α. \(x^2+x-2=(x-1)(x+2)\), άρα \(x=1\) ή \(x=-2\).
β. \(x^2-10x+25=(x-5)^2\), άρα \(x=5\).
γ. \(\Delta=(-3)^2-4\cdot1\cdot3=-3＜0\), άρα δεν υπάρχουν πραγματικές ρίζες.

α. \(x^2-3x+1=0\), με \(\Delta=5\), άρα \(x=\dfrac{3\pm\sqrt5}{2}\).
β. \(2x^2-5x=0\Rightarrow x(2x-5)=0\), άρα \(x=0\) ή \(x=\dfrac52\).
γ. \(2x^2-6x=0\Rightarrow2x(x-3)=0\), άρα \(x=0\) ή \(x=3\).
δ. \(x^2-11x=0\Rightarrow x=0\) ή \(x=11\).

α. \(x(x+1)=0\Rightarrow x=0,-1\).
β. \((x-5)(x+5)=0\Rightarrow x=\pm5\).
γ. Θα έπρεπε \(x^2=-3\), άρα δεν υπάρχουν πραγματικές λύσεις.

Παραγοντοποιούμε: \(x^2+201x-202=(x-1)(x+202)\). Άρα \(x=1\) ή \(x=-202\).

α. \(\Delta=0\), άρα διπλή ρίζα \(x=\sqrt3\).
β. \((x-1)(x-\sqrt5+1)=0\), άρα \(x=1\) ή \(x=\sqrt5-1\).
γ. Οι ρίζες έχουν άθροισμα \(2+\sqrt5\) και γινόμενο \(2\sqrt5\), άρα \(x=2\) ή \(x=\sqrt5\).

α. \((x-1)(x-\alpha+1)=0\), άρα \(x=1\) ή \(x=\alpha-1\).
β. \((x-1)(x-\alpha)=0\), άρα \(x=1\) ή \(x=\alpha\).

α. Πολλαπλασιάζουμε με \(6\): \(3x^2+2x-5=0\), \(\Delta=64\), άρα \(x=1\) ή \(x=-\dfrac53\).
β. \(x^2-10x+25=0\Rightarrow x=5\).
γ. \(x^2-3x+3=0\), \(\Delta=-3＜0\), άρα καμία πραγματική ρίζα.

α. \((x-4)(x+1)^2=0\Rightarrow x=4,-1\).
β. \((x-2)(x^2-3x+8)=0\). Η δεύτερη εξίσωση έχει \(\Delta=-23＜0\), άρα \(x=2\).
γ. \((x-2)(x-1)^2=0\Rightarrow x=2,1\).

α. \((x-2)(x^2-1)=0\Rightarrow x=2,1,-1\).
β. Θέτουμε \(t=x^2\ge0\): \(t^2-3t+2=0\Rightarrow t=1,2\), άρα \(x=\pm1,\pm\sqrt2\).

α. \(x\ne\pm1\). Χιαστί: \(x+1=x-x^2\Rightarrow x^2+1=0\), άρα καμία πραγματική λύση.
β. \(x\ne1\). \(x(x-1)+1=3(x-1)\Rightarrow(x-2)^2=0\), άρα \(x=2\).
γ. \(x\ne\pm2\). Με κοινό παρονομαστή προκύπτει \(x=0\).
δ. \(x\ne0,-2\). Με κοινό παρονομαστή προκύπτει ταυτότητα, άρα \(x\in\mathbb R\setminus\{0,-2\}\).
ε. \(x\ne1,-\dfrac32\). Με απλοποίηση \(\dfrac{x-2}{2x+3}=-3\Rightarrow x=-\dfrac78\).
ζ. \(\dfrac{x}{x+1}=\dfrac12\Rightarrow x=1\).
η. \(\dfrac{x^2}{x+1}=\dfrac43\Rightarrow3x^2-4x-4=0\Rightarrow x=2,-\dfrac23\).

Θέτουμε \(t=x^2\ge0\).
α. \(t^2+t-2=0\Rightarrow t=1\), άρα \(x=\pm1\).
β. \(t^2+3t+2=0\Rightarrow t=-1,-2\), μη επιτρεπτές τιμές, άρα καμία πραγματική λύση.

