Σωστή απάντηση: Σ

1️⃣ Ορισμός σύνθεσης συναρτήσεων

Η σύνθεση ορίζεται:

\( (g\circ f)(x)=g(f(x)) \)

2️⃣ Υπολογισμός

Αφού \( f(x)=\ln x \), έχουμε:

\( g(f(x))=e^{-\ln x} \)

Γνωρίζουμε ότι:

\( e^{\ln x}=x \), για \(x＞0\)

Άρα:

\( e^{-\ln x}=\frac{1}{e^{\ln x}}=\frac{1}{x} \)

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

\( (g\circ f)(x)=\frac{1}{x} \), για \(x＞0\). Η πρόταση είναι σωστή.

Σωστή απάντηση: Σ

1️⃣ Ορισμός σύνθεσης

Η σύνθεση ορίζεται:

\( (f\circ g)(x)=f(g(x)) \)

2️⃣ Υπολογισμός

Αφού \( g(x)=e^{-x} \), έχουμε:

\( (f\circ g)(x)=\ln(e^{-x}) \)

Επειδή \( e^{-x}＞0 \) για κάθε \(x\in\mathbb{R}\), η παράσταση ορίζεται για όλα τα \(x\).

Με την ιδιότητα:

\( \ln(e^a)=a \)

προκύπτει:

\( \ln(e^{-x})=-x \)

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

\( (f\circ g)(x)=-x \), για κάθε \(x\in\mathbb{R}\). Η πρόταση είναι σωστή.

Σωστή απάντηση: Σ

1️⃣ Δεδομένο

\( \displaystyle \lim_{x\to1}\frac{f(x)}{x-1}=L \), με \(L\) πεπερασμένο.

2️⃣ Μετασχηματισμός

Γράφουμε:

\( f(x)=\frac{f(x)}{x-1}\cdot(x-1) \)

Καθώς \(x\to1\):

\( x-1\to0 \)

3️⃣ Ιδιότητα ορίου γινομένου

\( \displaystyle \lim_{x\to1} f(x) = \left(\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{f(x)}{x-1}\right) \left(\displaystyle \lim_{x\to1}(x-1)\right) \)

\( = L\cdot0=0 \)

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

\( \displaystyle \lim_{x\to1}f(x)=0 \). Η πρόταση είναι σωστή.

Σωστή απάντηση: Λ

1️⃣ Έλεγχος δυνατότητας διάσπασης

Ο κανόνας \( \lim (u\cdot v)=\lim u \cdot \lim v \) ισχύει μόνο όταν υπάρχουν και τα δύο όρια και είναι πεπερασμένα.

2️⃣ Υπολογισμός αρχικού ορίου

\( \frac{x}{x^2+x}=\frac{x}{x(x+1)}=\frac{1}{x+1} \), για \(x\neq0\)

\( \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{x}{x^2+x} =\frac{1}{1}=1 \)

3️⃣ Έλεγχος επιμέρους ορίων

\( \displaystyle \lim_{x\to0}x=0 \)

\( \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{1}{x^2+x} =\lim_{x\to0}\frac{1}{x(x+1)}=\pm\infty \)

Το δεύτερο όριο δεν είναι πεπερασμένο, άρα δεν επιτρέπεται ο χωρισμός.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

Η ισότητα δεν ισχύει. Η πρόταση είναι λανθασμένη.

Σωστή απάντηση: Λ

1️⃣ Τι γνωρίζουμε για το όριο

Αν \( f(x)＞1 \) κοντά στο \(x_0\) και υπάρχει το όριο, τότε δεν μπορεί να είναι μικρότερο από 1.

Άρα μόνο συμπεραίνουμε: \( \displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)\ge1 \)

2️⃣ Αντιπαράδειγμα

Θέτουμε:

\( f(x)=1+(x-x_0)^2 \)

Τότε:

\( (x-x_0)^2＞0 \) για κάθε \(x\neq x_0\)

άρα \( f(x)＞1 \) για κάθε \(x\)

3️⃣ Υπολογισμός ορίου

\( \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) =\lim_{x\to x_0}\bigl(1+(x-x_0)^2\bigr)=1 \)

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

Το όριο μπορεί να είναι ίσο με 1. Δεν ισχύει υποχρεωτικά \(＞1\). Η πρόταση είναι λανθασμένη.

Σωστή απάντηση: Σ

1️⃣ Παρατήρηση

Όταν \( x\to+\infty \), τότε \( \frac{1}{x}\to0 \).

