμε γινόμενα σε αθροίσματα τετραγώνων ή να αποδείξουμε ότι μια παράσταση είναι μη αρνητική.
Επειδή τα τετράγωνα είναι πάντα μη αρνητικά, η ταυτότητα βοηθά πολύ και σε αποδείξεις ανισοτήτων.
9
Ποιος είναι ο βασικός κανόνας για το πεδίο ορισμού μιας κλασματικής αλγεβρικής παράστασης;
Σε μια κλασματική αλγεβρική παράσταση ο βασικός περιορισμός είναι ότι ο παρονομαστής δεν πρέπει να μηδενίζεται.
Δηλαδή, αν έχουμε παράσταση της μορφής \(\dfrac{A(x)}{B(x)}\), τότε πρέπει:
\(B(x)\neq0\).
Για να βρούμε το πεδίο ορισμού, λύνουμε πρώτα την εξίσωση:
\(B(x)=0\).
Οι λύσεις αυτής της εξίσωσης αποκλείονται από το πεδίο ορισμού.
Άρα το πεδίο ορισμού είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί εκτός από τις τιμές που μηδενίζουν τον παρονομαστή.
Δηλαδή, αν έχουμε παράσταση της μορφής \(\dfrac{A(x)}{B(x)}\), τότε πρέπει:
\(B(x)\neq0\).
Για να βρούμε το πεδίο ορισμού, λύνουμε πρώτα την εξίσωση:
\(B(x)=0\).
Οι λύσεις αυτής της εξίσωσης αποκλείονται από το πεδίο ορισμού.
Άρα το πεδίο ορισμού είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί εκτός από τις τιμές που μηδενίζουν τον παρονομαστή.
10
Τι ονομάζουμε αναλογία και ποια είναι η θεμελιώδης ιδιότητά της;
Αναλογία ονομάζουμε την ισότητα δύο λόγων.
Δηλαδή:
\(\dfrac{a}{β}=\dfrac{γ}{δ}\), με \(β\neq0\) και \(δ\neq0\).
Η θεμελιώδης ιδιότητα της αναλογίας είναι το χιαστί γινόμενο:
\(\dfrac{a}{β}=\dfrac{γ}{δ}\Leftrightarrow aδ=βγ\).
Από την αναλογία μπορούμε να πάρουμε και άλλες χρήσιμες σχέσεις, όπως:
\(\dfrac{a+β}{β}=\dfrac{γ+δ}{δ}\).
\(\dfrac{a-β}{β}=\dfrac{γ-δ}{δ}\).
Οι ιδιότητες αυτές χρησιμοποιούνται για μετασχηματισμούς αναλογιών και για λύση προβλημάτων με λόγους.
Δηλαδή:
\(\dfrac{a}{β}=\dfrac{γ}{δ}\), με \(β\neq0\) και \(δ\neq0\).
Η θεμελιώδης ιδιότητα της αναλογίας είναι το χιαστί γινόμενο:
\(\dfrac{a}{β}=\dfrac{γ}{δ}\Leftrightarrow aδ=βγ\).
Από την αναλογία μπορούμε να πάρουμε και άλλες χρήσιμες σχέσεις, όπως:
\(\dfrac{a+β}{β}=\dfrac{γ+δ}{δ}\).
\(\dfrac{a-β}{β}=\dfrac{γ-δ}{δ}\).
Οι ιδιότητες αυτές χρησιμοποιούνται για μετασχηματισμούς αναλογιών και για λύση προβλημάτων με λόγους.
Σωστό - Λάθος
1
\( -2(-x-1)=-2x-2 \)
Λάθος.
\(-2(-x-1)=2x+2\), όχι \(-2x-2\).
\(-2(-x-1)=2x+2\), όχι \(-2x-2\).
2
\( -2(x-y+1)=-2x-2y+2 \)
Λάθος.
\(-2(x-y+1)=-2x+2y-2\).
\(-2(x-y+1)=-2x+2y-2\).
3
Ο αριθμός \(-α\) παριστάνει αρνητικό αριθμό.
Λάθος.
Το \(-α\) δεν είναι πάντα αρνητικό. Αν \(α＜0\), τότε \(-α＞0\).
Το \(-α\) δεν είναι πάντα αρνητικό. Αν \(α＜0\), τότε \(-α＞0\).
4
Αν \(α=β\), τότε και \(α+β=2β\).
Σωστό.
Αφού \(α=β\), τότε \(α+β=β+β=2β\).
Αφού \(α=β\), τότε \(α+β=β+β=2β\).
5
Αν \(α-β=2β\), τότε και \(α=3β\).
Σωστό.
Από \(α-β=2β\), προσθέτουμε \(β\) και παίρνουμε \(α=3β\).
Από \(α-β=2β\), προσθέτουμε \(β\) και παίρνουμε \(α=3β\).
6
Αν \(xy=1\), τότε \(x=1\) και \(y=1\).
Λάθος.
Για παράδειγμα, αν \(x=2\) και \(y=\dfrac{1}{2}\), τότε \(xy=1\), αλλά δεν είναι \(x=1\) και \(y=1\).
Για παράδειγμα, αν \(x=2\) και \(y=\dfrac{1}{2}\), τότε \(xy=1\), αλλά δεν είναι \(x=1\) και \(y=1\).
7
Αν \(xy=0\), τότε \(x=0\) και \(y=0\).
Λάθος.