α. Πρέπει \(x\ge0\). Τετραγωνίζουμε: \(x+3=4x^2\Rightarrow4x^2-x-3=0\). Οι ρίζες \(1,-\dfrac34\), κρατάμε \(x=1\).
β. Από τη ρίζα \(x\le1\), ενώ από το δεξί μέλος \(x\ge1\). Άρα \(x=1\), που επαληθεύει.

α. Με \(t=|x|\): \(t^2-t-2=0\Rightarrow t=2\Rightarrow x=\pm2\).
β. \(t^2+t-2=0\Rightarrow t=1\Rightarrow x=\pm1\).
γ. \(t=|x-1|\): \(2t^2-t-1=0\Rightarrow t=1\Rightarrow x=0,2\).
δ. \(t=x^2+3x-3\): \(t=1\) ή \(-2\). Άρα \(x=1,-4,\dfrac{-3\pm\sqrt{13}}2\).
ε. Με \(t=x^2-3x+2\), έχουμε \(t^2=0\Rightarrow x=1,2\).
ζ. \(t=|x-1|\): \(t^2+t-2=0\Rightarrow t=1\Rightarrow x=0,2\).
η. \(t=|x+1|\): \(2t^2-t-6=0\Rightarrow t=2\Rightarrow x=1,-3\).
θ. \(t=x^2-5\): \(t=1,4\Rightarrow x=\pm\sqrt6,\pm3\).
ι. \(t=x^2+x-2\): \(t=1,-2\Rightarrow x=\dfrac{-1\pm\sqrt{13}}2,0,-1\).
κ. \(x\ne0\), \(t=((x-1)/x)^2\): \(t=1\Rightarrow x=\dfrac12\).
λ. \(x\ne0\), \(t=x+1/x\): \(t=1\) ή \(-2\). Η πρώτη δεν δίνει πραγματικές ρίζες, η δεύτερη δίνει \(x=-1\).

Ο κυβικός είναι ένα προς ένα: \(1-(|x|-1)^3=1\Rightarrow(|x|-1)^3=0\Rightarrow|x|=1\). Άρα \(x=\pm1\).

Περίπτωση 1: \(x^2+x-3=x^2\Rightarrow x=3\).
Περίπτωση 2: \(x^2+x-3=-x^2\Rightarrow2x^2+x-3=0\Rightarrow x=1,-\dfrac32\).
Άρα \(x=3,1,-\dfrac32\).

Ο εκθέτης \(9\) είναι περιττός, άρα \(2x^2-x=1\). Έτσι \(2x^2-x-1=0=(2x+1)(x-1)\), οπότε \(x=1,-\dfrac12\).

Ο εκθέτης \(21\) είναι περιττός, άρα \(x^2+|x|-1=x\).
Για \(x\ge0\): \(x^2-1=0\Rightarrow x=1\).
Για \(x＜0\): \(x^2-2x-1=0\Rightarrow x=1-\sqrt2\).
Άρα \(x=1\) ή \(x=1-\sqrt2\).

Οι δύο όροι είναι ίσοι, επειδή \(x^2-2|x|+1=(|x|-1)^2\) και \(x^2+2|x|+1=(|x|+1)^2\).
Άρα \(2\left(\dfrac{|x|-1}{|x|+1}\right)^2=2\). Η περίπτωση λόγος \(=1\) είναι αδύνατη, ενώ λόγος \(=-1\) δίνει \(|x|=0\). Άρα \(x=0\).

Αν δύο αριθμοί έχουν άθροισμα \(S\) και γινόμενο \(P\), είναι ρίζες της \(t^2-St+P=0\).
α. \(t^2-4t+3=0\Rightarrow t=1,3\).
β. \(t^2-4=0\Rightarrow t=\pm2\).
γ. \(t^2-2t+2=0\) με \(\Delta=-4＜0\), άρα δεν υπάρχουν δύο πραγματικοί αριθμοί.

Το άθροισμα είναι \(S=2\) και το γινόμενο \(P=-1\). Άρα η εξίσωση είναι \(x^2-2x-1=0\).

\(x_1+x_2=-\sqrt2\), \(x_1x_2=-4\).
Νέο άθροισμα: \(S'=2-\sqrt2\).
Νέο γινόμενο: \(P'=-4-\sqrt2+1=-3-\sqrt2\).
Άρα \(x^2+(\sqrt2-2)x-3-\sqrt2=0\).