2️⃣ Μετασχηματισμός

\( x\cdot ημ\frac{1}{x} = \frac{ημ\left(\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}} \)

Θέτουμε:

\( t=\frac{1}{x} \Rightarrow t\to0 \)

3️⃣ Βασικό όριο

\( \displaystyle \lim_{t\to0}\frac{ημ t}{t}=1 \)

Άρα \( \displaystyle \lim_{x\to+\infty} x\cdot ημ\frac{1}{x}=1 \)

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

Η πρόταση είναι σωστή.

ΙΔΕΑ

Για κάθε πραγματικό \(x\) ισχύει:

\( -1 \le ημ x \le 1 \)

ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΜΕ x

Για \(x＞0\) διαιρούμε την ανισότητα με \(x\):

\( -\frac{1}{x} \le \frac{ημ x}{x} \le \frac{1}{x} \)

ΟΡΙΑ ΑΚΡΩΝ

Όταν \(x\to+\infty\):

\( -\frac{1}{x}\to 0 \) και \( \frac{1}{x}\to 0 \)

ΘΕΩΡΗΜΑ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ

Η \( \frac{ημ x}{x} \) βρίσκεται ανάμεσα σε δύο συναρτήσεις που τείνουν στο 0, άρα:

\( \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{ημ x}{x}=0 \)

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

Η πρόταση είναι λανθασμένη, γιατί το όριο είναι 0 και όχι 1.

Σωστή απάντηση: Σ

1️⃣ Δεδομένη ανισότητα

\( 0 \le f(x) \le 1 \) κοντά στο 0

2️⃣ Πολλαπλασιασμός με \(x^2\)

Επειδή \( x^2 \ge 0 \) για κάθε \(x\), προκύπτει:

\( 0 \le x^2 f(x) \le x^2 \)

3️⃣ Όρια άκρων

\( \displaystyle \lim_{x\to0}0=0 \)

\( \displaystyle \lim_{x\to0}x^2=0 \)

4️⃣ Θεώρημα παρεμβολής

\( \displaystyle \lim_{x\to0}x^2 f(x)=0 \)

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

Η πρόταση είναι σωστή.

Σωστή απάντηση: Λ

1️⃣ Τι γνωρίζουμε

\( f(x)\le \frac{1}{x^2} \), για \(x＞0\)

\( \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^2}=0 \)

2️⃣ Τι απαιτεί το Θεώρημα Παρεμβολής

Θα έπρεπε να υπάρχει και κάτω φράγμα, π.χ. \( 0 \le f(x) \le \frac{1}{x^2} \).

3️⃣ Αντιπαράδειγμα

Θέτουμε \( f(x)=-1 \)

Τότε \( -1 \le \frac{1}{x^2} \) για κάθε \(x＞0\)

αλλά \( \displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x)=-1\neq0 \)

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

Δεν αρκεί μόνο άνω φράγμα. Η πρόταση είναι λανθασμένη.

Σωστή απάντηση: Λ

1️⃣ Πότε ισχύει η ισότητα

Αν οι συναρτήσεις είναι συνεχείς στο 6, τότε:

\( \displaystyle \lim_{x\to6} f(x)=f(6) \)

\( \displaystyle \lim_{x\to6} g(x)=g(6) \)

\( \displaystyle \lim_{x\to6} f(x)g(x)=f(6)g(6) \)

Όμως αυτό απαιτεί συνέχεια.

2️⃣ Αντιπαράδειγμα

\( f(x)=1 \) για \(x\neq6\), ενώ \( f(6)=100 \)

\( g(x)=1 \)

\( \displaystyle \lim_{x\to6} f(x)g(x)=1 \)

\( f(6)g(6)=100 \)

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

Η ύπαρξη του ορίου του γινομένου δεν συνεπάγεται τιμή ίση με \( f(6)g(6) \). Η πρόταση είναι λανθασμένη.

Σωστή απάντηση: Λ

1️⃣ Τι σημαίνει \( |f(x)|\to1 \)

Η απόλυτη τιμή πλησιάζει το 1, αλλά το πρόσημο της \( f(x) \) μπορεί να αλλάζει κοντά στο \(x_0\).

