04_Παράγωγος συνάρτηση
1
Ποια είναι η απαραίτητη συνθήκη ώστε μια διαδικασία αντιστοίχισης \(f\) από ένα σύνολο \(A\) σε ένα σύνολο \(B\) να ονομάζεται συνάρτηση;
Για να αποτελεί μια διαδικασία αντιστοίχισης συνάρτηση, πρέπει κάθε στοιχείο \(x\) του συνόλου \(A\) να αντιστοιχίζεται σε μία και μόνο μία τιμή \(y\) του συνόλου \(B\).
Αν κάποιο στοιχείο δεν αντιστοιχίζεται σε καμία τιμή ή αντιστοιχίζεται σε περισσότερες από μία τιμές, τότε η διαδικασία δεν είναι συνάρτηση.
Αν κάποιο στοιχείο δεν αντιστοιχίζεται σε καμία τιμή ή αντιστοιχίζεται σε περισσότερες από μία τιμές, τότε η διαδικασία δεν είναι συνάρτηση.
2
Όταν μια συνάρτηση δίνεται μόνο από τον τύπο της, πώς ορίζεται συμβατικά το πεδίο ορισμού της;
Το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών για τους οποίους ο τύπος της συνάρτησης έχει νόημα.
Αποκλείουμε τιμές που οδηγούν σε απαγορευμένες πράξεις, όπως:
διαίρεση με το μηδέν,
τετραγωνική ρίζα αρνητικού αριθμού,
λογάριθμο μη θετικού αριθμού.
Αποκλείουμε τιμές που οδηγούν σε απαγορευμένες πράξεις, όπως:
διαίρεση με το μηδέν,
τετραγωνική ρίζα αρνητικού αριθμού,
λογάριθμο μη θετικού αριθμού.
3
Τι ονομάζουμε σύνολο τιμών μιας συνάρτησης;
Σύνολο τιμών μιας συνάρτησης είναι το σύνολο όλων των τιμών \(y=f(x)\) που παίρνει η συνάρτηση όταν το \(x\) διατρέχει όλο το πεδίο ορισμού της.
Γεωμετρικά είναι το σύνολο των τεταγμένων όλων των σημείων της γραφικής της παράστασης.
Γεωμετρικά είναι το σύνολο των τεταγμένων όλων των σημείων της γραφικής της παράστασης.
4
Πότε δύο συναρτήσεις θεωρούνται ίσες;
Δύο συναρτήσεις θεωρούνται ίσες όταν:
έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού
και για κάθε στοιχείο του πεδίου αυτού ισχύει:
\( f(x)=g(x) \)
Αν έχουν διαφορετικό πεδίο ορισμού, δεν θεωρούνται ίσες.
έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού
και για κάθε στοιχείο του πεδίου αυτού ισχύει:
\( f(x)=g(x) \)
Αν έχουν διαφορετικό πεδίο ορισμού, δεν θεωρούνται ίσες.
5
Πότε η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης δεν τέμνει τον άξονα \(y'y\);
Η γραφική παράσταση δεν τέμνει τον άξονα \(y'y\) όταν το \(0\) δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης.
Διότι το σημείο τομής με τον άξονα \(y'y\) αντιστοιχεί στην τιμή \(x=0\).
Διότι το σημείο τομής με τον άξονα \(y'y\) αντιστοιχεί στην τιμή \(x=0\).
Σωστό - Λάθος
1
Αν οι συναρτήσεις \(f\) και \(g\) είναι παραγωγίσιμες, τότε
\[
(fg)'=f'g+fg'.
\]
Λάθος.
Ο σωστός κανόνας παραγώγισης γινομένου είναι \[ (fg)'=f'g+fg'. \] Στην πρόταση του βιβλίου η σχέση δεν δίνεται σωστά, επομένως είναι λανθασμένη.
Ο σωστός κανόνας παραγώγισης γινομένου είναι \[ (fg)'=f'g+fg'. \] Στην πρόταση του βιβλίου η σχέση δεν δίνεται σωστά, επομένως είναι λανθασμένη.
2
Αν οι συναρτήσεις \(f\) και \(g\) είναι παραγωγίσιμες, τότε
\[
\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g+fg'}{g},
\]
με \(g(x)\neq0\).
Λάθος.
Ο σωστός κανόνας παραγώγισης πηλίκου είναι \[ \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g-fg'}{g^2}, \] με \(g(x)\neq0\). Επομένως η δοσμένη σχέση είναι λανθασμένη.
Ο σωστός κανόνας παραγώγισης πηλίκου είναι \[ \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g-fg'}{g^2}, \] με \(g(x)\neq0\). Επομένως η δοσμένη σχέση είναι λανθασμένη.
3
Ισχύει ότι
\[
(x)'=1.
\]
Λάθος.