\(\Delta=6+4\sqrt2=(2+\sqrt2)^2＞0\). Οι ρίζες είναι \(x_1=-1\), \(x_2=1+\sqrt2\).
Άρα \(r_1=-2\), \(r_2=\dfrac{1+\sqrt2}{2}\).
\(S'=\dfrac{\sqrt2-3}{2}\), \(P'=-(1+\sqrt2)\).
Μία ζητούμενη εξίσωση είναι \(2x^2+(3-\sqrt2)x-2(1+\sqrt2)=0\).

\(\Delta=-4\lambda\), άρα για δύο άνισες πραγματικές ρίζες πρέπει \(\lambda＜0\).
Από Viète \(x_1x_2=\lambda^2+\lambda\). Θέλουμε \(\lambda^2+\lambda=2\Rightarrow\lambda=1\) ή \(-2\). Κρατάμε \(\lambda=-2\).

Άθροισμα \(S=2\), γινόμενο \(P=1-\lambda^2\). Άρα \(x^2-2x+1-\lambda^2=0\).

Για την αρχική εξίσωση \(S=-\dfrac52\), \(P=-3\).
α. \(S'=\dfrac56\), \(P'=-\dfrac13\), άρα \(6x^2-5x-2=0\).
β. \(S'=\dfrac32\), \(P'=-4\), άρα \(2x^2-3x-8=0\).
γ. \(S'=S^2-2P=\dfrac{49}{4}\), \(P'=9\), άρα \(4x^2-49x+36=0\).
δ. \(S'=-\dfrac{49}{12}\), \(P'=1\), άρα \(12x^2+49x+12=0\).

Για αντίθετες ρίζες πρέπει \(x_1+x_2=0\). Με Viète \(x_1+x_2=1-\lambda\), άρα \(\lambda=1\).

Για δύο άνισες ρίζες: \(\Delta=4-4\lambda＞0\Rightarrow\lambda＜1\). Για θετικές ρίζες: \(S=2＞0\) και \(P=\lambda＞0\). Άρα \(0＜\lambda＜1\).

Ετερόσημες ρίζες σημαίνει \(x_1x_2＜0\). Με Viète \(x_1x_2=\lambda\), άρα \(\lambda＜0\).

\(\Delta=4(1-\lambda)\).
\(\lambda＜1\): δύο άνισες πραγματικές ρίζες.
\(\lambda=1\): μία διπλή ρίζα \(x=1\).
\(\lambda＞1\): καμία πραγματική ρίζα.

Για \(\lambda=0\) γίνεται \(-x+1=0\), άρα μία λύση.
Για \(\lambda\ne0\): \(\Delta=(3\lambda-1)^2\).
α. Μία λύση για \(\lambda=0\) ή \(\lambda=\dfrac13\).
β. Διπλή ρίζα μόνο για \(\lambda=\dfrac13\).

\(\Delta=5\alpha^2＞0\). Με Viète \(S=\alpha\), \(P=-\alpha^2\).
\(\Pi_1=S/P=-1/\alpha\).
\(\Pi_2=S^2-2P=3\alpha^2\).
\(\Pi_3=\Pi_2/P^2=3/\alpha^2\).
\(\Pi_4=S^3-3PS=4\alpha^3\).
\(\Pi_5=\sqrt5\,|\alpha|\).

\(\Delta=5\kappa^2\ge0\). Με Viète \(x_1+x_2=\kappa\), άρα \(\kappa=1\). Τότε \(x^2-x-1=0\) και \(x=\dfrac{1\pm\sqrt5}{2}\).

Από \(S=3\): \(3\rho_2+\rho_2=3\Rightarrow\rho_2=\dfrac34\), \(\rho_1=\dfrac94\). Άρα \(\lambda=P=\dfrac{27}{16}\).

Γράφουμε \(x^2-\lambda x-1=0\). Το άθροισμα είναι \(\lambda\), άρα \(\lambda=1\).

\(\Delta=4\lambda^2＞0\), άρα δύο άνισες ρίζες. Το άθροισμα είναι \(2\), επομένως η άλλη ρίζα είναι \(2-(1+\sqrt2)=1-\sqrt2\).