Αν \(xy=0\), τότε \(x=0\) ή \(y=0\). Δεν είναι υποχρεωτικό να είναι και οι δύο μηδέν.
Αν \(xy=0\), τότε \(x=0\) ή \(y=0\). Δεν είναι υποχρεωτικό να είναι και οι δύο μηδέν.
8
Αν \(xy\neq0\), τότε \(x\neq0\) ή \(y\neq0\).
Σωστό.
Αν \(xy\neq0\), τότε στην πραγματικότητα ισχύει \(x\neq0\) και \(y\neq0\). Άρα ισχύει και η πιο αδύναμη διατύπωση \(x\neq0\) ή \(y\neq0\).
Αν \(xy\neq0\), τότε στην πραγματικότητα ισχύει \(x\neq0\) και \(y\neq0\). Άρα ισχύει και η πιο αδύναμη διατύπωση \(x\neq0\) ή \(y\neq0\).
9
Αν \(α+λ=β+λ\), τότε \(α=β\), για κάθε τιμή του αριθμού \(λ\).
Σωστό.
Από τα δύο μέλη αφαιρούμε το \(λ\) και παίρνουμε \(α=β\).
Από τα δύο μέλη αφαιρούμε το \(λ\) και παίρνουμε \(α=β\).
10
Αν \(α\cdot λ=β\cdot λ\), τότε \(α=β\), για κάθε τιμή του αριθμού \(λ\).
Λάθος.
Η διαγραφή στον πολλαπλασιασμό επιτρέπεται μόνο όταν \(λ\neq0\). Αν \(λ=0\), τότε \(α\cdot0=β\cdot0\), δηλαδή \(0=0\), χωρίς να σημαίνει ότι \(α=β\).
Η διαγραφή στον πολλαπλασιασμό επιτρέπεται μόνο όταν \(λ\neq0\). Αν \(λ=0\), τότε \(α\cdot0=β\cdot0\), δηλαδή \(0=0\), χωρίς να σημαίνει ότι \(α=β\).
11
Αν \(\dfrac{α}{β}=\dfrac{1}{2}\), τότε υποχρεωτικά θα είναι \(α=1\) και \(β=2\).
Λάθος.
Υπάρχουν πολλοί ίσοι λόγοι με το \(\dfrac{1}{2}\), όπως \(\dfrac{2}{4}\), \(\dfrac{3}{6}\), \(\dfrac{5}{10}\).
Υπάρχουν πολλοί ίσοι λόγοι με το \(\dfrac{1}{2}\), όπως \(\dfrac{2}{4}\), \(\dfrac{3}{6}\), \(\dfrac{5}{10}\).
12
Οι αριθμοί \(5^3\) και \(-5^3\) είναι αντίστροφοι.
Λάθος.
\(5^3=125\) και \(-5^3=-125\). Οι αριθμοί αυτοί είναι αντίθετοι, όχι αντίστροφοι.
\(5^3=125\) και \(-5^3=-125\). Οι αριθμοί αυτοί είναι αντίθετοι, όχι αντίστροφοι.
13
\(2^5-2^3=2^2\)
Λάθος.
\(2^5-2^3=32-8=24\), ενώ \(2^2=4\).
\(2^5-2^3=32-8=24\), ενώ \(2^2=4\).
14
\(\left(2^5\right)^2=2^7\)
Λάθος.
\(\left(2^5\right)^2=2^{5\cdot2}=2^{10}\), όχι \(2^7\).
\(\left(2^5\right)^2=2^{5\cdot2}=2^{10}\), όχι \(2^7\).
15
\(3^5:3^6=3\)
Λάθος.
\(3^5:3^6=3^{5-6}=3^{-1}=\dfrac{1}{3}\).
\(3^5:3^6=3^{5-6}=3^{-1}=\dfrac{1}{3}\).
16
\(\left(-\dfrac{3}{4}\right)^{-4}=\left(\dfrac{4}{3}\right)^4\)
Σωστό.
\(\left(-\dfrac{3}{4}\right)^{-4}=\left(-\dfrac{4}{3}\right)^4=\left(\dfrac{4}{3}\right)^4\), γιατί ο εκθέτης είναι άρτιος.
\(\left(-\dfrac{3}{4}\right)^{-4}=\left(-\dfrac{4}{3}\right)^4=\left(\dfrac{4}{3}\right)^4\), γιατί ο εκθέτης είναι άρτιος.
17
Αν \(α+1=β\), τότε και \(α^2+1^2=β^2\).
Λάθος.
Από \(β=α+1\) έχουμε \(β^2=(α+1)^2=α^2+2α+1\), όχι γενικά \(α^2+1\).
Από \(β=α+1\) έχουμε \(β^2=(α+1)^2=α^2+2α+1\), όχι γενικά \(α^2+1\).
18
\((α+1)^2=α^2+1\)
Λάθος.
\((α+1)^2=α^2+2α+1\). Δεν ξεχνάμε τον μεσαίο όρο \(2α\).
\((α+1)^2=α^2+2α+1\). Δεν ξεχνάμε τον μεσαίο όρο \(2α\).
19
\((-1)^2=1,\quad (-1)^3=-1,\quad -(-1)^4=-1,\quad -(-1)^5=1\)
Σωστό.
\((-1)^2=1\), \((-1)^3=-1\), \(-(-1)^4=-1\) και \(-(-1)^5=-(-1)=1\).
\((-1)^2=1\), \((-1)^3=-1\), \(-(-1)^4=-1\) και \(-(-1)^5=-(-1)=1\).
