02_Όρια & Συνέχεια
1
Ποια είναι η βασική προϋπόθεση για να μπορούμε να μιλάμε για το όριο μιας συνάρτησης σε ένα σημείο \(x_0\);
Για να αναζητήσουμε το όριο σε ένα σημείο \(x_0\), πρέπει να μπορούμε να το πλησιάσουμε με άπειρα σημεία του πεδίου ορισμού της συνάρτησης.
2
Για να βρούμε το όριο μιας συνάρτησης σε ένα σημείο \(x_0\), είναι υποχρεωτικό το \(x_0\) να ανήκει στο πεδίο ορισμού της;
Όχι.
Το \(x_0\) μπορεί να ανήκει ή να μην ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης.
Για παράδειγμα, μπορούμε να αναζητήσουμε το όριο της:
\[
y=\frac1{x^2}
\]
στο \(0\), παρόλο που δεν ορίζεται εκεί.
Αντίθετα, δεν μπορούμε να αναζητήσουμε το όριο της:
\[
y=\sqrt{x}
\]
στο \(-1\), επειδή δεν υπάρχουν σημεία του πεδίου ορισμού κοντά στο \(-1\).
3
Πώς υπολογίζουμε πρακτικά το όριο μιας βασικής συνάρτησης σε σημείο \(x_0\) όταν αυτό ανήκει στο πεδίο ορισμού της;
Κάνουμε απλή αντικατάσταση του \(x_0\) στον τύπο της συνάρτησης.
4
Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση \(f\) είναι συνεχής σε σημείο \(x_0\);
Η συνάρτηση \(f\) είναι συνεχής στο σημείο \(x_0\) όταν:
\[
\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)
\]
δηλαδή όταν το όριο της συνάρτησης ταυτίζεται με την τιμή της στο σημείο αυτό.
5
Τι σημαίνει ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα σύνολο \(A\);
Μια συνάρτηση είναι συνεχής στο σύνολο \(A\), όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του συνόλου αυτού.
6
Ποιες κατηγορίες συναρτήσεων γνωρίζουμε ότι είναι συνεχείς;
Όλες οι βασικές συναρτήσεις, όπως:
οι πολυωνυμικές,
οι ρητές,
και οι τριγωνομετρικές
είναι συνεχείς στα σημεία όπου ορίζονται.
Επίσης συνεχείς είναι και οι συναρτήσεις που προκύπτουν από πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων.
οι πολυωνυμικές,
οι ρητές,
και οι τριγωνομετρικές
είναι συνεχείς στα σημεία όπου ορίζονται.
Επίσης συνεχείς είναι και οι συναρτήσεις που προκύπτουν από πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων.
7
Έχει νόημα να εξετάσουμε τη συνέχεια μιας συνάρτησης σε σημείο που δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού της;
Όχι.
Η συνέχεια μελετάται μόνο σε σημεία που ανήκουν στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης.
Για παράδειγμα, δεν έχει νόημα να μελετήσουμε τη συνέχεια της:
\[
f(x)=\frac1x
\]
στο \(0\).
8
Ποιοι κανόνες ισχύουν για τα όρια όταν έχουμε πράξεις μεταξύ συναρτήσεων;
Το όριο του:
αθροίσματος,
διαφοράς,
γινόμενου,
ισούται με το άθροισμα, τη διαφορά και το γινόμενο των αντίστοιχων ορίων.
\( \displaystyle \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)} {\displaystyle \lim_{x\to x_0}g(x)} \) μόνο όταν \( \displaystyle \lim_{x\to x_0}g(x)\ne0 \)
αθροίσματος,
διαφοράς,
γινόμενου,
ισούται με το άθροισμα, τη διαφορά και το γινόμενο των αντίστοιχων ορίων.