Με Viète: \(S=-1\), \(P=\lambda-1\). Η σχέση δίνει \(\lambda=2\). Όμως τότε η εξίσωση είναι \(x^2+x+1=0\), με \(\Delta=-3＜0\). Άρα δεν υπάρχει πραγματικό \(\lambda\) που να ικανοποιεί όλες τις προϋποθέσεις.

Από Viète \(-\beta/12=7/6\Rightarrow\beta=-14\), και \(\gamma/12=1/3\Rightarrow\gamma=4\). Η εξίσωση γίνεται \(6x^2-7x+2=0\), με ρίζες \(x=\dfrac12,\dfrac23\).

Αν η άλλη ρίζα είναι \(\rho_2\), τότε \(\rho+\rho_2=\beta\). Άρα \(\rho_2=\beta-\rho\).

Θέτουμε \(x=1\): \(1-3\lambda^2+\lambda+1=0\Rightarrow(3\lambda+2)(\lambda-1)=0\). Άρα \(\lambda=1\). Η εξίσωση γίνεται \(x^2-3x+2=0\), οπότε η άλλη ρίζα είναι \(2\).

Η εξίσωση γίνεται \(x^2-2(1+\lambda)x+1-2\lambda=0\).
\(\Delta=4\lambda(\lambda+4)＞0\).
Με Viète \(S=2(1+\lambda)\), \(P=1-2\lambda\). Άρα \((\rho_1+1)(\rho_2+1)=P+S+1=4\).

\(\Delta=7+2\sqrt2-4\sqrt3＞0\), άρα δύο άνισες πραγματικές ρίζες.
\(\Pi=\rho_1+\rho_1\rho_2+\rho_2=S+P\). Με Viète \(S=1+\sqrt2\), \(P=\sqrt3-1\). Άρα \(\Pi=\sqrt2+\sqrt3\).

Παραγοντοποιούμε: \((x+1)(\lambda x+\lambda-2)=0\). Άρα \(x_1=-1\), \(x_2=-1+\dfrac2\lambda\).
\(|x_1-x_2|=\dfrac2{|\lambda|}＞0\), αφού \(\lambda\ne0\).

Θέτουμε \(x-1,x,x+1\). Η συνθήκη δίνει \(3x=x(x^2-1)\Rightarrow x(x^2-4)=0\). Άρα \(x=0,2,-2\). Οι τριάδες είναι \((-1,0,1)\), \((1,2,3)\), \((-3,-2,-1)\).

Αν ο αριθμός είναι \(x\), τότε \(8x=x^2+12\). Άρα \(x^2-8x+12=0=(x-2)(x-6)\), οπότε \(x=2\) ή \(x=6\).

Έστω \(x\) η κάθετη πλευρά. Τότε η υποτείνουσα είναι \(x+3\). Από Πυθαγόρειο \(2x^2=(x+3)^2\Rightarrow x^2-6x-9=0\). Κρατάμε \(x=3+3\sqrt2\).
Εμβαδόν: \(E=\dfrac{x^2}{2}=\dfrac{27+18\sqrt2}{2}\approx26.23\ \text{cm}^2\).
Ύψος προς την υποτείνουσα: \(h=\dfrac{x^2}{x+3}=\dfrac{x}{\sqrt2}=3+\dfrac{3\sqrt2}{2}\approx5.12\ \text{cm}\).

Αν οι πλευρές είναι \(x,y\), τότε \(x+y=3\) και \(x^2+y^2=5\). Άρα \(9=5+2xy\Rightarrow xy=2\). Οι πλευρές είναι ρίζες της \(t^2-3t+2=0\), άρα \(1\) και \(2\).

Έστω \(x\) η μικρότερη ακμή. \((x+2)^3-x^3=386\Rightarrow6x^2+12x+8=386\Rightarrow x^2+2x-63=0\). Η θετική ρίζα είναι \(x=7\), άρα οι ακμές είναι \(7\) και \(9\) cm.

Η κάθετος από το κέντρο στη χορδή τη διχοτομεί, άρα η μισή χορδή είναι \(x/2\). Από Πυθαγόρειο: \((x-3)^2=3^2+\left(\dfrac x2\right)^2\). Πολλαπλασιάζουμε με \(4\): \(4x^2-24x+36=36+x^2\Rightarrow3x(x-8)=0\). Άρα \(x=8\) και \(OA=x-3=5\) cm.