20
\((-1)^{-3}=\left((-1)^2\right)^{-3}\)
Λάθος.
\((-1)^{-3}=\dfrac{1}{(-1)^3}=-1\), ενώ \(\left((-1)^2\right)^{-3}=1^{-3}=1\).
\((-1)^{-3}=\dfrac{1}{(-1)^3}=-1\), ενώ \(\left((-1)^2\right)^{-3}=1^{-3}=1\).
21
Αν \(α^2+β^2=0\), τότε \(α=0\) και \(β=0\).
Σωστό.
Επειδή \(α^2\geq0\) και \(β^2\geq0\), για να είναι \(α^2+β^2=0\), πρέπει \(α^2=0\) και \(β^2=0\). Άρα \(α=0\) και \(β=0\).
Επειδή \(α^2\geq0\) και \(β^2\geq0\), για να είναι \(α^2+β^2=0\), πρέπει \(α^2=0\) και \(β^2=0\). Άρα \(α=0\) και \(β=0\).
22
Αν \(α^2+β^2\neq0\), τότε \(α\neq0\) ή \(β\neq0\).
Σωστό.
Αν ήταν \(α=0\) και \(β=0\), τότε θα είχαμε \(α^2+β^2=0\). Άρα, αφού \(α^2+β^2\neq0\), τουλάχιστον ένας από τους δύο αριθμούς είναι διάφορος του μηδενός.
Αν ήταν \(α=0\) και \(β=0\), τότε θα είχαμε \(α^2+β^2=0\). Άρα, αφού \(α^2+β^2\neq0\), τουλάχιστον ένας από τους δύο αριθμούς είναι διάφορος του μηδενός.
22
Να βρείτε τα αναπτύγματα των παραστάσεων:
α) \((x+1)^3\)
β) \((2x-y)^3\)
γ) \((x-2y)^3\)
α) \((x+1)^3\)
β) \((2x-y)^3\)
γ) \((x-2y)^3\)
Χρησιμοποιούμε τις ταυτότητες:
\((α+β)^3=α^3+3α^2β+3αβ^2+β^3\)
και
\((α-β)^3=α^3-3α^2β+3αβ^2-β^3\).
α) \((x+1)^3=x^3+3x^2\cdot1+3x\cdot1^2+1^3\)
Άρα:
\((x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1\).
β) \((2x-y)^3=(2x)^3-3(2x)^2y+3(2x)y^2-y^3\)
Άρα:
\((2x-y)^3=8x^3-12x^2y+6xy^2-y^3\).
γ) \((x-2y)^3=x^3-3x^2(2y)+3x(2y)^2-(2y)^3\)
Άρα:
\((x-2y)^3=x^3-6x^2y+12xy^2-8y^3\).
\((α+β)^3=α^3+3α^2β+3αβ^2+β^3\)
και
\((α-β)^3=α^3-3α^2β+3αβ^2-β^3\).
α) \((x+1)^3=x^3+3x^2\cdot1+3x\cdot1^2+1^3\)
Άρα:
\((x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1\).
β) \((2x-y)^3=(2x)^3-3(2x)^2y+3(2x)y^2-y^3\)
Άρα:
\((2x-y)^3=8x^3-12x^2y+6xy^2-y^3\).
γ) \((x-2y)^3=x^3-3x^2(2y)+3x(2y)^2-(2y)^3\)
Άρα:
\((x-2y)^3=x^3-6x^2y+12xy^2-8y^3\).
23
Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις:
α) \(x^3+8\)
β) \(x^3-y^3\)
γ) \(x^3-27\)
δ) \(1-8x^3\)
α) \(x^3+8\)
β) \(x^3-y^3\)
γ) \(x^3-27\)
δ) \(1-8x^3\)
Χρησιμοποιούμε:
\(α^3+β^3=(α+β)(α^2-αβ+β^2)\)
και
\(α^3-β^3=(α-β)(α^2+αβ+β^2)\).
α) \(x^3+8=x^3+2^3\)
Άρα:
\(x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)\).
β) \(x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)\).
γ) \(x^3-27=x^3-3^3\)
Άρα:
\(x^3-27=(x-3)(x^2+3x+9)\).
δ) \(1-8x^3=1^3-(2x)^3\)
Άρα:
\(1-8x^3=(1-2x)(1+2x+4x^2)\).
\(α^3+β^3=(α+β)(α^2-αβ+β^2)\)
και
\(α^3-β^3=(α-β)(α^2+αβ+β^2)\).
α) \(x^3+8=x^3+2^3\)
Άρα:
\(x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)\).
β) \(x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)\).
γ) \(x^3-27=x^3-3^3\)
Άρα:
\(x^3-27=(x-3)(x^2+3x+9)\).
δ) \(1-8x^3=1^3-(2x)^3\)
Άρα:
\(1-8x^3=(1-2x)(1+2x+4x^2)\).
24
Να κάνετε τις πράξεις και να απλοποιήσετε την παράσταση:
\((x+y)^3-x^3-y^3\).
\((x+y)^3-x^3-y^3\).
Αναπτύσσουμε το \((x+y)^3\):
\((x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3\).
Άρα:
\((x+y)^3-x^3-y^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3-x^3-y^3\).
Διαγράφουμε τα αντίθετα:
\((x+y)^3-x^3-y^3=3x^2y+3xy^2\).
Βγάζουμε κοινό παράγοντα:
\(3x^2y+3xy^2=3xy(x+y)\).