\( \displaystyle \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)} {\displaystyle \lim_{x\to x_0}g(x)} \) μόνο όταν \( \displaystyle \lim_{x\to x_0}g(x)\ne0 \)
9
Ποια είναι η βασική τεχνική άρσης απροσδιοριστίας όταν εμφανίζονται τετραγωνικές ρίζες και προκύπτει μορφή:
\[
\frac00
\]
Πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε με τη συζυγή παράσταση της έκφρασης που περιέχει τη ρίζα.
Έτσι μπορούμε να απλοποιήσουμε την παράσταση και να αρθεί η απροσδιοριστία.
10
Τι κάνουμε όταν η απροσδιοριστία περιέχει ρίζες ανώτερης ή περιττής τάξης;
Στις ρίζες ανώτερης ή περιττής τάξης δεν χρησιμοποιούμε συζυγή παράσταση.
Αντίθετα, εφαρμόζουμε γνωστές αλγεβρικές ταυτότητες και κατάλληλες παραγοντοποιήσεις ώστε να γίνουν οι απαραίτητες απλοποιήσεις.
Σωστό - Λάθος
1
Αν \(\displaystyle \lim_{x\to0}f(x)=-1\), τότε \(\displaystyle \lim_{x\to0}[f(x)]^2=1\).
Σωστό.
Αφού \(\displaystyle \lim_{x\to0}f(x)=-1\), τότε: \[ \lim_{x\to0}[f(x)]^2= \left(\lim_{x\to0}f(x)\right)^2=(-1)^2=1. \] Άρα η πρόταση είναι σωστή.
Αφού \(\displaystyle \lim_{x\to0}f(x)=-1\), τότε: \[ \lim_{x\to0}[f(x)]^2= \left(\lim_{x\to0}f(x)\right)^2=(-1)^2=1. \] Άρα η πρόταση είναι σωστή.
2
Αν \(\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=L_1\) και \(\displaystyle\lim_{x\to x_0}g(x)=L_2\), όπου \(L_1,L_2\in\mathbb{R}\), τότε
\[
\lim_{x\to x_0}[f(x)+g(x)]=L_1+L_2.
\]
Σωστό.
Αφού υπάρχουν τα όρια \[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L_1 \] και \[ \lim_{x\to x_0}g(x)=L_2, \] ισχύει το θεώρημα του ορίου αθροίσματος, σύμφωνα με το οποίο \[ \lim_{x\to x_0}[f(x)+g(x)] = \lim_{x\to x_0}f(x) + \lim_{x\to x_0}g(x) = L_1+L_2. \] Άρα η πρόταση είναι σωστή.
Αφού υπάρχουν τα όρια \[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L_1 \] και \[ \lim_{x\to x_0}g(x)=L_2, \] ισχύει το θεώρημα του ορίου αθροίσματος, σύμφωνα με το οποίο \[ \lim_{x\to x_0}[f(x)+g(x)] = \lim_{x\to x_0}f(x) + \lim_{x\to x_0}g(x) = L_1+L_2. \] Άρα η πρόταση είναι σωστή.
3
Αν \(\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=L_1\) και \(\displaystyle\lim_{x\to x_0}g(x)=L_2\), όπου \(L_1,L_2\in\mathbb{R}\), τότε
\[
\lim_{x\to x_0}[f(x)g(x)]=L_1L_2.
\]
Σωστό.
Αφού υπάρχουν τα όρια \[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L_1 \] και \[ \lim_{x\to x_0}g(x)=L_2, \] ισχύει το θεώρημα του ορίου γινομένου, σύμφωνα με το οποίο \[ \lim_{x\to x_0}[f(x)g(x)] = \left(\lim_{x\to x_0}f(x)\right) \left(\lim_{x\to x_0}g(x)\right) = L_1L_2. \] Άρα η πρόταση είναι σωστή.
Αφού υπάρχουν τα όρια \[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L_1 \] και \[ \lim_{x\to x_0}g(x)=L_2, \] ισχύει το θεώρημα του ορίου γινομένου, σύμφωνα με το οποίο \[ \lim_{x\to x_0}[f(x)g(x)] = \left(\lim_{x\to x_0}f(x)\right) \left(\lim_{x\to x_0}g(x)\right) = L_1L_2. \] Άρα η πρόταση είναι σωστή.