Έστω \(v\) η ταχύτητα του πεζού. Τότε του ποδηλάτη είναι \(v+6\). Η διαφορά χρόνων: \(\dfrac{20}{v}-\dfrac{20}{v+6}=3\). Άρα \(120=3v(v+6)\Rightarrow v^2+6v-40=0\). Η θετική ρίζα είναι \(v=4\). Άρα πεζός \(4\) km/h, ποδηλάτης \(10\) km/h.

α. \(300=\frac12gt^2=5t^2\Rightarrow t=\sqrt{60}=2\sqrt{15}\approx7.75\) s.
β. \(300=50t+5t^2\Rightarrow t^2+10t-60=0\). Η θετική ρίζα είναι \(t=-5+\sqrt{85}\approx4.22\) s.

Θέτουμε \(AB=BE=x\). Τότε \(E_{ABE}=\dfrac{x^2}{2}\) και το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι \(30x\). Η συνθήκη: \(30x-\dfrac{x^2}{2}=5\cdot\dfrac{x^2}{2}\Rightarrow30x=3x^2\). Επειδή \(x＞0\), \(x=10\). Άρα το \(E\) απέχει \(10\) m από το \(B\).

Αν οι πλευρές είναι \(a,b\), τότε \(a+b=10\), \(ab=24\). Άρα η εξίσωση είναι \(x^2-10x+24=0=(x-4)(x-6)\). Οι πλευρές είναι \(4\) cm και \(6\) cm.

Από \(y=10-x\): \(E(x)=\dfrac12x(10-x)=\dfrac12(-x^2+10x)\).
Συμπληρώνουμε τετράγωνο: \(E(x)=\dfrac{25}{2}-\dfrac12(x-5)^2\le\dfrac{25}{2}\).

Από \(2x+2y=20\) έχουμε \(y=10-x\). Άρα \(E=x(10-x)=10x-x^2\).
Θέλουμε \(10x-x^2=25\Rightarrow(x-5)^2=0\Rightarrow x=5\). Τότε \(y=5\), άρα είναι τετράγωνο.

Με Viète \(x_1+x_2=2\), \(x_1x_2=\lambda(2-\lambda)\). Άρα \(\Pi=4\) και \(E=\lambda(2-\lambda)=1-(\lambda-1)^2\le1\). Το μέγιστο \(E=1\) λαμβάνεται για \(\lambda=1\), οπότε οι πλευρές είναι ίσες.

\(\lambda^2+\lambda+1=\left(\lambda+\frac12\right)^2+\frac34＞0\), άρα είναι πάντα δευτέρου βαθμού.
\(\Delta=(\lambda+1)^2+4(\lambda^2+\lambda+1)＞0\), άρα δύο άνισες πραγματικές ρίζες.
Για \(x=1\): \(\lambda^2-1=0\Rightarrow\lambda=\pm1\). Θετική τιμή: \(\lambda=1\). Τότε \(3x^2-2x-1=(x-1)(3x+1)\), άρα η άλλη ρίζα είναι \(-\frac13\).

α. Άμεση ανάπτυξη δίνει \(36+60\sqrt2+50=86+60\sqrt2\).
β1. \((1+\sqrt2)^3=(1+\sqrt2)(3+2\sqrt2)=7+5\sqrt2\).
β2. Αν \(-7-5\sqrt2\) ήταν ρητός, θα ήταν ρητός και ο \(\sqrt2\), άτοπο.
γ. Η εξίσωση γίνεται \(x^2+(6+5\sqrt2)x-(7+5\sqrt2)=0\). Το \(x=1\) είναι ρίζα. Η άλλη, από το γινόμενο, είναι \(-7-5\sqrt2\), άρρητη.

Από \(\Delta\ge0\) και \(\Delta^2+\Delta=2\) παίρνουμε \(\Delta=1\), άρα \(9-8a=1\Rightarrow a=1\).
Για τη δεύτερη εξίσωση: \(\Delta_m=5m^2+4＞0\), άρα πάντα δύο άνισες ρίζες.
Με Viète \(S=m\), \(P=-(m^2+1)\). Άρα \((r_1-1)(r_2-1)=P-S+1=-m^2-m\). Θέλουμε \(-m(m+1)＞0\), άρα \(-1＜m＜0\).

