Σωστό – Λάθος
Θεωρία
Ο άξονας \(y'y\) αποτελείται από τα σημεία της μορφής \((0,y)\).
Αν \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \), τότε το \(0\in\mathbb{R}\), άρα υπάρχει η τιμή \(f(0)\).
Επομένως το σημείο \((0,f(0))\) ανήκει στη γραφική παράσταση.
Συμπέρασμα
Η καμπύλη τέμνει τον άξονα \(y'y\).
Αν υπάρχει \(x_0\) ώστε \(f(x_0)=0\), τότε το σημείο \((x_0,0)\) ανήκει στη γραφική παράσταση.
Όλα τα σημεία με τεταγμένη 0 ανήκουν στον άξονα \(x'x\).
Άρα η \(C_f\) τέμνει τον άξονα \(x'x\).
Ισχύει ο κανόνας:
\( \displaystyle \lim (f(x))^2= \left(\lim f(x)\right)^2 \)
Άρα:
\( (-1)^2=1 \)
Ο ορισμός της συνέχειας είναι:
\( \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x)=f(x_0) \)
Δεν ισούται με \(x_0\), αλλά με την τιμή της συνάρτησης.
Η συνέχεια σε κλειστό διάστημα σημαίνει ότι δεν υπάρχουν άλματα ή κενά.
Άρα η καμπύλη σχεδιάζεται χωρίς διακοπή.
Οι βασικές συναρτήσεις είναι συνεχείς στο πεδίο ορισμού τους.
Όμως πράξεις όπως το πηλίκο \( \dfrac{f(x)}{g(x)} \) δεν ορίζονται όταν \( g(x)=0 \).
Άρα δεν είναι γενικά συνεχείς παντού.
Η παράγωγος ισούται με την κλίση της εφαπτομένης:
\( f'(x_0)=\tan\varphi \)
Για οξεία γωνία ισχύει: \( 0＜\varphi＜90^\circ \) ⇒ \( \tan\varphi＞0 \).
Από τον ορισμό της δεύτερης παραγώγου:
\( \displaystyle f''(1)= \lim_{h\to0} \frac{f'(1+h)-f'(1)}{h} \)
Το όριο δίνεται ίσο με 0, άρα \( f''(1)=0 \).
Το όριο είναι ο ορισμός της παραγώγου:
\( f'(x)＞0 \)
Αν η παράγωγος είναι θετική, η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.
Το πηλίκο ορίζεται μόνο όταν:
\( g(x)≠0 \)
Αν \( g(x)=0 \) για κάποιο \(x\in A\), τότε το \( f/g \) δεν ορίζεται εκεί.
Κανόνας αθροίσματος ορίων: \( \lim(f+g)=\lim f+\lim g \).
Κανόνας γινομένου ορίων: \( \lim(fg)=\lim f \cdot \lim g \).
Παραγώγιση όρων
f(x)=ημx + συνθ
Η παράγωγος της ημx είναι:
(ημx)' = συνx
Το συνθ είναι σταθερός αριθμός (δεν εξαρτάται από το x).
(σταθερά)' = 0
Άρα
f′(x)=συνx
Δεν εμφανίζεται όρος −ημθ.
Συμπέρασμα
Η πρόταση είναι λανθασμένη.
Μετατροπή δύναμης
1/x = x⁻¹
Κανόνας παραγώγισης δύναμης
(xⁿ)' = n xⁿ⁻¹
Εφαρμογή
(x⁻¹)' = −1·x⁻²
= −1/x²
Συμπέρασμα
Το σωστό είναι −1/x². Άρα η πρόταση είναι λανθασμένη.
Παράγωγοι τριγωνομετρικών
(ημx)' = συνx
(συνx)' = −ημx
Συμπέρασμα
Η παράγωγος του συνημιτόνου έχει αρνητικό πρόσημο.
Άρα η πρόταση είναι λανθασμένη.
√x = x1/2
Κανόνας δύναμης:
(xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹
Άρα:
(x1/2)' = (1/2)x-1/2 = 1/(2√x)
Σωστός τύπος:
(xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹
Όχι (n−1)xⁿ.
√4 = 2 → σταθερά.
Παράγωγος σταθεράς = 0.
Ο τύπος 1/(2√x) ισχύει για τη συνάρτηση √x, όχι για αριθμό.
Κανόνας γινομένου:
(fg)' = f'g + fg'
Σωστός τύπος πηλίκου:
(f/g)' = (f'g − fg') / g²
Λείπει το τετράγωνο.
Κανόνας αλυσίδας.
Το σωστό έχει + όχι −.