Επομένως:
\((x+y)^3-x^3-y^3=3xy(x+y)\).
\((x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3\).
Άρα:
\((x+y)^3-x^3-y^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3-x^3-y^3\).
Διαγράφουμε τα αντίθετα:
\((x+y)^3-x^3-y^3=3x^2y+3xy^2\).
Βγάζουμε κοινό παράγοντα:
\(3x^2y+3xy^2=3xy(x+y)\).
Επομένως:
\((x+y)^3-x^3-y^3=3xy(x+y)\).
25
Να αποδείξετε την ταυτότητα:
\((α+β)^3-3αβ(α+β)=α^3+β^3\).
\((α+β)^3-3αβ(α+β)=α^3+β^3\).
Ξεκινάμε από το αριστερό μέλος:
\((α+β)^3-3αβ(α+β)\).
Αναπτύσσουμε:
\((α+β)^3=α^3+3α^2β+3αβ^2+β^3\).
Επίσης:
\(3αβ(α+β)=3α^2β+3αβ^2\).
Άρα:
\((α+β)^3-3αβ(α+β)=α^3+3α^2β+3αβ^2+β^3-3α^2β-3αβ^2\).
Διαγράφουμε τους ίδιους όρους:
\((α+β)^3-3αβ(α+β)=α^3+β^3\).
Άρα η ταυτότητα αποδείχθηκε.
\((α+β)^3-3αβ(α+β)\).
Αναπτύσσουμε:
\((α+β)^3=α^3+3α^2β+3αβ^2+β^3\).
Επίσης:
\(3αβ(α+β)=3α^2β+3αβ^2\).
Άρα:
\((α+β)^3-3αβ(α+β)=α^3+3α^2β+3αβ^2+β^3-3α^2β-3αβ^2\).
Διαγράφουμε τους ίδιους όρους:
\((α+β)^3-3αβ(α+β)=α^3+β^3\).
Άρα η ταυτότητα αποδείχθηκε.
26
Αν \(x\neq y\), να αποδείξετε ότι:
\(\dfrac{x^3-y^3}{x-y}+xy=(x+y)^2\).
\(\dfrac{x^3-y^3}{x-y}+xy=(x+y)^2\).
Χρησιμοποιούμε την ταυτότητα:
\(x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)\).
Άρα:
\(\dfrac{x^3-y^3}{x-y}=\dfrac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{x-y}\).
Επειδή \(x\neq y\), έχουμε \(x-y\neq0\), οπότε μπορούμε να απλοποιήσουμε:
\(\dfrac{x^3-y^3}{x-y}=x^2+xy+y^2\).
Επομένως:
\(\dfrac{x^3-y^3}{x-y}+xy=x^2+xy+y^2+xy\).
Άρα:
\(\dfrac{x^3-y^3}{x-y}+xy=x^2+2xy+y^2\).
Όμως:
\(x^2+2xy+y^2=(x+y)^2\).
Άρα:
\(\dfrac{x^3-y^3}{x-y}+xy=(x+y)^2\).
\(x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)\).
Άρα:
\(\dfrac{x^3-y^3}{x-y}=\dfrac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{x-y}\).
Επειδή \(x\neq y\), έχουμε \(x-y\neq0\), οπότε μπορούμε να απλοποιήσουμε:
\(\dfrac{x^3-y^3}{x-y}=x^2+xy+y^2\).
Επομένως:
\(\dfrac{x^3-y^3}{x-y}+xy=x^2+xy+y^2+xy\).
Άρα:
\(\dfrac{x^3-y^3}{x-y}+xy=x^2+2xy+y^2\).
Όμως:
\(x^2+2xy+y^2=(x+y)^2\).
Άρα:
\(\dfrac{x^3-y^3}{x-y}+xy=(x+y)^2\).
27
Αν \(x+\dfrac{1}{x}=3\), με \(x\neq0\), να αποδείξετε ότι:
\(x^3+\dfrac{1}{x^3}=18\).
\(x^3+\dfrac{1}{x^3}=18\).
Θέτουμε:
\(x+\dfrac{1}{x}=3\).
Υψώνουμε στον κύβο:
\(\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^3=3^3\).
Άρα:
\(\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^3=27\).
Χρησιμοποιούμε την ταυτότητα:
\((α+β)^3=α^3+3α^2β+3αβ^2+β^3\).
Με \(α=x\) και \(β=\dfrac{1}{x}\), έχουμε:
\(\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^3=x^3+3x^2\cdot\dfrac{1}{x}+3x\cdot\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x^3}\).
Άρα:
\(\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^3=x^3+3x+\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{x^3}\).
Οπότε:
\(27=x^3+\dfrac{1}{x^3}+3\left(x+\dfrac{1}{x}\right)\).
Επειδή \(x+\dfrac{1}{x}=3\), παίρνουμε:
\(27=x^3+\dfrac{1}{x^3}+3\cdot3\).
Άρα:
\(27=x^3+\dfrac{1}{x^3}+9\).
Επομένως:
\(x^3+\dfrac{1}{x^3}=18\).
\(x+\dfrac{1}{x}=3\).
Υψώνουμε στον κύβο:
\(\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^3=3^3\).
Άρα:
\(\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^3=27\).
Χρησιμοποιούμε την ταυτότητα:
\((α+β)^3=α^3+3α^2β+3αβ^2+β^3\).