4
Ισχύει ότι
\[
\lim_{x\to0}\frac{x^2}{x}=0.
\]
Σωστό.
Για κάθε \(x\neq0\), \[ \frac{x^2}{x}=x. \] Άρα \[ \lim_{x\to0}\frac{x^2}{x} = \lim_{x\to0}x = 0. \] Επομένως η πρόταση είναι σωστή.
Για κάθε \(x\neq0\), \[ \frac{x^2}{x}=x. \] Άρα \[ \lim_{x\to0}\frac{x^2}{x} = \lim_{x\to0}x = 0. \] Επομένως η πρόταση είναι σωστή.
5
Λέμε ότι η συνάρτηση \(f:A\to\mathbb{R}\) είναι συνεχής στο \(x_0\in A\), αν
\[
\lim_{x\to x_0}f(x)=x_0.
\]
Λάθος.
Μια συνάρτηση \(f\) είναι συνεχής στο σημείο \(x_0\), όταν \[ \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0). \] Δηλαδή το όριο της συνάρτησης στο \(x_0\) πρέπει να είναι ίσο με την τιμή της συνάρτησης στο ίδιο σημείο και όχι με το \(x_0\). Άρα η πρόταση είναι λανθασμένη.
Μια συνάρτηση \(f\) είναι συνεχής στο σημείο \(x_0\), όταν \[ \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0). \] Δηλαδή το όριο της συνάρτησης στο \(x_0\) πρέπει να είναι ίσο με την τιμή της συνάρτησης στο ίδιο σημείο και όχι με το \(x_0\). Άρα η πρόταση είναι λανθασμένη.
6
Αν \(f:A\to\mathbb{R}\) είναι συνεχής και \(f(0)=1\), τότε
\[
\lim_{x\to0}f(x)=1.
\]
Σωστό.
Αφού η συνάρτηση είναι συνεχής στο \(x=0\), από τον ορισμό της συνέχειας ισχύει \[ \lim_{x\to0}f(x)=f(0). \] Επειδή \[ f(0)=1, \] προκύπτει ότι \[ \lim_{x\to0}f(x)=1. \] Άρα η πρόταση είναι σωστή.
Αφού η συνάρτηση είναι συνεχής στο \(x=0\), από τον ορισμό της συνέχειας ισχύει \[ \lim_{x\to0}f(x)=f(0). \] Επειδή \[ f(0)=1, \] προκύπτει ότι \[ \lim_{x\to0}f(x)=1. \] Άρα η πρόταση είναι σωστή.
7
Οι γνωστές μας συναρτήσεις, αλλά και όσες προκύπτουν από πράξεις μεταξύ αυτών, είναι συνεχείς συναρτήσεις.
Σωστό.
Οι στοιχειώδεις συναρτήσεις είναι συνεχείς στο πεδίο ορισμού τους. Επιπλέον, το άθροισμα, η διαφορά, το γινόμενο και το πηλίκο (όταν ο παρονομαστής δεν μηδενίζεται) συνεχών συναρτήσεων είναι επίσης συνεχείς. Άρα η πρόταση είναι σωστή.
Οι στοιχειώδεις συναρτήσεις είναι συνεχείς στο πεδίο ορισμού τους. Επιπλέον, το άθροισμα, η διαφορά, το γινόμενο και το πηλίκο (όταν ο παρονομαστής δεν μηδενίζεται) συνεχών συναρτήσεων είναι επίσης συνεχείς. Άρα η πρόταση είναι σωστή.
8
Χαρακτηριστικό γνώρισμα μιας συνεχούς συνάρτησης σε ένα κλειστό διάστημα είναι ότι η γραφική της παράσταση είναι μια συνεχής καμπύλη, δηλαδή για τη σχεδίασή της δεν χρειάζεται να σηκώσουμε το μολύβι από το χαρτί.