Η παράγωγος της ταυτοτικής συνάρτησης είναι \[ (x)'=1. \] Η πρόταση του βιβλίου είναι λανθασμένη, επειδή δεν αποδίδει σωστά την παράγωγο της συνάρτησης.
Η παράγωγος της ταυτοτικής συνάρτησης είναι \[ (x)'=1. \] Η πρόταση του βιβλίου είναι λανθασμένη, επειδή δεν αποδίδει σωστά την παράγωγο της συνάρτησης.
4
Αν \(f(x)=x\), τότε \(f'(0)=0\).
Λάθος.
Έχουμε \[ f(x)=x \] οπότε \[ f'(x)=1 \] για κάθε \(x\). Άρα \[ f'(0)=1\neq0. \] Επομένως η πρόταση είναι λανθασμένη.
Έχουμε \[ f(x)=x \] οπότε \[ f'(x)=1 \] για κάθε \(x\). Άρα \[ f'(0)=1\neq0. \] Επομένως η πρόταση είναι λανθασμένη.
5
Ισχύει ότι
\[
(f(g(x)))'=f'(g(x))\,g(x).
\]
Λάθος.
Ο σωστός κανόνας της αλυσίδας είναι \[ (f(g(x)))' = f'(g(x))\cdot g'(x). \] Στη δοσμένη σχέση λείπει η παράγωγος \(g'(x)\). Άρα η πρόταση είναι λανθασμένη.
Ο σωστός κανόνας της αλυσίδας είναι \[ (f(g(x)))' = f'(g(x))\cdot g'(x). \] Στη δοσμένη σχέση λείπει η παράγωγος \(g'(x)\). Άρα η πρόταση είναι λανθασμένη.
6
Η δεύτερη παράγωγος \(f''(x_0)\) ισούται με
\[
\lim_{h\to0}\frac{f''(x_0+h)-f''(x_0)}{h}.
\]
Λάθος.
Η δεύτερη παράγωγος ορίζεται ως η παράγωγος της πρώτης παραγώγου. Δηλαδή \[ f''(x_0) = \lim_{h\to0} \frac{f'(x_0+h)-f'(x_0)}{h}, \] εφόσον το όριο υπάρχει. Στη δοσμένη σχέση χρησιμοποιείται η δεύτερη παράγωγος αντί της πρώτης, επομένως η πρόταση είναι λανθασμένη.
Η δεύτερη παράγωγος ορίζεται ως η παράγωγος της πρώτης παραγώγου. Δηλαδή \[ f''(x_0) = \lim_{h\to0} \frac{f'(x_0+h)-f'(x_0)}{h}, \] εφόσον το όριο υπάρχει. Στη δοσμένη σχέση χρησιμοποιείται η δεύτερη παράγωγος αντί της πρώτης, επομένως η πρόταση είναι λανθασμένη.
7
Η παράγωγος της συνάρτησης \(f(x)=e^2\) είναι
\[
f'(x)=e.
\]
Λάθος.
Η ποσότητα \(e^2\) είναι σταθερός αριθμός. Η παράγωγος κάθε σταθερής συνάρτησης είναι ίση με μηδέν. Άρα \[ f'(x)=0. \] Επομένως η πρόταση είναι λανθασμένη.
Η ποσότητα \(e^2\) είναι σταθερός αριθμός. Η παράγωγος κάθε σταθερής συνάρτησης είναι ίση με μηδέν. Άρα \[ f'(x)=0. \] Επομένως η πρόταση είναι λανθασμένη.
8
Η παράγωγος της συνάρτησης \(f(x)=\etaμ^2x\) είναι
\[
f'(x)=2\etaμ x\,\sigmaυν x.
\]
Σωστό.
Θέτουμε \[ f(x)=(\etaμ x)^2. \] Με τον κανόνα της αλυσίδας έχουμε \[ f'(x) = 2\etaμ x\cdot(\etaμ x)'. \] Επειδή \[ (\etaμ x)'=\sigmaυν x, \] προκύπτει \[ f'(x)=2\etaμ x\,\sigmaυν x. \] Άρα η πρόταση είναι σωστή.
Θέτουμε \[ f(x)=(\etaμ x)^2. \] Με τον κανόνα της αλυσίδας έχουμε \[ f'(x) = 2\etaμ x\cdot(\etaμ x)'. \] Επειδή \[ (\etaμ x)'=\sigmaυν x, \] προκύπτει \[ f'(x)=2\etaμ x\,\sigmaυν x. \] Άρα η πρόταση είναι σωστή.
9
Έστω οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις \(f,g\) και \(h(x)=f(g(x))\). Αν \(g(1)=1\), \(g'(1)=1\) και \(f'(1)=1\), τότε \(h'(1)=1\).
Σωστό.