Με \(α=x\) και \(β=\dfrac{1}{x}\), έχουμε:
\(\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^3=x^3+3x^2\cdot\dfrac{1}{x}+3x\cdot\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x^3}\).
Άρα:
\(\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^3=x^3+3x+\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{x^3}\).
Οπότε:
\(27=x^3+\dfrac{1}{x^3}+3\left(x+\dfrac{1}{x}\right)\).
Επειδή \(x+\dfrac{1}{x}=3\), παίρνουμε:
\(27=x^3+\dfrac{1}{x^3}+3\cdot3\).
Άρα:
\(27=x^3+\dfrac{1}{x^3}+9\).
Επομένως:
\(x^3+\dfrac{1}{x^3}=18\).
28
Αν \(x=\sqrt[3]{2+\sqrt3}+\sqrt[3]{2-\sqrt3}\), να αποδείξετε ότι:
\(x^3-3x-4=0\).
\(x^3-3x-4=0\).
Θέτουμε:
\(α=\sqrt[3]{2+\sqrt3}\) και \(β=\sqrt[3]{2-\sqrt3}\).
Τότε:
\(x=α+β\).
Υπολογίζουμε το \(αβ\):
\(αβ=\sqrt[3]{(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)}\).
Επειδή:
\((2+\sqrt3)(2-\sqrt3)=4-3=1\),
έχουμε:
\(αβ=\sqrt[3]{1}=1\).
Επίσης:
\(α^3=2+\sqrt3\) και \(β^3=2-\sqrt3\).
Άρα:
\(α^3+β^3=4\).
Τώρα:
\(x^3=(α+β)^3=α^3+β^3+3αβ(α+β)\).
Επομένως:
\(x^3=4+3\cdot1\cdot x\).
Άρα:
\(x^3=4+3x\).
Μεταφέρουμε όλα στο πρώτο μέλος:
\(x^3-3x-4=0\).
\(α=\sqrt[3]{2+\sqrt3}\) και \(β=\sqrt[3]{2-\sqrt3}\).
Τότε:
\(x=α+β\).
Υπολογίζουμε το \(αβ\):
\(αβ=\sqrt[3]{(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)}\).
Επειδή:
\((2+\sqrt3)(2-\sqrt3)=4-3=1\),
έχουμε:
\(αβ=\sqrt[3]{1}=1\).
Επίσης:
\(α^3=2+\sqrt3\) και \(β^3=2-\sqrt3\).
Άρα:
\(α^3+β^3=4\).
Τώρα:
\(x^3=(α+β)^3=α^3+β^3+3αβ(α+β)\).
Επομένως:
\(x^3=4+3\cdot1\cdot x\).
Άρα:
\(x^3=4+3x\).
Μεταφέρουμε όλα στο πρώτο μέλος:
\(x^3-3x-4=0\).
29
Δίνονται \(α,β\gt0\) με \(αβ=1\). Αν
\(A=α^{\frac{2}{3}}β^{\frac{1}{4}}\) και \(B=α^{\frac{1}{4}}β^{\frac{2}{3}}\),
να αποδείξετε ότι οι αριθμοί \(A\) και \(B\) είναι αντίστροφοι.
\(A=α^{\frac{2}{3}}β^{\frac{1}{4}}\) και \(B=α^{\frac{1}{4}}β^{\frac{2}{3}}\),
να αποδείξετε ότι οι αριθμοί \(A\) και \(B\) είναι αντίστροφοι.
Για να αποδείξουμε ότι οι \(A\) και \(B\) είναι αντίστροφοι, αρκεί να δείξουμε ότι:
\(A\cdot B=1\).
Έχουμε:
\(A\cdot B=α^{\frac{2}{3}}β^{\frac{1}{4}}\cdot α^{\frac{1}{4}}β^{\frac{2}{3}}\).
Ομαδοποιούμε τις ίδιες βάσεις:
\(A\cdot B=α^{\frac{2}{3}+\frac{1}{4}}β^{\frac{1}{4}+\frac{2}{3}}\).
Υπολογίζουμε τους εκθέτες:
\(\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{8}{12}+\dfrac{3}{12}=\dfrac{11}{12}\).
Άρα:
\(A\cdot B=α^{\frac{11}{12}}β^{\frac{11}{12}}\).
Επομένως:
\(A\cdot B=(αβ)^{\frac{11}{12}}\).
Επειδή \(αβ=1\), έχουμε:
\(A\cdot B=1^{\frac{11}{12}}=1\).
Άρα οι αριθμοί \(A\) και \(B\) είναι αντίστροφοι.
\(A\cdot B=1\).
Έχουμε:
\(A\cdot B=α^{\frac{2}{3}}β^{\frac{1}{4}}\cdot α^{\frac{1}{4}}β^{\frac{2}{3}}\).
Ομαδοποιούμε τις ίδιες βάσεις:
\(A\cdot B=α^{\frac{2}{3}+\frac{1}{4}}β^{\frac{1}{4}+\frac{2}{3}}\).
Υπολογίζουμε τους εκθέτες:
\(\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{8}{12}+\dfrac{3}{12}=\dfrac{11}{12}\).
Άρα:
\(A\cdot B=α^{\frac{11}{12}}β^{\frac{11}{12}}\).
Επομένως:
\(A\cdot B=(αβ)^{\frac{11}{12}}\).
Επειδή \(αβ=1\), έχουμε:
\(A\cdot B=1^{\frac{11}{12}}=1\).
Άρα οι αριθμοί \(A\) και \(B\) είναι αντίστροφοι.