Σωστό.
Μια συνεχής συνάρτηση δεν παρουσιάζει διακοπές, άλματα ή κενά στο διάστημα όπου είναι συνεχής. Γι' αυτό η γραφική της παράσταση μπορεί να σχεδιαστεί χωρίς να σηκώσουμε το μολύβι από το χαρτί. Άρα η πρόταση είναι σωστή.
Μια συνεχής συνάρτηση δεν παρουσιάζει διακοπές, άλματα ή κενά στο διάστημα όπου είναι συνεχής. Γι' αυτό η γραφική της παράσταση μπορεί να σχεδιαστεί χωρίς να σηκώσουμε το μολύβι από το χαρτί. Άρα η πρόταση είναι σωστή.
9
Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο \(x_0\), τότε υπάρχει το όριό της στο σημείο αυτό και ισχύει
\(\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\).
Σωστό.
Αυτός είναι ο ορισμός της συνέχειας σε ένα σημείο.
Αυτός είναι ο ορισμός της συνέχειας σε ένα σημείο.
10
Για να υπάρχει το όριο μιας συνάρτησης στο \(x_0\), είναι απαραίτητο η συνάρτηση να ορίζεται στο \(x_0\).
Λάθος.
Το σημείο \(x_0\) μπορεί να μην ανήκει στο πεδίο ορισμού, αρκεί να υπάρχουν σημεία του πεδίου ορισμού που το πλησιάζουν.
Το σημείο \(x_0\) μπορεί να μην ανήκει στο πεδίο ορισμού, αρκεί να υπάρχουν σημεία του πεδίου ορισμού που το πλησιάζουν.
11
Το όριο του πηλίκου δύο συναρτήσεων ισούται με το πηλίκο των ορίων τους μόνο όταν το όριο του παρονομαστή είναι διάφορο του μηδενός.
Σωστό.
Η ιδιότητα αυτή ισχύει μόνο όταν το όριο του παρονομαστή δεν είναι μηδέν.
Η ιδιότητα αυτή ισχύει μόνο όταν το όριο του παρονομαστή δεν είναι μηδέν.
12
Στις απροσδιοριστίες με τετραγωνικές ρίζες χρησιμοποιούμε πάντοτε παραγοντοποίηση και ποτέ συζυγή παράσταση.
Λάθος.
Στις τετραγωνικές ρίζες η βασική τεχνική είναι ο πολλαπλασιασμός με τη συζυγή παράσταση.
Στις τετραγωνικές ρίζες η βασική τεχνική είναι ο πολλαπλασιασμός με τη συζυγή παράσταση.
13
Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε κάθε σημείο ενός συνόλου \(A\), τότε είναι συνεχής στο σύνολο \(A\).
Σωστό.
Μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σύνολο όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του συνόλου αυτού.
Μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σύνολο όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του συνόλου αυτού.
Θέματα
1
Να υπολογιστεί το όριο:
\(
\displaystyle \lim_{x\to0}(x^2-3x+4)
\)
Εφόσον η συνάρτηση είναι πολυωνυμική, δεν δημιουργείται καμία απροσδιοριστία.