2️⃣ Αντιπαράδειγμα

\( f(x)=1 \) αν \( x＞x_0 \)

\( f(x)=-1 \) αν \( x＜x_0 \)

Τότε \( |f(x)|=1 \) κοντά στο \(x_0\)

\( \displaystyle \lim_{x\to x_0} |f(x)|=1 \)

3️⃣ Έλεγχος ορίου της \(f(x)\)

\( \displaystyle \lim_{x\to x_0^-} f(x)=-1 \)

\( \displaystyle \lim_{x\to x_0^+} f(x)=1 \)

Τα μονόπλευρα όρια διαφέρουν, άρα το όριο δεν υπάρχει.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

Το ότι \( |f(x)|\to1 \) δεν συνεπάγεται ότι \( f(x)\to\pm1 \). Η πρόταση είναι λανθασμένη.

Σωστή απάντηση: Σ

1️⃣ Βασική ανισότητα

\( -|f(x)| \le f(x) \le |f(x)| \)

2️⃣ Όρια άκρων

\( \displaystyle \lim_{x\to x_0}|f(x)|=0 \)

\( \displaystyle \lim_{x\to x_0}(-|f(x)|)=0 \)

3️⃣ Θεώρημα παρεμβολής

\( \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x)=0 \)

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

Η πρόταση είναι σωστή.

Σωστή απάντηση: Σ

1️⃣ Ορισμός βοηθητικής συνάρτησης

Θέτουμε:

\( h(x)=g(x)-f(x) \)

Από \( f(x)\le g(x) \) κοντά στο \(x_0\) προκύπτει \( h(x)\ge0 \).

2️⃣ Υπολογισμός ορίου της διαφοράς

\( \displaystyle \lim_{x\to x_0} h(x) = \lim_{x\to x_0}(g(x)-f(x)) = m-l \)

3️⃣ Όριο μη αρνητικής συνάρτησης

Αν μια συνάρτηση είναι μη αρνητική κοντά στο σημείο και υπάρχει το όριό της, τότε το όριο δεν μπορεί να είναι αρνητικό.

Άρα \( m-l\ge0 \)

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

\( l\le m \). Η πρόταση είναι σωστή.

Σωστή απάντηση: Β

1️⃣ Μείωση ρητής παράστασης στο άπειρο

Σε όρια ρητών συναρτήσεων για \(x\to+\infty\) συγκρίνουμε τους όρους μέγιστου βαθμού (ή διαιρούμε με τη μεγαλύτερη δύναμη του \(x\)).

\( \displaystyle \frac{1-2x^2}{x^2+1} = \frac{\frac{1}{x^2}-2}{1+\frac{1}{x^2}} \)

2️⃣ Πέρασμα στο όριο

Καθώς \(x\to+\infty\) ισχύει \( \frac{1}{x^2}\to 0 \).

Άρα: \( \displaystyle \frac{1-2x^2}{x^2+1} \to \frac{0-2}{1+0} =-2 \)

3️⃣ Κύβος του ορίου

\( \displaystyle \left(\frac{1-2x^2}{x^2+1}\right)^3 \to (-2)^3=-8 \)

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

Το όριο είναι −8.

Σωστή επιλογή: Ε

1️⃣ Απόλυτη τιμή

Για μεγάλα \(x＞0\): \(x^3-x^2-1＞0\) ⇒ \( |x^3-x^2-1|=x^3-x^2-1 \)

2️⃣ Απλοποίηση αριθμητή

\( (x^3-x^2-1)-x^3+x^2=-1 \)

3️⃣ Υπολογισμός ορίου

\( \frac{-1}{x^2}\to0 \)

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

Το όριο είναι 0.

Σωστή επιλογή: Δ

1️⃣ Παραγοντοποίηση

\( x^3-x^2-2x = x(x-2)(x+1) \)

\( x^3-x = x(x-1)(x+1) \)

2️⃣ Απλοποίηση

\( \displaystyle \frac{x(x-2)(x+1)}{x(x-1)(x+1)} = \frac{x-2}{x-1} \) (για \(x\neq0,-1\))

3️⃣ Πότε δεν υπάρχει όριο;

Το όριο δεν υπάρχει όταν ο παρονομαστής μηδενίζεται χωρίς να μηδενίζεται και ο αριθμητής.

Στο \(x_0=1\): παρονομαστής \(=0\), αριθμητής \(=−1\neq0\)

⇒ κατακόρυφη ασύμπτωτη ⇒ το όριο δεν υπάρχει.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

Η σωστή επιλογή είναι Δ.

