Mαθαίνω μαθηματικά
Μάθημα 14 – Θεώρημα Μέσης Τιμής (Lagrange)
1. Ιδέα του θεωρήματος
Το Θεώρημα Μέσης Τιμής συνδέει:
• τη μέση μεταβολή μιας συνάρτησης σε διάστημα
• με τον στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής σε κάποιο σημείο
Δηλαδή, κάπου στο διάστημα υπάρχει σημείο όπου η εφαπτομένη είναι παράλληλη με τη χορδή.
2. Προϋποθέσεις Θεωρήματος Μέσης Τιμής
Απαιτούνται:
1. Η f να είναι συνεχής στο [a,b]
2. Η f να είναι παραγωγίσιμη στο (a,b)
1. Η f να είναι συνεχής στο [a,b]
2. Η f να είναι παραγωγίσιμη στο (a,b)
Αν δεν ισχύει έστω μία προϋπόθεση,
το θεώρημα δεν εφαρμόζεται.
3. Διατύπωση Θεωρήματος Μέσης Τιμής
Θεώρημα:
Αν η f είναι συνεχής στο [a,b] και παραγωγίσιμη στο (a,b), τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα x₀∈(a,b) τέτοιο ώστε:
Αν η f είναι συνεχής στο [a,b] και παραγωγίσιμη στο (a,b), τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα x₀∈(a,b) τέτοιο ώστε:
f′(x₀) = [ f(b) − f(a) ] / ( b − a )
4. Γεωμετρική ερμηνεία
Η ποσότητα:
[ f(b) − f(a) ] / ( b − a )
είναι η κλίση της χορδής που ενώνει τα σημεία (a,f(a)) και (b,f(b)).
Το θεώρημα εγγυάται ότι υπάρχει εφαπτομένη παράλληλη στη χορδή αυτή.
5. Παράδειγμα εφαρμογής
Παράδειγμα:
f(x)=x² στο [1,3]
f(1)=1, f(3)=9
Μέση μεταβολή = (9−1)/(3−1)=4
f′(x)=2x ⇒ 2x₀=4 ⇒ x₀=2
f(x)=x² στο [1,3]
f(1)=1, f(3)=9
Μέση μεταβολή = (9−1)/(3−1)=4
f′(x)=2x ⇒ 2x₀=4 ⇒ x₀=2
6. Πλήρης δομή λύσης (εξεταστική)
Βήματα:
1. Δηλώνουμε συνέχεια στο [a,b]
2. Δηλώνουμε παραγωγισιμότητα στο (a,b)
3. Εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Τ.
4. Λύνουμε την εξίσωση για x₀
1. Δηλώνουμε συνέχεια στο [a,b]
2. Δηλώνουμε παραγωγισιμότητα στο (a,b)
3. Εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Τ.
4. Λύνουμε την εξίσωση για x₀
7. Πλήθος λύσεων
Το θεώρημα εγγυάται τουλάχιστον μία λύση.
Μπορεί να υπάρχουν περισσότερα από ένα x₀
που ικανοποιούν τη σχέση.
8. Σύνδεση με μονοτονία
Από το Θεώρημα Μέσης Τιμής προκύπτει σημαντικό συμπέρασμα:
Συνέπεια:
Αν f′(x)>0 στο (a,b), τότε f είναι γνησίως αύξουσα στο [a,b].
Αν f′(x)>0 στο (a,b), τότε f είναι γνησίως αύξουσα στο [a,b].
9. Συνηθισμένα λάθη μαθητών
• Δεν ελέγχουν τις προϋποθέσεις
• Ξεχνούν να γράψουν το συμπέρασμα του θεωρήματος
• Λύνουν λάθος την εξίσωση f′(x₀)=...
• Ξεχνούν να γράψουν το συμπέρασμα του θεωρήματος
• Λύνουν λάθος την εξίσωση f′(x₀)=...
10. Σύνοψη
• Το Θ.Μ.Τ. συνδέει μέση και στιγμιαία μεταβολή
• Απαιτεί συνέχεια και παραγωγισιμότητα
• Είναι θεμέλιο για μονοτονία και ανισότητες