Κάνουμε απλή αντικατάσταση του \(0\):
\[
0^2-3\cdot0+4=4
\]
Άρα:
\[
\boxed{
\lim_{x \to 0}(x^2-3x+4)=4
}
\]
2
Να βρείτε το όριο:
\(
\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{x-1}{x^2-1}
\)
Θέτοντας \(x=1\), προκύπτει απροσδιοριστία:
\[
\frac00
\]
Αναλύουμε:
\[
x^2-1=(x-1)(x+1)
\]
Άρα:
\[
\lim_{x \to 1}
\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}
\]
Απλοποιούμε το \((x-1)\):
\[
\lim_{x \to 1}\frac1{x+1}
\]
Κάνουμε αντικατάσταση:
\[
\frac1{1+1}=\frac12
\]
Άρα:
\[
\boxed{
\lim_{x \to 1}\frac{x-1}{x^2-1}=\frac12
}
\]
3
Να υπολογίσετε το όριο:
\(
\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}
\)
Έχουμε απροσδιοριστία:
\[
\frac00
\]
Πολλαπλασιάζουμε με τη συζυγή παράσταση:
\[
(\sqrt{x}+1)
\]
Άρα:
\[
\lim_{x \to 1}
\frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}
{(x-1)(\sqrt{x}+1)}
\]
Ο αριθμητής γίνεται:
\[
x-1
\]
Οπότε:
\[
\lim_{x \to 1}
\frac{x-1}
{(x-1)(\sqrt{x}+1)}
\]
Απλοποιούμε:
\[
\lim_{x \to 1}\frac1{\sqrt{x}+1}
\]
Και τελικά:
\[
\frac1{\sqrt1+1}=\frac12
\]
Άρα:
\[
\boxed{
\lim_{x \to 1}\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}=\frac12
}
\]
4
Να βρείτε το όριο:
\(
\displaystyle \lim_{x\to1}
\frac{\sqrt{x+8}-3}{x-1}
\)
Με αντικατάσταση \(x=1\) προκύπτει:
\(
\frac00
\)
Άρα έχουμε απροσδιοριστία και πρέπει να τη λύσουμε αλγεβρικά.
Η ρίζα βρίσκεται στον αριθμητή, οπότε πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή με τη συζυγή παράσταση του αριθμητή, δηλαδή με: \( \sqrt{x+8}+3 \) Έχουμε: \( \displaystyle \lim_{x\to1} \frac{\sqrt{x+8}-3}{x-1} = \lim_{x\to1} \frac{(\sqrt{x+8}-3)(\sqrt{x+8}+3)} {(x-1)(\sqrt{x+8}+3)} \) Στον αριθμητή χρησιμοποιούμε την ταυτότητα: \( (a-b)(a+b)=a^2-b^2 \) Άρα: \( (\sqrt{x+8}-3)(\sqrt{x+8}+3) = (\sqrt{x+8})^2-3^2 = x+8-9 = x-1 \) Επομένως: \( \displaystyle \lim_{x\to1} \frac{(\sqrt{x+8}-3)(\sqrt{x+8}+3)} {(x-1)(\sqrt{x+8}+3)} = \lim_{x\to1} \frac{x-1} {(x-1)(\sqrt{x+8}+3)} \) Επειδή \(x\to1\), έχουμε \(x\ne1\), οπότε μπορούμε να απλοποιήσουμε τον κοινό παράγοντα \(x-1\): \( \displaystyle \lim_{x\to1} \frac{x-1} {(x-1)(\sqrt{x+8}+3)} = \lim_{x\to1} \frac1{\sqrt{x+8}+3} \) Τώρα κάνουμε αντικατάσταση \(x=1\): \( \frac1{\sqrt{1+8}+3} = \frac1{\sqrt9+3} = \frac1{3+3} = \frac16 \) Άρα: \( \boxed{ \displaystyle \lim_{x\to1} \frac{\sqrt{x+8}-3}{x-1} = \frac16 } \)