Σωστές επιλογές: Α, Γ, Ε

1️⃣ Τετραγωνικές ρίζες

Για να είναι καλώς ορισμένο το \( \sqrt{u(x)} \) κοντά στο σημείο, πρέπει \( u(x) \ge 0 \) σε μια περιοχή του σημείου.

• Για το \(x^2-x+1\): \( \Delta=1-4=-3＜0 \) και \(a=1＞0\), άρα \(x^2-x+1＞0\) για κάθε \(x\) ⇒ η ρίζα ορίζεται ⇒ (Α) καλώς ορισμένο.

• Για το \(x^2-x-1\): στο \(x=0\) δίνει \(-1＜0\), άρα κοντά στο 0 είναι αρνητικό ⇒ η ρίζα δεν ορίζεται ⇒ (Β) όχι καλώς ορισμένο.

2️⃣ Ρίζες στο άπειρο

• Για \(x\to+\infty\): ο κυρίαρχος όρος είναι \(3x^9\) και είναι \(＞0\), άρα για μεγάλα \(x\) ισχύει \(3x^9+x-1＞0\) ⇒ η ρίζα ορίζεται ⇒ (Γ) καλώς ορισμένο.

• Για \(x\to-\infty\): \(x^9＜0\) άρα \(3x^9+x-1＜0\) για μεγάλα αρνητικά \(x\), οπότε η ρίζα δεν ορίζεται ⇒ (Δ) όχι καλώς ορισμένο.

3️⃣ Λογάριθμοι

Για να είναι καλώς ορισμένο το \( \ln(u(x)) \) κοντά στο σημείο, πρέπει \( u(x)＞0 \) σε μια περιοχή του σημείου.

• Για \(x^3+x+1\): στο \(x=0\) δίνει \(1＞0\), άρα υπάρχει περιοχή του 0 όπου είναι θετικό ⇒ (Ε) καλώς ορισμένο.

• Για \(x^3+x-1\): στο \(x=0\) δίνει \(-1＜0\), άρα κοντά στο 0 είναι αρνητικό ⇒ (Ζ) όχι καλώς ορισμένο.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

Καλώς ορισμένα: Α, Γ, Ε.

Σωστή απάντηση: Σ

1️⃣ Συνέχεια στο x=4

Αφού η f είναι συνεχής στο ℝ, πρέπει:

\( f(4)=\displaystyle \lim_{x\to4} f(x) \)

2️⃣ Απλοποίηση τύπου

\( x^2-7x+12=(x-3)(x-4) \)

Για \(x\neq4\): \( \displaystyle f(x)=\frac{(x-3)(x-4)}{x-4}=x-3 \)

3️⃣ Υπολογισμός ορίου

\( \displaystyle \lim_{x\to4}(x-3)=4-3=1 \)

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

Για να είναι συνεχής στο 4 πρέπει f(4)=1. Άρα η πρόταση είναι σωστή.

Σωστή απάντηση: Σ

1️⃣ Συνέχεια στο διάστημα

Η f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [-1,1].

f(-1)=4 και f(1)=3.

2️⃣ Θέση του π

3＜π＜4

Άρα το π βρίσκεται ανάμεσα στις τιμές της συνάρτησης στα άκρα του διαστήματος.

3️⃣ Θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών

Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε κλειστό διάστημα και μια τιμή βρίσκεται ανάμεσα στις τιμές της στα άκρα, τότε υπάρχει εσωτερικό σημείο όπου η συνάρτηση παίρνει αυτή την τιμή.

Άρα υπάρχει \( x_0\in(-1,1) \) ώστε \( f(x_0)=\pi \).

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

Η πρόταση είναι σωστή.

1️⃣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ

\( f(x)=\frac{1}{(x-2)^2}+1 \) δεν ορίζεται στο \(x=2\).

\( g(x)=\frac{1}{x^2-1} \) δεν ορίζεται στα \(x=-1\) και \(x=1\).

Τα σημεία αυτά δεν ανήκουν στο πεδίο ορισμού.

