ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1
Όνομα μαθητή:
Email καθηγητή:
Όνομα μαθητή:
Email καθηγητή:
ΘΕΜΑ A
Θεώρημα
Α01
Αν για μια παραγωγίσιμη συνάρτηση \( f \) ισχύει
\( f'(x)>0 \) στο \( (α,x_0) \) και
\( f'(x)<0 \) στο \( (x_0,β) \),
ποια από τις παρακάτω αποδείξεις δείχνει σωστά
ότι το \( f(x_0) \) είναι τοπικό μέγιστο;
Επιλογή
Α02
Έστω συναρτήσεις \( f, g, h \) ορισμένες κοντά στο \( x_0 \).
Ποιος συνδυασμός συνθηκών εξασφαλίζει ότι
\( \displaystyle \lim_{x\to x_0} g(x)=L \) ;
Ορισμός
Α03
Μια συνάρτηση \( f:A\to\mathbb{R} \) λέγεται 1−1
όταν για κάθε \( x_1,x_2\in A \)
ισχύει ότι
\( f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2 \).
Α4α
Για κάθε συναρτήσεις \( f, g \),
αν ορίζονται οι συνθέσεις τους,
τότε ισχύει
\( f\circ g = g\circ f \).
Α4β
Κάθε 1−1 συνάρτηση \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \)
είναι γνησίως μονότονη.
Α4γ
\( \displaystyle \lim_{x\to +\infty} x\,ημ\!\left(\frac{1}{x}\right)=1 \).
Α4δ
Αν \( f(x)=\ln|x| \),
τότε \( f'(x)=\frac{1}{|x|} \).
ΘΕΜΑ Β
Θέμα Ανάπτυξης
B
Δίνονται οι συναρτήσεις
\( f(x)=e^{x}+\frac{α}{e^{x}-1}, \quad x>0,\; α\in\mathbb{R} \)
και \( g(x)=\ln x, \quad x>0 \).
Θεωρούμε τη συνάρτηση \( h(x)=(f\circ g)(x) \)
και ισχύει \( h(x) \ge 2+α \), για κάθε \( x>1 \)
Β01
Η σύνθεση \( h(x)=(f\circ g)(x) \) είναι:
Β02
Η τιμή του \( α \) είναι:
Β03
Οι ασύμπτωτες της \( h \) είναι:
Β04
Θεωρούμε τα σημεία του γραφήματος της συνάρτησης
\( A(2,h(2)) \) και \( B(3,h(3)) \).
Υπάρχει \( ξ\in(2,3) \) στο οποίο η εφαπτομένη της καμπύλης είναι παράλληλη στην ευθεία ΑΒ;
Υπάρχει \( ξ\in(2,3) \) στο οποίο η εφαπτομένη της καμπύλης είναι παράλληλη στην ευθεία ΑΒ;
Β05
Να βρεθεί το \( ξ\in(2,3) \) ώστε η εφαπτομένη της καμπύλης
στο σημείο \( M(ξ,h(ξ)) \)
να είναι παράλληλη στην ευθεία ΑΒ
να είναι παράλληλη στην ευθεία ΑΒ
ΘΕΜΑ Γ
Θέμα Ανάπτυξης
Γ
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση
\( f(x)=
\begin{cases}
x^{4}+1, & x \le 1 \\
e^{\,1-λx}+λx, & x>1
\end{cases}
\), όπου \( λ \in \mathbb{R} \).
Με βάση τη συνάρτηση αυτή να απαντήσετε στα ερωτήματα που ακολουθούν.
Με βάση τη συνάρτηση αυτή να απαντήσετε στα ερωτήματα που ακολουθούν.
Γ01
Η τιμή του \( λ \) ώστε η συνάρτηση να είναι συνεχής είναι:
Γ02
Τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης είναι:
Γ03
Η εξίσωση \( f(x)=e \) έχει:
Γ04
Για τη συνάρτηση \( \varphi(x)=e^{x}(f(x)-e) \)
στο διάστημα \( [x_1,x_2] \),
ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Rolle ?
Γ05
Αν \( θ(t) \) είναι η γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη της καμπύλης \( y=f(x) \) στο σημείο \( M(x(t),y(t)) \) με τον άξονα \( x'x \), x ≤ 1 τότε ισχύει:
Γ06
Τη χρονική στιγμή που το κινητό διέρχεται από το σημείο \(B(-1,2)\) η τετμημένη ελαττώνεται με ρυθμό \(2\) μον/s. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της γωνίας \(θ\).
ΘΕΜΑ Δ
Θέμα Ανάπτυξης
Δ
Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση \( f:(0,+\infty)\to\mathbb{R} \) για την οποία ισχύουν:
• \( \displaystyle \lim_{x\to1}\frac{f(x)+3x}{x-1}=\ell \in \mathbb{R} \)
• \( xf'(x)-2f(x)=2x^2,\quad x>0 \)
Με βάση τα παραπάνω να απαντήσετε στα ερωτήματα που ακολουθούν.
• \( \displaystyle \lim_{x\to1}\frac{f(x)+3x}{x-1}=\ell \in \mathbb{R} \)
• \( xf'(x)-2f(x)=2x^2,\quad x>0 \)
Με βάση τα παραπάνω να απαντήσετε στα ερωτήματα που ακολουθούν.
Δ01
Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστή;
Δ02
Η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης \( f(x) \) είναι:
Δ03
Για τη συνάρτηση
\( g(x)=
\begin{cases}
f(x), & 0＜x\le e \\
\displaystyle \lim_{x\to0^+} f(x), & x=0
\end{cases}
\)
ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι παράγουσες της g ;
ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι παράγουσες της g ;
Δ04
Το εμβαδό του χωρίου που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g
τον άξονα \(x'x\), τον άξονα \(y'y\) και την ευθεία \(x=e\) ισούται με:
Δ05
Η εφαπτομένη που διαπερνά την καμπύλη είναι:
Δ06
Να εξετάσετε πόσες ρίζες έχει στο διάστημα \( (1,2) \)
η εξίσωση
\( (f(β)+4β-1)x^3+(f(α)+e^2)x+x-1=0 \), όπου \( 0＜α\ne e \) και \( β＞1 \).
\( (f(β)+4β-1)x^3+(f(α)+e^2)x+x-1=0 \), όπου \( 0＜α\ne e \) και \( β＞1 \).
Επισύναψη μιας εικόνας ή pdf
📂 Μετατροπή εικόνων σε pdf..
Μετά την υποβολή του τεστ θα δείτε αναλυτικά τις απαντήσεις...