Αριστερή παράγωγος στο 0 = −1
Δεξιά παράγωγος στο 0 = 1
Δεν είναι ίσες → δεν υπάρχει παράγωγος.
Εξαρτάται από τη θέση στο γράφημα, όχι από απόλυτη σύγκριση τιμών.
Αν x₁＜x₂ ⇒ f(x₁)＜f(x₂).
Θεώρημα μονοτονίας.
Θετική παράγωγος → αύξηση.
Ρυθμός μεταβολής = παράγωγος.
Ταχύτητα = παράγωγος θέσης.
Σωστή απάντηση: Σ
Το χαρακτηριστικό που μελετάμε σε έναν πληθυσμό ονομάζεται στατιστική μεταβλητή.
Συνήθως συμβολίζεται με κεφαλαίο γράμμα, π.χ. \(X\).
Άρα η πρόταση είναι σωστή.
Σωστή απάντηση: Σ
Απογραφή σημαίνει μελέτη ολόκληρου του πληθυσμού, όχι μόνο δείγματος.
Άρα η πρόταση είναι σωστή.
Σωστή απάντηση: Σ
Όταν όλα τα στοιχεία έχουν ίση πιθανότητα επιλογής, το δείγμα είναι τυχαίο και θεωρείται αντιπροσωπευτικό.
Σωστή απάντηση: Λ
Διακριτές και συνεχείς είναι οι ποσοτικές μεταβλητές.
Οι ποιοτικές ταξινομούνται σε κατηγορίες.
Σωστή απάντηση: Σ
Οι τιμές είναι κατηγορίες (π.χ. φύλο, χρώμα).
Σωστή απάντηση: Σ
Παίρνουν ξεχωριστές τιμές (π.χ. πλήθος παιδιών).
Σωστή απάντηση: Σ
Π.χ. ύψος, χρόνος.
Σωστή απάντηση: Σ
Είναι το πλήθος εμφανίσεων της τιμής.
Σωστή απάντηση: Λ
Σωστός τύπος:
\( f_i = \dfrac{ν_i}{n} \)
Σωστή απάντηση: Σ
Π.χ. ραβδόγραμμα κατηγοριών.
Σωστή απάντηση: Λ
Εκφράζει ποσοστό τιμών μικρότερων ή ίσων της \(x_i\).
Σωστή απάντηση: Σ
Είναι το άθροισμα συχνοτήτων μέχρι την xᵢ.
Σωστή απάντηση: Λ
Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται για ποιοτικές μεταβλητές αλλά και για ποσοτικές διακριτές.
Άρα δεν ισχύει το «μόνο».
Σωστή απάντηση: Λ
Χρησιμοποιείται και για ποιοτικές μεταβλητές.
Άρα το «μόνο» είναι λανθασμένο.
Σωστή απάντηση: Λ
Χρησιμοποιείται και για ποιοτικές μεταβλητές.
Άρα το «μόνο» είναι λανθασμένο.
Σωστή απάντηση: Σ
Το ιστόγραμμα αφορά συνεχείς ποσοτικές μεταβλητές σε κλάσεις.
Σωστή απάντηση: Σ
Η σχετική συχνότητα \(f_i\) εκφράζει ποσοστό.
Το ποσοστό αυτό μετατρέπεται σε γωνία πολλαπλασιάζοντας επί \(360^\circ\).
Σωστή απάντηση: Λ
Μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για ποσοτικές μεταβλητές όταν θέλουμε ποσοστιαία κατανομή.
Σωστή απάντηση: Σ
Εφόσον \( f_i = \dfrac{ν_i}{n} \), προκύπτει:
\( ν_i = f_i \cdot n \)
Σωστή απάντηση: Λ
Ισχύει ότι \(N_5 = n\), όχι \(N_4 + ν_5 = n\) γενικά, παρά μόνο αν υπάρχουν ακριβώς 5 τιμές.
Σωστή απάντηση: Λ
Το πλάτος κλάσης είναι:
\( β - α \)
Σωστή απάντηση: Λ
Το σωστό είναι:
\( \dfrac{α+β}{2} \)
Σωστή απάντηση: Λ
Είναι ίση με \(c\), όχι με \(2c\).
Σωστή απάντηση: Λ
Η βάση έχει μήκος ίσο με το πλάτος της κλάσης.
Σωστή απάντηση: Σ
Όταν χρησιμοποιούμε πυκνότητα συχνότητας, το εμβαδό εκφράζει τη συχνότητα.
Σωστή απάντηση: Λ
Το εμβαδό που ισούται με το άθροισμα των ιστών αφορά το ιστόγραμμα, όχι το πολύγωνο συχνοτήτων.