Η ρίζα βρίσκεται στον αριθμητή, οπότε πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή με τη συζυγή παράσταση του αριθμητή, δηλαδή με: \( \sqrt{x+8}+3 \) Έχουμε: \( \displaystyle \lim_{x\to1} \frac{\sqrt{x+8}-3}{x-1} = \lim_{x\to1} \frac{(\sqrt{x+8}-3)(\sqrt{x+8}+3)} {(x-1)(\sqrt{x+8}+3)} \) Στον αριθμητή χρησιμοποιούμε την ταυτότητα: \( (a-b)(a+b)=a^2-b^2 \) Άρα: \( (\sqrt{x+8}-3)(\sqrt{x+8}+3) = (\sqrt{x+8})^2-3^2 = x+8-9 = x-1 \) Επομένως: \( \displaystyle \lim_{x\to1} \frac{(\sqrt{x+8}-3)(\sqrt{x+8}+3)} {(x-1)(\sqrt{x+8}+3)} = \lim_{x\to1} \frac{x-1} {(x-1)(\sqrt{x+8}+3)} \) Επειδή \(x\to1\), έχουμε \(x\ne1\), οπότε μπορούμε να απλοποιήσουμε τον κοινό παράγοντα \(x-1\): \( \displaystyle \lim_{x\to1} \frac{x-1} {(x-1)(\sqrt{x+8}+3)} = \lim_{x\to1} \frac1{\sqrt{x+8}+3} \) Τώρα κάνουμε αντικατάσταση \(x=1\): \( \frac1{\sqrt{1+8}+3} = \frac1{\sqrt9+3} = \frac1{3+3} = \frac16 \) Άρα: \( \boxed{ \displaystyle \lim_{x\to1} \frac{\sqrt{x+8}-3}{x-1} = \frac16 } \)
5
Δίνεται ότι η συνάρτηση \(f\) είναι συνεχής στο \(x=2\)
και ότι \(f(2)=5\)
Να υπολογίσετε το όριο: \( \displaystyle \lim_{x\to2} \frac{(x+1)f(x)+x}{x+1} \)
και ότι \(f(2)=5\)
Να υπολογίσετε το όριο: \( \displaystyle \lim_{x\to2} \frac{(x+1)f(x)+x}{x+1} \)
Αφού η συνάρτηση \(f\) είναι συνεχής στο \(x=2\), ισχύει:
\(
\displaystyle \lim_{x\to2}f(x)=f(2)=5
\)
Επίσης:
\(
\displaystyle \lim_{x\to2}\frac{x}{x+1}
=
\frac{2}{2+1}
=
\frac23
\)
Άρα:
\(
\displaystyle \lim_{x\to2}\left(f(x)+\frac{x}{x+1}\right)
=
5+\frac23
=
\frac{15}{3}+\frac23
=
\frac{17}{3}
\)
Επομένως:
\(
\boxed{
\displaystyle \lim_{x\to2}\left(f(x)+\frac{x}{x+1}\right)
=
\frac{17}{3}
}
\)
6
Δίνεται η συνάρτηση:
\(
f(x)=
\begin{cases}
\sqrt{x^2+1}, & x\ne0\\
1, & x=0
\end{cases}
\)
Είναι συνεχής στο \(0\);
Είναι συνεχής στο \(0\);
Υπολογίζουμε το όριο:
\(
\displaystyle \lim_{x\to0}\sqrt{x^2+1}
=
\sqrt{0^2+1}
=
1
\)
Επίσης:
\(
f(0)=1
\)
Άρα:
\(
\displaystyle \lim_{x\to0}f(x)=f(0)
\)
Επομένως η συνάρτηση είναι συνεχής στο \(x=0\).
\(
\boxed{\text{Η συνάρτηση είναι συνεχής στο }0}
\)
7
Έστω:
\(
f(x)=
\begin{cases}
\dfrac{x^3-1}{x-1}, & x\ne1\\
1, & x=1
\end{cases}
\)
Είναι συνεχής στο \(1\);
Είναι συνεχής στο \(1\);
Υπολογίζουμε το όριο:
\(
\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{x^3-1}{x-1}
\)
Παραγοντοποιούμε:
\(
x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)
\)
Άρα:
\(
\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1}
=
\displaystyle \lim_{x\to1}(x^2+x+1)
\)
Κάνοντας αντικατάσταση \(x=1\):
\(
1^2+1+1=3
\)
Επομένως:
\(
\displaystyle \lim_{x\to1}f(x)=3
\)
Ενώ:
\(
f(1)=1
\)
Άρα:
\(
\displaystyle \lim_{x\to1}f(x)\ne f(1)
\)
Επομένως η συνάρτηση είναι ασυνεχής στο \(1\).