2️⃣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ

Α. g συνεχής στο 2

Το \(2\) ανήκει στο πεδίο ορισμού της \(g\). Η \(g\) είναι ρητή συνάρτηση, άρα συνεχής σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της. ✔ Σωστό

Β. f συνεχής στο 1

Το \(1\) ανήκει στο πεδίο ορισμού της \(f\). Η \(f\) είναι άθροισμα ρητής συνάρτησης και σταθεράς, άρα συνεχής στο 1. ✔ Σωστό

Γ. g έχει δύο σημεία που δεν ορίζεται

Η \(g\) δεν ορίζεται στα \(x=-1\) και \(x=1\). ✔ Σωστό

Δ. \( \displaystyle \lim_{x\to\pm\infty} f(x)=1 \)

\( \displaystyle \lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{(x-2)^2}=0 \), άρα \( f(x)\to1 \). ✔ Σωστό

3️⃣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

Όλες οι προτάσεις είναι σωστές. Άρα η εκφώνηση «ΛΑΘΟΣ είναι» δεν έχει σωστή επιλογή.

1️⃣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ

Η \( f \) είναι συνεχής στο \([1,3]\). Έχουμε \( f(1)=1 \) και \( f(3)=-1 \). Επειδή \(0\) είναι ανάμεσα στο \(-1\) και στο \(1\), υπάρχει \( \xi\in(1,3) \) ώστε \( f(\xi)=0 \).

Άρα η Α προκύπτει.

2️⃣ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΤΟ 3

Εφόσον η \( f \) είναι συνεχής στο 3, ισχύει \( \displaystyle \lim_{x\to3} f(x)=f(3)=-1 \).

Άρα η Β προκύπτει.

3️⃣ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΤΟ 2

Επειδή \(2\in(0,3)\) και η \( f \) είναι συνεχής στο \([0,3]\), είναι συνεχής και στο 2. Άρα \( \displaystyle \lim_{x\to2} f(x)=f(2) \).

Άρα η Γ προκύπτει.

4️⃣ ΕΙΚΟΝΑ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ

Από τη συνέχεια στο \([0,3]\) και τις τιμές \( f(0)=2 \), \( f(3)=-1 \), όλες οι ενδιάμεσες τιμές λαμβάνονται. Άρα:

\([-1,2]\subseteq f([0,3])\).

Άρα η Δ προκύπτει.

5️⃣ ΜΕΓΙΣΤΟ – ΕΛΑΧΙΣΤΟ

Το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής εξασφαλίζει ότι υπάρχουν μέγιστο και ελάχιστο στο \([0,3]\), αλλά δεν εγγυάται ότι είναι ακριβώς \(2\) και \(-1\). Η \( f \) μπορεί να πάρει τιμές μεγαλύτερες από 2 ή μικρότερες από -1 μέσα στο (0,3).

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

Δεν προκύπτει κατ’ ανάγκη η Ε.

Σωστή απάντηση: Σ

1️⃣ Υπόθεση προς άτοπο

Υποθέτουμε ότι

\( f(0)=f(1) \)

2️⃣ Εφαρμογή θεωρήματος Rolle

Η \( f \) είναι συνεχής στο \([0,1]\) και παραγωγίσιμη στο \((0,1)\).

Άρα από το Θεώρημα Rolle υπάρχει \( ξ\in(0,1) \) ώστε

\( f'(ξ)=0 \)

3️⃣ Άτοπο

Από την υπόθεση του θέματος ισχύει

\( f'(x)\neq0 \) για κάθε \( x\in(0,1) \)

που έρχεται σε αντίθεση με \( f'(ξ)=0 \).

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

Άρα η υπόθεση \( f(0)=f(1) \) είναι λανθασμένη και επομένως

\( f(0)\neq f(1) \)

Η πρόταση είναι σωστή.

Σωστή απάντηση: Σ

1️⃣ Θεώρημα Μέσης Τιμής

Υπάρχει \( x_0\in(\alpha,\beta) \) ώστε:

\( f'(x_0)=\dfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha} \)

2️⃣ Πρόσημο του λόγου

Επειδή \( f(\beta)＜f(\alpha) \), ο αριθμητής είναι αρνητικός.

\( \beta-\alpha＞0 \)

Άρα το κλάσμα είναι αρνητικό.

\( f'(x_0)＜0 \)

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

Η πρόταση είναι σωστή.

Σωστή απάντηση: Σ

1️⃣ Ορισμός βοηθητικής συνάρτησης

\( h(x)=f(x)-g(x) \)

\( h(\alpha)=0 \), \( h(\beta)=0 \)

2️⃣ Θεώρημα Rolle

Υπάρχει \( x_0\in(\alpha,\beta) \) ώστε:

\( h'(x_0)=0 \)

3️⃣ Σύγκριση παραγώγων

\( h'(x_0)=f'(x_0)-g'(x_0)=0 \)

\( f'(x_0)=g'(x_0) \)

Άρα οι εφαπτόμενες έχουν ίδια κλίση και είναι παράλληλες.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

Η πρόταση είναι σωστή.