Από τον κανόνα της αλυσίδας, \[ h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x). \] Για \(x=1\), \[ h'(1) = f'(g(1))\cdot g'(1) = f'(1)\cdot1 = 1. \] Άρα η πρόταση είναι σωστή.
Από τον κανόνα της αλυσίδας, \[ h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x). \] Για \(x=1\), \[ h'(1) = f'(g(1))\cdot g'(1) = f'(1)\cdot1 = 1. \] Άρα η πρόταση είναι σωστή.
10
Αν για μια πολυωνυμική συνάρτηση ισχύει \(f(0)=0\), τότε και \(f'(0)=0\).
Λάθος.
Το ότι \(f(0)=0\) σημαίνει μόνο ότι το \(0\) είναι ρίζα της συνάρτησης. Δεν συνεπάγεται ότι η παράγωγος στο σημείο αυτό είναι μηδέν. Για παράδειγμα, για τη συνάρτηση \[ f(x)=x \] ισχύει \[ f(0)=0, \] αλλά \[ f'(0)=1. \] Επομένως η πρόταση είναι λανθασμένη.
Το ότι \(f(0)=0\) σημαίνει μόνο ότι το \(0\) είναι ρίζα της συνάρτησης. Δεν συνεπάγεται ότι η παράγωγος στο σημείο αυτό είναι μηδέν. Για παράδειγμα, για τη συνάρτηση \[ f(x)=x \] ισχύει \[ f(0)=0, \] αλλά \[ f'(0)=1. \] Επομένως η πρόταση είναι λανθασμένη.
11
Η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης \(f(x)=5\) είναι ίση με \(0\).
Σωστό.
Η παράγωγος κάθε σταθερής συνάρτησης είναι μηδέν.
Η παράγωγος κάθε σταθερής συνάρτησης είναι μηδέν.
12
Η παράγωγος της συνάρτησης \(f(x)=x^3\) είναι \(3x^2\).
Σωστό.
Με τον κανόνα παραγώγισης δυνάμεων ισχύει \((x^\nu)'=\nu x^{\nu-1}\).
Με τον κανόνα παραγώγισης δυνάμεων ισχύει \((x^\nu)'=\nu x^{\nu-1}\).
13
Η παράγωγος της συνάρτησης \(f(x)=συν x\) είναι \(ημx\).
Λάθος.
Ισχύει \((συν x)'=-ημx\).
Ισχύει \((συν x)'=-ημx\).
4
Αν η συνάρτηση \(f\) είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο ενός διαστήματος, τότε ορίζεται σε όλα τα σημεία του διαστήματος αυτού.
Σωστό.
Για να είναι παραγωγίσιμη μια συνάρτηση σε ένα σημείο, πρέπει πρώτα να είναι ορισμένη στο σημείο αυτό.
Για να είναι παραγωγίσιμη μια συνάρτηση σε ένα σημείο, πρέπει πρώτα να είναι ορισμένη στο σημείο αυτό.
15
Η παράγωγος συνάρτηση \(f'\), όταν υπάρχει, αντιστοιχίζει σε κάθε \(x\) τον παράγωγο αριθμό \(f'(x)\).
Σωστό.
Η παράγωγος συνάρτηση έχει ως τιμή σε κάθε σημείο τον παράγωγο αριθμό της αρχικής συνάρτησης στο σημείο αυτό.
Η παράγωγος συνάρτηση έχει ως τιμή σε κάθε σημείο τον παράγωγο αριθμό της αρχικής συνάρτησης στο σημείο αυτό.
Θέματα
1
Να υπολογίσετε την παράγωγο της πολυωνυμικής συνάρτησης:
\[
f(x)=x^4-2x^3+5x-7
\]
Παραγωγίζουμε κάθε όρο χωριστά:
\[
(x^4)'=4x^3
\]
\[
(-2x^3)'=-6x^2
\]
\[
(5x)'=5
\]
\[
(-7)'=0
\]
Άρα:
\[
f'(x)=4x^3-6x^2+5
\]
2
Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης:
\[
f(x)=ημx-3
\]
Παραγωγίζουμε κάθε όρο:
\[
(ημx)'=συν x
\]
και:
\[
(-3)'=0
\]
Άρα:
\[
f'(x)=συν x
\]
3
Να παραγωγίσετε τη συνάρτηση:
\[
f(x)=x\ln x
\]
για \(x>0\).
Χρησιμοποιούμε τον κανόνα γινομένου:
\[
(fg)'=f'g+fg'
\]
Έχουμε:
\[
(x)'=1
\]
και:
\[
(\ln x)'=\frac1x
\]
Άρα:
\[
f'(x)=1\cdot\ln x+x\cdot\frac1x
\]
\[
f'(x)=\ln x+1
\]
4
Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης:
\[
f(x)=\frac{x^2}{x-1}
\]
για \(x\ne1\).