30
Να αποδείξετε αλγεβρικά την ταυτότητα:
\(α^3+β^3=(α+β)(α^2-αβ+β^2)\).
\(α^3+β^3=(α+β)(α^2-αβ+β^2)\).
Ξεκινάμε από το δεξί μέλος:
\((α+β)(α^2-αβ+β^2)\).
Κάνουμε επιμεριστική ιδιότητα:
\((α+β)(α^2-αβ+β^2)=α(α^2-αβ+β^2)+β(α^2-αβ+β^2)\).
Άρα:
\((α+β)(α^2-αβ+β^2)=α^3-α^2β+αβ^2+α^2β-αβ^2+β^3\).
Διαγράφουμε τους αντίθετους όρους:
\(-α^2β+α^2β=0\)
και
\(αβ^2-αβ^2=0\).
Μένει:
\((α+β)(α^2-αβ+β^2)=α^3+β^3\).
Άρα:
\(α^3+β^3=(α+β)(α^2-αβ+β^2)\).
\((α+β)(α^2-αβ+β^2)\).
Κάνουμε επιμεριστική ιδιότητα:
\((α+β)(α^2-αβ+β^2)=α(α^2-αβ+β^2)+β(α^2-αβ+β^2)\).
Άρα:
\((α+β)(α^2-αβ+β^2)=α^3-α^2β+αβ^2+α^2β-αβ^2+β^3\).
Διαγράφουμε τους αντίθετους όρους:
\(-α^2β+α^2β=0\)
και
\(αβ^2-αβ^2=0\).
Μένει:
\((α+β)(α^2-αβ+β^2)=α^3+β^3\).
Άρα:
\(α^3+β^3=(α+β)(α^2-αβ+β^2)\).
31
Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης
\(A=16^{\frac{1}{4}}\cdot x^{\frac{2}{3}}\cdot y^{\frac{2}{3}}\),
αν \(x\gt0\), \(y\gt0\) και \(xy=5\).
\(A=16^{\frac{1}{4}}\cdot x^{\frac{2}{3}}\cdot y^{\frac{2}{3}}\),
αν \(x\gt0\), \(y\gt0\) και \(xy=5\).
Έχουμε:
\(A=16^{\frac{1}{4}}\cdot x^{\frac{2}{3}}\cdot y^{\frac{2}{3}}\).
Πρώτα:
\(16^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{16}=2\).
Επίσης, επειδή οι εκθέτες των \(x\) και \(y\) είναι ίδιοι:
\(x^{\frac{2}{3}}\cdot y^{\frac{2}{3}}=(xy)^{\frac{2}{3}}\).
Άρα:
\(A=2\cdot(xy)^{\frac{2}{3}}\).
Επειδή \(xy=5\), έχουμε:
\(A=2\cdot5^{\frac{2}{3}}\).
Ισοδύναμα:
\(A=2\sqrt[3]{25}\).
\(A=16^{\frac{1}{4}}\cdot x^{\frac{2}{3}}\cdot y^{\frac{2}{3}}\).
Πρώτα:
\(16^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{16}=2\).
Επίσης, επειδή οι εκθέτες των \(x\) και \(y\) είναι ίδιοι:
\(x^{\frac{2}{3}}\cdot y^{\frac{2}{3}}=(xy)^{\frac{2}{3}}\).
Άρα:
\(A=2\cdot(xy)^{\frac{2}{3}}\).
Επειδή \(xy=5\), έχουμε:
\(A=2\cdot5^{\frac{2}{3}}\).
Ισοδύναμα:
\(A=2\sqrt[3]{25}\).
Θέματα
1
Αν \(a=2^2\cdot(-2)^{-2}\cdot2^6\) και \(β=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-4}\), να γράψετε καθέναν από τους αριθμούς \(a,β\) ως μία δύναμη του \(2\) και μετά να βρείτε την τιμή της παράστασης \(a\cdot β\).
Έχουμε:
\((-2)^{-2}=\dfrac{1}{(-2)^2}=\dfrac{1}{4}=2^{-2}\).
Άρα:
\(a=2^2\cdot2^{-2}\cdot2^6=2^{2-2+6}=2^6\).
Επίσης:
\(\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=2^{-2}\) και \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-4}=2^4\).
Άρα:
\(β=2^{-2}\cdot2^4=2^2\).
Επομένως:
\(a\cdot β=2^6\cdot2^2=2^8=256\).
\((-2)^{-2}=\dfrac{1}{(-2)^2}=\dfrac{1}{4}=2^{-2}\).
Άρα:
\(a=2^2\cdot2^{-2}\cdot2^6=2^{2-2+6}=2^6\).
Επίσης:
\(\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=2^{-2}\) και \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-4}=2^4\).
Άρα:
\(β=2^{-2}\cdot2^4=2^2\).
Επομένως:
\(a\cdot β=2^6\cdot2^2=2^8=256\).
2
Να υπολογίσετε τους πραγματικούς αριθμούς \(x,y\), ώστε να ισχύει:
\((-3x-6)^2+(y-5)^2=0\).
Η παράσταση είναι άθροισμα δύο τετραγώνων.
Επειδή κάθε τετράγωνο πραγματικού αριθμού είναι μη αρνητικό, για να είναι το άθροισμα ίσο με \(0\), πρέπει να μηδενιστούν και τα δύο τετράγωνα.
Άρα:
\(-3x-6=0\) και \(y-5=0\).