α. Με \(t=\sqrt x\ge0\): \(t^2+t-6=0\Rightarrow t=2\Rightarrow x=4\). Η δεύτερη: \(x^2+x-20=0\Rightarrow x=4,-5\).
β. Από την πρώτη \(k+m=4\). Η δεύτερη γίνεται \(16+k+m^2-20=0\Rightarrow k+m^2=4\). Αφαιρώντας: \(m^2-m=0\). Επειδή \(m＞0\), \(m=1\), άρα \(k=3\).

Η πρώτη δίνει \(x=3\). Η δεύτερη \(x=3\) ή \(x=-1\). Από την τελευταία σχέση του πρωτοτύπου προκύπτει \(k=-1\), το οποίο την επαληθεύει.

Για \(n=0\): \(2x+2=0\Rightarrow x=-1\), μία λύση.
Για \(n＞0\): \(\Delta=(n+2)^2-8n=(n-2)^2\).
Αν \(n=2\), μία διπλή ρίζα \(x=-1\). Αν \(n＞0,n\ne2\), δύο άνισες πραγματικές ρίζες.
β. Όπως είναι τυπωμένη, το άθροισμα είναι \(-\dfrac{n+2}{n}＜0\), άρα δεν μπορεί να είναι \(3\).

Αναπτύσσουμε: \(x^2-2(m+1)x+m^2+3m-1=0\).
\(\Delta=4(2-m)＞0\), επειδή \(m＜2\).
Επίσης \(r_2-r_1=\sqrt\Delta=2\sqrt{2-m}\). Αν είναι \(2\), τότε \(m=1\). Η εξίσωση γίνεται \(x^2-4x+3=0\), άρα \(r_1=1,r_2=3\).

Διαιρούμε με \(\alpha\beta\): \(x^2-\left(\dfrac{\alpha}{\beta}+\dfrac{\beta}{\alpha}\right)x+1=0\). Παραγοντοποιείται: \(\left(x-\dfrac{\alpha}{\beta}\right)\left(x-\dfrac{\beta}{\alpha}\right)=0\). Άρα \(x=\dfrac{\alpha}{\beta}\) ή \(x=\dfrac{\beta}{\alpha}\).

\(\Delta=4(\alpha^2+\beta^2)^2-4(\alpha^2-\beta^2)^2=16\alpha^2\beta^2\).
Αν \(\alpha\beta\ne0\), δύο άνισες πραγματικές ρίζες. Αν \(\alpha\beta=0\), μία διπλή πραγματική ρίζα.

\(\Delta=4(\lambda+2)^2-4(2\lambda^2+7)=-4(\lambda-1)(\lambda-3)\).
Άρα \(\lambda=1\) ή \(3\). Οι αντίστοιχες διπλές ρίζες είναι \(x=3\) και \(x=5\).

α. \(\lambda-1=0\Rightarrow\lambda=1\).
β. \(\Delta=(2\lambda+3)^2-4(\lambda+5)(\lambda-1)=29-4\lambda\). Άρα \(\lambda=\dfrac{29}{4}\).
γ. \(\Delta＞0\Rightarrow\lambda＜\dfrac{29}{4}\), με \(\lambda\ne-5\).

Η εξίσωση είναι \((x-\lambda)^2=1\), άρα \(x_1=\lambda-1\), \(x_2=\lambda+1\), πάντα άνισες.
Για να είναι και οι δύο στο \((-2,4)\): \(-2＜\lambda-1\) και \(\lambda+1＜4\). Άρα \(-1＜\lambda＜3\).

α. \((x-4)(x+1)=0\Rightarrow x=4,-1\).
β. Διαιρούμε με \(\beta^2\): \((\alpha/\beta)^2-3(\alpha/\beta)-4=0\). Άρα \(\alpha/\beta=4\) ή \(-1\). Επειδή είναι ομόσημοι, κρατάμε \(4\).

Αφού \(\Delta\ge0\), έχουμε \(\Delta^2+\Delta=2\Rightarrow\Delta=1\).
α. \((\lambda+2)^2-8\mu=1\Rightarrow\mu=\dfrac{(\lambda+2)^2-1}{8}\ge-\dfrac18\).
β. Από Viète \(\lambda+2=3\Rightarrow\lambda=1\). Για μονική εξίσωση \(|\rho_1-\rho_2|=\sqrt\Delta=1\).