Χρησιμοποιούμε τον κανόνα πηλίκου:
\[
\left(\frac{f}{g}\right)'
=
\frac{f'g-fg'}{g^2}
\]
Έχουμε:
\[
f(x)=x^2
\]
και:
\[
g(x)=x-1
\]
Άρα:
\[
f'(x)=2x
\]
και:
\[
g'(x)=1
\]
Επομένως:
\[
f'(x)=
\frac{2x(x-1)-x^2\cdot1}{(x-1)^2}
\]
\[
=
\frac{2x^2-2x-x^2}{(x-1)^2}
\]
\[
=
\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}
\]
5
Να υπολογίσετε την παράγωγο της σύνθετης συνάρτησης:
\[
f(x)=ημ(2x)
\]
Χρησιμοποιούμε τον κανόνα σύνθετης συνάρτησης:
\[
(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)
\]
Έχουμε:
\[
(ημu)'=συν u
\]
όπου:
\[
u=2x
\]
και:
\[
u'=2
\]
Άρα:
\[
f'(x)=συν(2x)\cdot2
\]
δηλαδή:
\[
f'(x)=2συν(2x)
\]
6
Να υπολογίσετε την παράγωγο της συνάρτησης:
\[
f(x)=\sqrt{2x+1}
\]
για \(x>-\frac12\).
Γράφουμε:
\[
f(x)=(2x+1)^{\frac12}
\]
Χρησιμοποιούμε τον κανόνα σύνθετης συνάρτησης:
\[
f'(x)=
\frac12(2x+1)^{-\frac12}\cdot(2x+1)'
\]
Επειδή:
\[
(2x+1)'=2
\]
έχουμε:
\[
f'(x)=
\frac12(2x+1)^{-\frac12}\cdot2
\]
Άρα:
\[
f'(x)=
(2x+1)^{-\frac12}
\]
δηλαδή:
\[
f'(x)=
\frac1{\sqrt{2x+1}}
\]
7
Να βρείτε τη δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης:
\[
f(x)=ημx
\]
Υπολογίζουμε πρώτα την πρώτη παράγωγο:
\[
f'(x)=συν x
\]
Παραγωγίζουμε ξανά:
\[
f''(x)=(συν x)'
\]
Άρα:
\[
f''(x)=-ημx
\]
8
Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της συνάρτησης:
\[
f(x)=x^2
\]
στο σημείο:
\[
M(1,f(1))
\]
Υπολογίζουμε:
\[
f(1)=1^2=1
\]
Άρα το σημείο επαφής είναι:
\[
M(1,1)
\]
Η παράγωγος είναι:
\[
f'(x)=2x
\]
οπότε:
\[
f'(1)=2
\]
Η εξίσωση της εφαπτομένης είναι:
\[
y-f(1)=f'(1)(x-1)
\]
Άρα:
\[
y-1=2(x-1)
\]
\[
y-1=2x-2
\]
\[
y=2x-1
\]
9
Να βρείτε την εφαπτομένη της συνάρτησης:
\[
f(x)=x^2-3x+5
\]
στο σημείο με τετμημένη:
\[
x_0=1
\]
Υπολογίζουμε:
\[
f(1)=1^2-3\cdot1+5
\]
\[
f(1)=3
\]
Η παράγωγος είναι:
\[
f'(x)=2x-3
\]
Άρα:
\[
f'(1)=2\cdot1-3=-1
\]
Η εξίσωση της εφαπτομένης είναι:
\[
y-f(1)=f'(1)(x-1)
\]
Άρα:
\[
y-3=-1(x-1)
\]
\[
y-3=-x+1
\]
\[
y=-x+4
\]
10
Να προσδιορίσετε το σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης:
\[
f(x)=\ln x
\]
στο οποίο η εφαπτομένη διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
Έστω σημείο επαφής:
\[
M(x_0,\ln x_0)
\]
Η παράγωγος είναι:
\[
f'(x)=\frac1x
\]
Άρα η εφαπτομένη στο \(x_0\) έχει εξίσωση:
\[
y-\ln x_0=
\frac1{x_0}(x-x_0)
\]
Η εφαπτομένη περνά από το σημείο:
\[
O(0,0)
\]
Άρα θέτουμε:
\[
x=0
\]
και:
\[
y=0
\]
οπότε:
\[
0-\ln x_0=
\frac1{x_0}(0-x_0)
\]
\[
-\ln x_0=-1
\]
\[
\ln x_0=1
\]
Άρα:
\[
x_0=e
\]
Το σημείο επαφής είναι:
\[
M(e,1)
\]
Η εξίσωση της εφαπτομένης είναι:
\[
y-1=
\frac1e(x-e)
\]
δηλαδή:
\[
y=\frac{x}{e}
\]
Τέλος