Από την πρώτη εξίσωση:
\(-3x=6\Rightarrow x=-2\).
Από τη δεύτερη:
\(y=5\).
Επομένως:
\(x=-2\) και \(y=5\).
Επειδή κάθε τετράγωνο πραγματικού αριθμού είναι μη αρνητικό, για να είναι το άθροισμα ίσο με \(0\), πρέπει να μηδενιστούν και τα δύο τετράγωνα.
Άρα:
\(-3x-6=0\) και \(y-5=0\).
Από την πρώτη εξίσωση:
\(-3x=6\Rightarrow x=-2\).
Από τη δεύτερη:
\(y=5\).
Επομένως:
\(x=-2\) και \(y=5\).
3
Αν \((a-β)^2+2β^2-4β+2=0\), να αποδείξετε ότι \(a=1\) και \(β=1\).
Ξεκινάμε από τη σχέση:
\((a-β)^2+2β^2-4β+2=0\).
Στο τμήμα \(2β^2-4β+2\) βγάζουμε κοινό παράγοντα το \(2\):
\(2β^2-4β+2=2(β^2-2β+1)\).
Όμως:
\(β^2-2β+1=(β-1)^2\).
Άρα η σχέση γίνεται:
\((a-β)^2+2(β-1)^2=0\).
Έχουμε άθροισμα μη αρνητικών παραστάσεων ίσο με \(0\), άρα πρέπει:
\(a-β=0\) και \(β-1=0\).
Από \(β-1=0\) παίρνουμε \(β=1\).
Από \(a-β=0\) παίρνουμε \(a=β\).
Άρα:
\(a=1\) και \(β=1\).
\((a-β)^2+2β^2-4β+2=0\).
Στο τμήμα \(2β^2-4β+2\) βγάζουμε κοινό παράγοντα το \(2\):
\(2β^2-4β+2=2(β^2-2β+1)\).
Όμως:
\(β^2-2β+1=(β-1)^2\).
Άρα η σχέση γίνεται:
\((a-β)^2+2(β-1)^2=0\).
Έχουμε άθροισμα μη αρνητικών παραστάσεων ίσο με \(0\), άρα πρέπει:
\(a-β=0\) και \(β-1=0\).
Από \(β-1=0\) παίρνουμε \(β=1\).
Από \(a-β=0\) παίρνουμε \(a=β\).
Άρα:
\(a=1\) και \(β=1\).
4
Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση \(a^2-2a+1\).
Παρατηρούμε ότι η παράσταση έχει τη μορφή:
\(a^2-2a+1\).
Αυτή είναι ανάπτυγμα τετραγώνου διαφοράς:
\((a-1)^2=a^2-2a+1\).
Άρα:
\(a^2-2a+1=(a-1)^2\).
\(a^2-2a+1\).
Αυτή είναι ανάπτυγμα τετραγώνου διαφοράς:
\((a-1)^2=a^2-2a+1\).
Άρα:
\(a^2-2a+1=(a-1)^2\).
5
Να βρείτε τις τιμές του \(x\), για τις οποίες ορίζεται η παράσταση:
\(Π(x)=\dfrac{x^2-x}{x^2-x}\).
Η παράσταση είναι κλασματική, άρα πρέπει ο παρονομαστής να μη μηδενίζεται.
Επομένως θέλουμε:
\(x^2-x\neq0\).
Παραγοντοποιούμε:
\(x^2-x=x(x-1)\).
Άρα:
\(x(x-1)\neq0\).
Για να μη μηδενίζεται το γινόμενο, πρέπει:
\(x\neq0\) και \(x-1\neq0\).
Δηλαδή:
\(x\neq0\) και \(x\neq1\).
Άρα η παράσταση ορίζεται για:
\(x\in\mathbb{R}-\{0,1\}\).
Επομένως θέλουμε:
\(x^2-x\neq0\).
Παραγοντοποιούμε:
\(x^2-x=x(x-1)\).
Άρα:
\(x(x-1)\neq0\).
Για να μη μηδενίζεται το γινόμενο, πρέπει:
\(x\neq0\) και \(x-1\neq0\).
Δηλαδή:
\(x\neq0\) και \(x\neq1\).
Άρα η παράσταση ορίζεται για:
\(x\in\mathbb{R}-\{0,1\}\).
6
Αν \(a-β=1\), να βρείτε την τιμή της παράστασης \(Π=a^2+β^2-2aβ\).
Η παράσταση:
\(Π=a^2+β^2-2aβ\)
γράφεται καλύτερα ως:
\(Π=a^2-2aβ+β^2\).
Αυτό είναι τετράγωνο διαφοράς:
\(a^2-2aβ+β^2=(a-β)^2\).
Άρα:
\(Π=(a-β)^2\).
Επειδή δίνεται \(a-β=1\), έχουμε:
\(Π=1^2=1\).
Επομένως:
\(Π=1\).
\(Π=a^2+β^2-2aβ\)
γράφεται καλύτερα ως:
\(Π=a^2-2aβ+β^2\).
Αυτό είναι τετράγωνο διαφοράς:
\(a^2-2aβ+β^2=(a-β)^2\).
Άρα:
\(Π=(a-β)^2\).
Επειδή δίνεται \(a-β=1\), έχουμε:
\(Π=1^2=1\).
Επομένως:
\(Π=1\).
7
Αν \(a+β=3\) και \(aβ=2\), να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων \(K=a^2+β^2\) και \(\Lambda=a^3+β^3\).