α. Για \(x=-1\) το αριστερό μέλος μηδενίζεται για κάθε \(\alpha\). Για \(x=0\) παίρνουμε \(-(\alpha^4-\alpha^2+1)\ne0\). Για \(x=1\) παίρνουμε \(2(\alpha^2-1)\), άρα ρίζα μόνο αν \(\alpha=\pm1\).
β. \(4\alpha^8-4\alpha^6+5\alpha^4-2\alpha^2+1=(2\alpha^4-\alpha^2+1)^2\ge0\).

Θέτουμε \(t=x^2\ge0\): \(2t^2-t+2\lambda-3=0\), \(\Delta_t=25-16\lambda\).
\(\lambda＜\dfrac32\): 2 ρίζες ως προς \(x\).
\(\lambda=\dfrac32\): 3 ρίζες.
\(\dfrac32＜\lambda＜\dfrac{25}{16}\): 4 ρίζες.
\(\lambda=\dfrac{25}{16}\): 2 ρίζες.
\(\lambda＞\dfrac{25}{16}\): καμία.

Για την πρώτη θέτουμε \(t=x^2\): \(t^2-2t+\lambda+1=0\), με \(\Delta_t=-4\lambda\). Για τη δεύτερη \(\Delta_y=16(1-\lambda)\), \(S_y=4\), \(P_y=4\lambda\).
Η δεύτερη έχει ρίζες για \(\lambda\le1\): για \(0＜\lambda＜1\) δύο θετικές άνισες, για \(\lambda=1\) διπλή \(2\), για \(\lambda＜0\) ετερόσημες.
Για την πρώτη: \(\lambda＜-1\): 2 ρίζες, \(\lambda=-1\): 3, \(-1＜\lambda＜0\): 4, \(\lambda=0\): 2, \(\lambda＞0\): καμία.

α. Με ανάπτυξη προκύπτει \(5\lambda^2-4\lambda+4=0\), με αρνητική διακρίνουσα, άρα καμία πραγματική λύση.
β. Παραγοντοποιούμε: \((x-1)((\lambda-1)x-(\lambda^2+1))=0\). Άρα \(x=1\), και αν \(\lambda\ne1\), \(x=\dfrac{\lambda^2+1}{\lambda-1}\).
γ. \(\dfrac{\lambda^2+1}{\lambda-1}=5\Rightarrow\lambda^2-5\lambda+6=0\Rightarrow\lambda=2,3\).

Αν \(b=1-a\), η εξίσωση γίνεται \((2a+1)(x-1)=0\): μοναδική λύση \(1\) αν \(a\ne-\frac12\), αλλιώς αόριστη.
Αν \(b\ne1-a\), το \(x=1\) είναι ρίζα και η άλλη είναι \(\dfrac{2a+1}{1-a-b}\). Αν οι δύο ρίζες είναι ίσες, τότε \(3a+b=0\), και δεν μπορεί \(a=-\frac12\), γιατί τότε θα είχαμε \(b=1-a\).

Με Viète \(S=4(\lambda+1/\lambda)\), \(P=16\). Άρα \(\Pi=8(\lambda+1/\lambda)\), \(E=16\). Επειδή \(\lambda+1/\lambda\ge2\), \(\Pi\ge16\). Ισότητα για \(\lambda=1\).

Επειδή \(1\) είναι ρίζα: \(1-3m+2k=0\Rightarrow3m=2k+1\).
Από Viète \(1+r_2=3m＞2\Rightarrow m＞0\), και \(r_2=2k＞1\Rightarrow k＞0\).
Επειδή οι ρίζες είναι πραγματικές, \(\Delta=9m^2-8k＞0\), άρα \(9m^2\ge8k\).
Αν \(r_2=2\), \(S=3=3m\Rightarrow m=1\), \(P=2=2k\Rightarrow k=1\).

\(\Delta=(\alpha+1)^2-16＞0\Rightarrow\alpha＞3\) ή \(\alpha＜-5\).
\(|(x_1-1)(x_2-1)|=|P-S+1|=|4-\alpha|=4\), άρα \(\alpha=0\) ή \(8\). Μόνο \(\alpha=8\) συμφωνεί με την ύπαρξη δύο άνισων ριζών. Άρα \(\alpha^2=8\alpha\).