8
Αν οι συναρτήσεις \(f,g\) είναι συνεχείς στο \(\mathbb R\)
με: \[ f(0)=g(0)=1 \] να βρεθεί το όριο: \[ L= \displaystyle \lim_{x\to0} \frac{f(x)-g(x)} {f(x)+g(x)+1} \]
με: \[ f(0)=g(0)=1 \] να βρεθεί το όριο: \[ L= \displaystyle \lim_{x\to0} \frac{f(x)-g(x)} {f(x)+g(x)+1} \]
Λόγω συνέχειας:
\[
\displaystyle \lim_{x\to0}f(x)=f(0)
\]
και
\[
\displaystyle \lim_{x\to0}g(x)=g(0)
\]
Άρα:
\[
L=
\frac{f(0)-g(0)}
{f(0)+g(0)+1}
\]
Επειδή:
\[
f(0)=g(0)=1
\]
έχουμε:
\[
L=
\frac{1-1}
{1+1+1}
=
\frac{0}{3}
=
0
\]
Άρα:
\[
\boxed{L=0}
\]
9
Αν η \(f\) είναι συνεχής στο \(\mathbb R\)
και ισχύει \( \displaystyle \lim_{x\to0} \frac{f^2(x)-2f(x)+1}{x-1} =-1 \)
Να βρείτε το \(f(0)\)
και ισχύει \( \displaystyle \lim_{x\to0} \frac{f^2(x)-2f(x)+1}{x-1} =-1 \)
Να βρείτε το \(f(0)\)
Παρατηρούμε ότι:
\[
f^2(x)-2f(x)+1
=
(f(x)-1)^2
\]
Άρα:
\[
\displaystyle \lim_{x\to0}
\frac{(f(x)-1)^2}
{x-1}
=-1
\]
Επειδή η \(f\) είναι συνεχής στο \(0\) και:
\[
\lim_{x\to0}(x-1)=-1\neq0,
\]
μπορούμε να περάσουμε στο όριο:
\[
\frac{(f(0)-1)^2}
{0-1}
=-1
\]
δηλαδή:
\[
-\,(f(0)-1)^2=-1
\]
Άρα:
\[
(f(0)-1)^2=1
\]
οπότε:
\[
f(0)-1=\pm1
\]
και επομένως:
\[
f(0)=0
\]
ή
\[
f(0)=2
\]
Άρα:
\[
\boxed{f(0)=0 \ \text{ή}\ f(0)=2}
\]
10
Αν για τη συνεχή στο 0 συνάρτηση \(f\)
ισχύει: \( \displaystyle \lim_{x\to0} \frac{x\,f(x)} {1-\sqrt{x+1}} =1 \) να βρείτε το \(f(0)\).
ισχύει: \( \displaystyle \lim_{x\to0} \frac{x\,f(x)} {1-\sqrt{x+1}} =1 \) να βρείτε το \(f(0)\).
Πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή με τη συζυγή παράσταση:
\[
1+\sqrt{x+1}
\]
Έτσι:
\[
\displaystyle \lim_{x\to0}
\frac{x\,f(x)(1+\sqrt{x+1})}
{(1-\sqrt{x+1})(1+\sqrt{x+1})}
=1
\]
Ο παρονομαστής γίνεται:
\[
1-(x+1)=-x
\]
Άρα:
\[
\displaystyle \lim_{x\to0}
\frac{x\,f(x)(1+\sqrt{x+1})}
{-x}
=1
\]
Απλοποιούμε το \(x\):
\[
\displaystyle \lim_{x\to0}
\big(-f(x)(1+\sqrt{x+1})\big)
=1
\]
Λόγω συνέχειας της \(f\):
\[
-f(0)(1+\sqrt1)=1
\]
\[
-2f(0)=1
\]
Άρα:
\[
\boxed{f(0)=-\frac12}
\]
Τέλος