Για την παράσταση \(K=a^2+β^2\), χρησιμοποιούμε την ταυτότητα:
\((a+β)^2=a^2+2aβ+β^2\).
Άρα:
\(a^2+β^2=(a+β)^2-2aβ\).
Επομένως:
\(K=3^2-2\cdot2=9-4=5\).
Για την παράσταση \(\Lambda=a^3+β^3\), χρησιμοποιούμε την ταυτότητα:
\(a^3+β^3=(a+β)^3-3aβ(a+β)\).
Άρα:
\(\Lambda=3^3-3\cdot2\cdot3=27-18=9\).
Επομένως:
\(K=5\) και \(\Lambda=9\).
\((a+β)^2=a^2+2aβ+β^2\).
Άρα:
\(a^2+β^2=(a+β)^2-2aβ\).
Επομένως:
\(K=3^2-2\cdot2=9-4=5\).
Για την παράσταση \(\Lambda=a^3+β^3\), χρησιμοποιούμε την ταυτότητα:
\(a^3+β^3=(a+β)^3-3aβ(a+β)\).
Άρα:
\(\Lambda=3^3-3\cdot2\cdot3=27-18=9\).
Επομένως:
\(K=5\) και \(\Lambda=9\).
8
Αν δίνεται η αναλογία \(\dfrac{a}{2}=\dfrac{β}{4}\) και γνωρίζουμε ότι \(a+β=12\), να προσδιορίσετε τους αριθμούς \(a\) και \(β\).
Από την αναλογία:
\(\dfrac{a}{2}=\dfrac{β}{4}\)
κάνουμε χιαστί:
\(4a=2β\).
Διαιρούμε με \(2\):
\(2a=β\).
Άρα:
\(β=2a\).
Επειδή δίνεται:
\(a+β=12\),
αντικαθιστούμε:
\(a+2a=12\).
Άρα:
\(3a=12\Rightarrow a=4\).
Τότε:
\(β=2a=2\cdot4=8\).
Επομένως:
\(a=4\) και \(β=8\).
\(\dfrac{a}{2}=\dfrac{β}{4}\)
κάνουμε χιαστί:
\(4a=2β\).
Διαιρούμε με \(2\):
\(2a=β\).
Άρα:
\(β=2a\).
Επειδή δίνεται:
\(a+β=12\),
αντικαθιστούμε:
\(a+2a=12\).
Άρα:
\(3a=12\Rightarrow a=4\).
Τότε:
\(β=2a=2\cdot4=8\).
Επομένως:
\(a=4\) και \(β=8\).
9
Αν ισχύει \(\dfrac{x+y}{6x-y}=\dfrac{3}{11}\), με \(x,y\neq0\), να βρείτε την τιμή της παράστασης \(Π=\dfrac{x}{x-y}\).
Από την αναλογία:
\(\dfrac{x+y}{6x-y}=\dfrac{3}{11}\)
κάνουμε χιαστί:
\(11(x+y)=3(6x-y)\).
Αναπτύσσουμε:
\(11x+11y=18x-3y\).
Μεταφέρουμε τους όρους:
\(11y+3y=18x-11x\).
Άρα:
\(14y=7x\).
Διαιρούμε με \(7\):
\(2y=x\).
Άρα:
\(x=2y\).
Τώρα:
\(Π=\dfrac{x}{x-y}\).
Αντικαθιστούμε \(x=2y\):
\(Π=\dfrac{2y}{2y-y}=\dfrac{2y}{y}=2\), αφού \(y\neq0\).
Επομένως:
\(Π=2\).
\(\dfrac{x+y}{6x-y}=\dfrac{3}{11}\)
κάνουμε χιαστί:
\(11(x+y)=3(6x-y)\).
Αναπτύσσουμε:
\(11x+11y=18x-3y\).
Μεταφέρουμε τους όρους:
\(11y+3y=18x-11x\).
Άρα:
\(14y=7x\).
Διαιρούμε με \(7\):
\(2y=x\).
Άρα:
\(x=2y\).
Τώρα:
\(Π=\dfrac{x}{x-y}\).
Αντικαθιστούμε \(x=2y\):
\(Π=\dfrac{2y}{2y-y}=\dfrac{2y}{y}=2\), αφού \(y\neq0\).
Επομένως:
\(Π=2\).
10
Αν για τους πραγματικούς αριθμούς \(a,β\) ισχύει \(a+β=0\), να αποδείξετε ότι υποχρεωτικά ισχύει και \(a^3+β^3=0\).
Αφού:
\(a+β=0\),
τότε:
\(β=-a\).
Θέλουμε να αποδείξουμε ότι:
\(a^3+β^3=0\).
Αντικαθιστούμε \(β=-a\):
\(a^3+β^3=a^3+(-a)^3\).
Επειδή:
\((-a)^3=-a^3\),
έχουμε:
\(a^3+β^3=a^3-a^3=0\).
Άρα πράγματι:
\(a^3+β^3=0\).
\(a+β=0\),
τότε:
\(β=-a\).
Θέλουμε να αποδείξουμε ότι:
\(a^3+β^3=0\).
Αντικαθιστούμε \(β=-a\):
\(a^3+β^3=a^3+(-a)^3\).
Επειδή:
\((-a)^3=-a^3\),
έχουμε:
\(a^3+β^3=a^3-a^3=0\).
Άρα πράγματι:
\(a^3+β^3=0\).
Τέλος