Για την πρώτη: \(S=2\), \(P=\sqrt2-1\).
\(A=2S/P=4(\sqrt2+1)\).
\(B=S^2-2P=6-2\sqrt2\).
\(\Gamma=\sqrt{8-4\sqrt2}\).
Οι νέες ρίζες έχουν άθροισμα \(4\), άρα \(m=4\), και γινόμενο \(P+S+1=\sqrt2+2\). Έτσι \(k\sqrt2=\sqrt2+2\Rightarrow k=1+\sqrt2\).

\(\beta^2>(|\alpha|+|\gamma|)^2\ge4|\alpha\gamma|\ge4\alpha\gamma\). Άρα \(\Delta=\beta^2-4\alpha\gamma＞0\), επομένως έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες.

Από Πυθαγόρειο \(\alpha^2+\beta^2=\gamma^2\) και \(\gamma^2-\beta^2=\alpha^2\). Η εξίσωση γίνεται \(\gamma^2x^2-2\alpha\gamma x+\alpha^2=(\gamma x-\alpha)^2=0\). Άρα διπλή ρίζα \(x=\dfrac{\alpha}{\gamma}\).

α. Για \(\lambda=1\): \(a^5-(a^5+b)+b=0\), άρα επαληθεύει πάντα.
β. Η ανισότητα, όπως είναι τυπωμένη, δεν ισχύει γενικά. Για \(a=\frac12\), \(b=\frac7{32}\), το αριστερό μέλος είναι \(-\frac3{64}＜0\).

Θέτουμε \(A=\alpha^2+\gamma^2\). Για \(x=1\): \((\beta^2-A)-(\beta^2+2A)+3A=0\), άρα το \(1\) είναι ρίζα.
Το \(0\) είναι ρίζα όταν \(3A=0\Rightarrow\alpha=\gamma=0\).
Τέλος \((\beta^2+2A)^2-12A(\beta^2-A)=(\beta^2-4A)^2\ge0\), άρα η ανισότητα ισχύει.

Για \(x=1\) το αριστερό μέλος είναι \(a+b-c-a-b+c=0\), άρα \(1\) είναι ρίζα. Το γινόμενο των ριζών είναι \(c/(a+b-c)\), οπότε η άλλη ρίζα είναι \(\rho=\dfrac{c}{a+b-c}\).

Πεδίο: \(D_f=\mathbb R\setminus\{\frac32\}\).
Ο αριθμητής είναι \((2x-3)(2x-\alpha)\), άρα \(f(x)=2x-\alpha\) για \(x\ne\frac32\).
Από \(f(1)=-1\): \(2-\alpha=-1\Rightarrow\alpha=3\). Τότε \(f(x)=2x-3\), αλλά \(x=\frac32\) εξαιρείται. Άρα δεν υπάρχει τομή με τον \(x'x\), ενώ με τον \(y'y\) έχουμε \((0,-3)\).

Με ακέραιους συντελεστές, μαζί με \(1+\sqrt2\) είναι ρίζα και η συζυγής \(1-\sqrt2\). Άρα άθροισμα \(2=\alpha\) και γινόμενο \(-1=-\beta\), οπότε \(\alpha=2,\beta=1\). Η άλλη ρίζα είναι \(1-\sqrt2\).

Επειδή \(f(1)=1+\alpha+\beta\), η υπόθεση γίνεται \(|1+\beta|＜|\alpha|\). Άρα \(\alpha^2>(\beta+1)^2\). Όμως \((\beta+1)^2-4\beta=(\beta-1)^2\ge0\), άρα \(\alpha^2＞4\beta\).

\(\kappa+\lambda=5-2\sqrt2\).
\(\kappa\lambda=(2-\sqrt2)(3-\sqrt2)=8-5\sqrt2\).
Άρα η εξίσωση έχει ακριβώς τις ρίζες \(\kappa,\lambda\): \(x=2-\sqrt2\) ή \(x=3-\sqrt2\).

Το μικρό τετράγωνο έχει πλευρά \(x\) και το μεγάλο \(3-x\). Άρα \(E=x^2+(3-x)^2=2x^2-6x+9\).
Συμπληρώνουμε τετράγωνο: \(E=2\left(x-\dfrac32\right)^2+\dfrac92\ge\dfrac92\).
Η ελάχιστη τιμή \(\dfrac92\) λαμβάνεται όταν \(x=\dfrac32\), δηλαδή όταν το \(M\) είναι το μέσο της διαγωνίου.