Σωστή απάντηση: Σ
Η διάμεσος είναι η μεσαία τιμή όταν οι παρατηρήσεις διαταχθούν σε αύξουσα σειρά.
Εξαρτάται από τη θέση των τιμών και όχι από το μέγεθος των ακραίων τιμών.
2, 3, 4 → διάμεσος 3 2, 3, 100 → διάμεσος 3
Άρα δεν επηρεάζεται από ακραίες τιμές.
Σωστή απάντηση: Λ
Τι είναι η μέση τιμή
Η μέση τιμή είναι το άθροισμα όλων των τιμών διαιρεμένο με το πλήθος τους.
Επίδραση ακραίων τιμών
Αν μία τιμή είναι πολύ μεγάλη ή πολύ μικρή, επηρεάζει το άθροισμα και άρα τη μέση τιμή.
Παράδειγμα: 2, 3, 4 → μέση τιμή = 3 2, 3, 100 → μέση τιμή = 35
Μία ακραία τιμή αλλάζει πολύ το αποτέλεσμα.
Συμπέρασμα
Η μέση τιμή επηρεάζεται από τις ακραίες τιμές. Άρα η πρόταση είναι λανθασμένη.
Σωστή απάντηση: Λ
\( \bar{x} = \dfrac{0.1·1 + 0.5·2 + 0.4·3}{0.1+0.5+0.4} \)
Αριθμητής: \(0.1 + 1 + 1.2 = 2.3\)
Παρονομαστής: \(1\)
Άρα \( \bar{x}=2.3\).
Η πράξη στο κείμενο είναι σωστή, αλλά η πρόταση θεωρείται λανθασμένη αν δεν γίνει σωστή διατύπωση.
Σωστή απάντηση: Σ
Π.χ. στο σύνολο {1,2,3} η μέση τιμή είναι 2, που ανήκει στο δείγμα.
Σωστή απάντηση: Σ
Αν οι περισσότερες τιμές είναι αρνητικές, τότε και η μέση τιμή μπορεί να είναι αρνητική.
Σωστή απάντηση: Σ
Σε συμμετρικές κατανομές (π.χ. κανονική), μέση τιμή = διάμεσος.
Σωστή απάντηση: Λ
Είναι μέτρο θέσης, όχι διασποράς.
Σωστή απάντηση: Λ
Μπορεί να οριστεί για διατεταγμένα ποιοτικά δεδομένα (π.χ. επίπεδο ικανοποίησης).
Σωστή απάντηση: Λ
Είναι μέτρο θέσης.
Σωστή απάντηση: Λ
Επηρεάζεται μόνο από τη διάταξη, όχι από ακραίες τιμές.
Σωστή απάντηση: Λ
Το 2023 είναι περιττός αριθμός, άρα η διάμεσος είναι τιμή του δείγματος.
Σωστή απάντηση: Λ
Σε άρτιο πλήθος, αν οι δύο μεσαίες τιμές είναι ίδιες, η διάμεσος είναι τιμή του δείγματος.
Σωστή απάντηση: Σ
Εκφράζει την απόσταση μεταξύ μέγιστης και ελάχιστης τιμής.
Σωστή απάντηση: Σ
Υπολογίζεται ως \( R = x_{max} - x_{min} \).
Σωστή απάντηση: Λ
Η κύμανση (διακύμανση) είναι μέτρο που βασίζεται στις αποκλίσεις από τη μέση τιμή, όχι στα άκρα κλάσεων.
Σωστή απάντηση: Σ
Η διακύμανση είναι μέσος όρος τετραγώνων αποκλίσεων:
\( s^2 \)
Άρα εκφράζεται σε τετραγωνικές μονάδες.
Οι αρχικές παρατηρήσεις είναι σε απλές μονάδες.
Σωστή απάντηση: Λ
Η κύμανση (εύρος) είναι:
\( R = x_{max} - x_{min} \)
Όχι άθροισμα.
Σωστή απάντηση: Λ
Η κύμανση έχει ίδιες μονάδες.
Η διακύμανση έχει τετραγωνικές μονάδες.
Σωστή απάντηση: Σ
Κανόνας 68–95–99,7:
±3s → 99,7%
Σωστή απάντηση: Λ
Ο σωστός τύπος είναι:
\( CV = \dfrac{s}{\bar{x}} \cdot 100\% \)
Σωστή απάντηση: Λ
Μικρός CV → ομοιογένεια.
Μεγάλος CV → ανομοιογένεια.
Από τον κανόνα ±3s, το εύρος ≈ 6s.
Το διάστημα 20–30 είναι ±1s.
Ποσοστό ≈ 68%.
\( s>0 \) και \( \bar{x}>0 \) στη στατιστική εφαρμογή.