05_Εφαρμογές Παραγώγων
1
Να εξετάσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση \(f(x)=x+1\).
Υπολογίζουμε την παράγωγο:
\[
f'(x)=1
\]
Επειδή:
\[
f'(x)>0
\]
για κάθε \(x\in\mathbb{R}\), η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο \(\mathbb{R}\).
2
Να εξετάσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση \(f(x)=x^3+3x\).
Παραγωγίζουμε:
\[
f'(x)=3x^2+3
\]
Έχουμε:
\[
3x^2+3>0
\]
για κάθε \(x\in\mathbb{R}\).
Άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο \(\mathbb{R}\).
3
Να εξετάσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση \(f(x)=\frac{1}{x}-x\).
Πεδίο ορισμού:
\[
D_f=\mathbb{R}^*
\]
Παραγωγίζουμε:
\[
f'(x)=-\frac{1}{x^2}-1
\]
Επειδή:
\[
f'(x)<0
\]
για κάθε \(x\neq0\), η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα:
\[
(-\infty,0)
\]
και
\[
(0,+\infty)
\]
4
Να εξετάσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση \(f(x)=\sqrt{1-x^2}\).
Έχουμε:
\[
1-x^2\ge0
\]
οπότε:
\[
D_f=[-1,1]
\]
Παραγωγίζουμε:
\[
f'(x)=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}
\]
Για:
\[
x\in(-1,0)
\]
ισχύει:
\[
f'(x)>0
\]
άρα η \(f\) είναι γνησίως αύξουσα.
Για:
\[
x\in(0,1)
\]
ισχύει:
\[
f'(x)<0
\]
άρα η \(f\) είναι γνησίως φθίνουσα.
5
Να εξετάσετε αν η συνάρτηση \(f(x)=2x-1\) παρουσιάζει ακρότατα.
Παραγωγίζουμε:
\[
f'(x)=2
\]
Επειδή:
\[
f'(x)>0
\]
για κάθε \(x\in\mathbb{R}\), η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.
Επομένως δεν παρουσιάζει ούτε τοπικά ούτε ολικά ακρότατα.
6
Να μελετηθεί ως προς τα ακρότατα η συνάρτηση \(f(x)=x^{100}-100x\).
Παραγωγίζουμε:
\[
f'(x)=100x^{99}-100
\]
\[
f'(x)=100(x^{99}-1)
\]
Λύνουμε:
\[
f'(x)=0
\]
\[
x^{99}=1
\]
\[
x=1
\]
Για \(x<1\) ισχύει \(f'(x)<0\).
Για \(x>1\) ισχύει \(f'(x)>0\).
Άρα η συνάρτηση παρουσιάζει ελάχιστο στο \(x=1\).
Η τιμή του είναι:
\[
f(1)=1-100=-99
\]
Το ελάχιστο αυτό είναι και ολικό.
7
Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και να βρεθεί το ελάχιστο της συνάρτησης \(f(x)=\sqrt{x^2-2x+10}\).
Παραγωγίζουμε:
\[
f'(x)=\frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+10}}
\]
Λύνουμε:
\[
f'(x)=0
\]
\[
x=1
\]
Για \(x<1\) ισχύει:
\[
f'(x)<0
\]
οπότε η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα.
Για \(x>1\) ισχύει:
\[
f'(x)>0
\]
οπότε η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.
Άρα παρουσιάζει ελάχιστο στο \(x=1\).
\[
f(1)=\sqrt{1-2+10}
\]
\[
f(1)=\sqrt9=3
\]
8
Το άθροισμα δύο αριθμών είναι 40. Να βρεθεί η μέγιστη δυνατή τιμή του γινομένου τους.
Έστω οι αριθμοί \(x\) και \(y\).
Έχουμε:
\[
x+y=40
\]
άρα:
\[
y=40-x
\]
Το γινόμενο είναι:
\[
G(x)=x(40-x)
\]
\[
G(x)=40x-x^2
\]
Παραγωγίζουμε:
\[
G'(x)=40-2x
\]
Θέτουμε:
\[
G'(x)=0
\]
\[
40-2x=0
\]
\[
x=20
\]
Τότε:
\[
y=20
\]
και:
\[
G(20)=20\cdot20=400
\]
Η μέγιστη τιμή του γινομένου είναι \(400\).
9
Δίνεται η συνάρτηση \(f(x)=x^3-6x^2+\alpha x-7\). Αν ισχύει \(2f''(x)+f'(x)+15=3x^2\), να βρείτε την παράμετρο \(\alpha\).
Υπολογίζουμε:
\[
f'(x)=3x^2-12x+\alpha
\]
και:
\[
f''(x)=6x-12
\]
Αντικαθιστούμε:
\[
2(6x-12)+(3x^2-12x+\alpha)+15=3x^2
\]
\[
12x-24+3x^2-12x+\alpha+15=3x^2
\]
\[
3x^2+\alpha-9=3x^2
\]
Άρα:
\[
\alpha-9=0
\]
και τελικά:
\[
\alpha=9
\]
10
Έστω η συνάρτηση \(f(x)=x^6-6\alpha x+5\beta\). Η εφαπτομένη της γραφικής της παράστασης στο σημείο \(M(1,0)\) είναι ο άξονας \(x'x\). Να βρείτε τις τιμές των \(\alpha,\beta\).
Εφόσον το σημείο \(M(1,0)\) ανήκει στη γραφική παράσταση:
\[
f(1)=0
\]
άρα:
\[
1-6\alpha+5\beta=0
\]
Παραγωγίζουμε:
\[
f'(x)=6x^5-6\alpha
\]
Επειδή η εφαπτομένη είναι ο άξονας \(x'x\), ισχύει:
\[
f'(1)=0
\]
οπότε:
\[
6-6\alpha=0
\]
\[
\alpha=1
\]
Αντικαθιστούμε στην πρώτη εξίσωση:
\[
1-6+5\beta=0
\]
\[
5\beta=5
\]
\[
\beta=1
\]
Άρα:
\[
f(x)=x^6-6x+5
\]
Τέλος