Mαθαίνω μαθηματικά 

Μάθημα 06 – Συνέχεια Συνάρτησης

Μάθημα 06 – Συνέχεια Συνάρτησης

1. Έννοια της συνέχειας

Διαισθητικά, μια συνάρτηση είναι συνεχής όταν η γραφική της παράσταση μπορεί να σχεδιαστεί χωρίς να σηκώσουμε το μολύβι.

Μαθηματικά, η συνέχεια συνδέει άμεσα το όριο μιας συνάρτησης με την τιμή της.

2. Ορισμός συνέχειας σε σημείο

Μια συνάρτηση f λέγεται συνεχής στο σημείο x₀, αν ισχύουν ταυτόχρονα:

Τρεις αναγκαίες και επαρκείς συνθήκες:
1. Η f(x₀) ορίζεται
2. Υπάρχει το όριο lim x→x₀ f(x)
3. lim x→x₀ f(x) = f(x₀)

limx→x₀ f(x) = f(x₀)

3. Συνέχεια σε διάστημα

Η f λέγεται συνεχής σε διάστημα Δ, αν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του Δ.

Σημαντικό:
Τα πολυώνυμα είναι συνεχείς συναρτήσεις στο ℝ.

4. Ασυνέχεια

Μια συνάρτηση είναι ασυνεχής σε σημείο x₀, αν αποτυγχάνει έστω μία από τις τρεις συνθήκες της συνέχειας.

Παράδειγμα:
f(x)=1/x λέμε ότι δεν μελετάται ως προς τη συνέχεια στο x=0, διότι δεν ορίζεται εκεί.

5. Είδη ασυνέχειας (διαισθητικά)

• Ασυνέχεια λόγω «κενού»
• Ασυνέχεια λόγω άλματος
• Ασυνέχεια λόγω απείρου

Στις Πανελλήνιες εξετάζεται κυρίως αν μια συνάρτηση είναι συνεχής ή όχι, όχι η κατηγοριοποίηση.

6. Συνέχεια και πράξεις συναρτήσεων

Αν οι συναρτήσεις f και g είναι συνεχείς στο x₀, τότε και οι συναρτήσεις:

• f+g
• f−g
• f·g
• f/g (αν g(x₀)≠0)

είναι επίσης συνεχείς στο x₀.

7. Συνέχεια και σύνθεση

Αν η g είναι συνεχής στο x₀ και η f είναι συνεχής στο g(x₀), τότε η σύνθεση:

f ∘ g

είναι συνεχής στο x₀.

Παράδειγμα:
f(x)=x², g(x)=x−1 ⇒ (f∘g)(x)=(x−1)² είναι συνεχής.

8. Συνέχεια και γραφική παράσταση

Αν η f είναι συνεχής σε διάστημα, τότε η γραφική της παράσταση δεν παρουσιάζει «σπασίματα» στο διάστημα αυτό.

Παράδειγμα:
Η f(x)=x³ είναι συνεχής στο ℝ, άρα η γραφική της είναι ενιαία.

9. Συνηθισμένα λάθη μαθητών

• Μπερδεύουν το όριο με την τιμή της συνάρτησης
• Θεωρούν ότι αν υπάρχει όριο υπάρχει και συνέχεια
• Ξεχνούν τον έλεγχο f(x₀)

10. Σύνοψη

• Συνέχεια ⇔ όριο = τιμή
• Απαιτούνται και οι τρεις συνθήκες
• Η συνέχεια είναι βάση για τα θεωρήματα