Σωστή απάντηση: Λ

1️⃣ Κρίσιμα σημεία

\( f'(x)=(x-1)^2(x-2)=0 \)

Άρα \( x=1 \) και \( x=2 \).

2️⃣ Έλεγχος προσήμου στο x=1

Ο παράγοντας \( (x-1)^2 \) είναι μη αρνητικός και δεν αλλάζει πρόσημο.

Το πρόσημο της \( f'(x) \) καθορίζεται από το \( (x-2) \).

Για x κοντά στο 1 ισχύει \( x＜2 \Rightarrow (x-2)＜0 \).

Άρα \( f'(x)＜0 \) πριν και μετά το 1.

3️⃣ Συμπέρασμα για ακρότατο

Η παράγωγος δεν αλλάζει πρόσημο στο \( x=1 \), επομένως δεν υπάρχει τοπικό ακρότατο.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

Το \( f(1) \) δεν είναι τοπικό μέγιστο. Η πρόταση είναι λανθασμένη.

Σωστή απάντηση: Σ

1️⃣ Έκφραση παραγώγου

\( f'(x)=(x-1)^2(x-2) \)

Επειδή \( (x-1)^2\ge0 \), το πρόσημο καθορίζεται από το \( x-2 \).

2️⃣ Πρόσημο της παραγώγου

Για \( x＜2 \Rightarrow f'(x)＜0 \)

Για \( x＞2 \Rightarrow f'(x)＞0 \)

3️⃣ Κριτήριο 1ης παραγώγου

Η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από αρνητικό σε θετικό στο \(x=2\).

Άρα τοπικό ελάχιστο.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

Το \( f(2) \) είναι τοπικό ελάχιστο. Η πρόταση είναι σωστή.

Σωστή απάντηση: Σ

1️⃣ Συμπεριφορά στο άπειρο

Αν \( f \) είναι πολυωνυμική περιττού βαθμού, τότε:

\( \displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x)=-\infty \) και \( \displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty \)

(ή το αντίστροφο).

2️⃣ Ύπαρξη ακροτάτου σε κλειστό διάστημα

Η συνάρτηση είναι συνεχής και μη φραγμένη με αντίθετες συμπεριφορές στα άκρα, άρα σε κάποιο μεγάλο κλειστό διάστημα παίρνει μέγιστη ή ελάχιστη τιμή.

3️⃣ Κριτήριο ακροτάτου

Σε εσωτερικό σημείο ακροτάτου ισχύει:

\( f'(x_0)=0 \)

Άρα η εφαπτομένη είναι οριζόντια.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

Η γραφική παράσταση δέχεται τουλάχιστον μία οριζόντια εφαπτομένη. Η πρόταση είναι σωστή.

Σωστή απάντηση: Σ

1️⃣ Συμπεριφορά στο άπειρο

Αν \( f \) είναι πολυωνυμική άρτιου βαθμού, τότε:

\( \displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x) \) και \( \displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x) \) έχουν το ίδιο πρόσημο.

2️⃣ Ύπαρξη ακροτάτου

Η γραφική παράσταση παρουσιάζει τουλάχιστον ένα μέγιστο ή ελάχιστο.

3️⃣ Οριζόντια εφαπτομένη

Σε σημείο εσωτερικού ακροτάτου ισχύει:

\( f'(x_0)=0 \)

Άρα η εφαπτομένη είναι οριζόντια.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

Η πρόταση είναι σωστή.

Σωστή απάντηση: Σ

1️⃣ Δεύτερη παράγωγος

\( f''(x)=6\alpha x+2\beta \)

Είναι γραμμική συνάρτηση με μη μηδενική κλίση (αφού \( \alpha\neq0 \)).

2️⃣ Μηδενισμός της \(f''\)

\( 6\alpha x+2\beta=0 \Rightarrow x_0=-\frac{\beta}{3\alpha} \)

Υπάρχει μοναδική λύση.

3️⃣ Αλλαγή πρόσημου

Μια γραμμική συνάρτηση με μη μηδενική κλίση αλλάζει πρόσημο στο σημείο που μηδενίζεται.

Άρα η \( f'' \) αλλάζει πρόσημο στο \(x_0\).

4️⃣ Συμπέρασμα για καμπή

Η συνάρτηση αλλάζει κυρτότητα, άρα υπάρχει σημείο καμπής.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

Η πρόταση είναι σωστή.

Σωστή απάντηση: Σ

1️⃣ Απόσταση από τον άξονα

Αφού η γραφική παράσταση βρίσκεται πάνω από τον άξονα \(x'x\), ισχύει \( f(x)\ge0 \).

Η απόσταση από τον άξονα είναι \( |f(x)|=f(x) \).

2️⃣ Μέγιστη ή ελάχιστη απόσταση

Αν η απόσταση είναι μέγιστη ή ελάχιστη στο \(x_0\), τότε η \( f \) παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο \(x_0\).

3️⃣ Αναγκαία συνθήκη ακροτάτου

\( f'(x_0)=0 \)

Άρα η κλίση της εφαπτομένης είναι μηδέν.

Η εφαπτομένη είναι οριζόντια.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

Η πρόταση είναι σωστή.

Σωστή απάντηση: Λ

1️⃣ Αντιπαράδειγμα

\( f(x)=x^3 \), \( g(x)=x^3 \)

Και οι δύο έχουν καμπή στο \(x=0\), αφού:

\( f''(x)=6x \) (αλλάζει πρόσημο στο 0)

2️⃣ Γινόμενο

\( h(x)=f(x)g(x)=x^3\cdot x^3=x^6 \)

\( h''(x)=30x^4 \ge 0 \)

3️⃣ Έλεγχος καμπής

Η \( h''(x) \) δεν αλλάζει πρόσημο στο 0, άρα η \( h \) δεν έχει καμπή εκεί.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

Το ότι οι \( f \) και \( g \) έχουν καμπή στο ίδιο σημείο δεν συνεπάγεται ότι και το γινόμενό τους έχει καμπή εκεί. Η πρόταση είναι λανθασμένη.

Σωστή απάντηση: Λ

1️⃣ Παραγοντοποίηση αριθμητή

\( x^2-3x+2=(x-1)(x-2) \)

2️⃣ Απλοποίηση

\( f(x)=\dfrac{(x-1)(x-2)}{x-1}=x-2 \), για \(x\ne1\)

3️⃣ Όριο στο \(x=1\)

\( \displaystyle \lim_{x\to1} f(x)=1-2=-1 \)

Το όριο είναι πεπερασμένο.

4️⃣ Συμπέρασμα για ασύμπτωτη

Δεν υπάρχει κατακόρυφη ασύμπτωτη στο \(x=1\). Υπάρχει αφαιρούμενη ασυνέχεια (τρύπα στη γραφική παράσταση).

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

Η πρόταση είναι λανθασμένη.

Σωστή απάντηση: Σ

1️⃣ Παραγοντοποίηση αριθμητή

\( x^2-3x+2=(x-1)(x-2) \)

2️⃣ Απλοποίηση

\( f(x)=\dfrac{(x-1)(x-2)}{(x-1)^2} =\dfrac{x-2}{x-1} \), για \(x\ne1\)

3️⃣ Μονοπλεύρα όρια

\( \displaystyle \lim_{x\to1^+} f(x)=-\infty \)

\( \displaystyle \lim_{x\to1^-} f(x)=+\infty \)

Το όριο δεν είναι πεπερασμένο.

4️⃣ Συμπέρασμα για ασύμπτωτη

Η ευθεία \(x=1\) είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

Η πρόταση είναι σωστή.

Σωστή απάντηση: Λ

1️⃣ Πότε ορίζεται η \(1/f'(x)\)

Η παράσταση \( \dfrac{1}{f'(x)} \) ορίζεται μόνο όταν:

\( f'(x)\ne0 \)

2️⃣ Πότε μηδενίζεται η \(f'(x)\)

Η παράγωγος μηδενίζεται στα σημεία όπου η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης είναι οριζόντια.

(τοπικά ακρότατα ή οριζόντια σημεία καμπής)

Από το σχήμα υπάρχουν τέτοια σημεία μέσα στο διάστημα (1,4).

3️⃣ Πεδίο ορισμού

Το πεδίο ορισμού της \(1/f'\) είναι το (1,4) χωρίς τα σημεία όπου \( f'(x)=0 \).

Άρα δεν είναι όλο το (1,4).

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

Η πρόταση είναι λανθασμένη.

Σωστή απάντηση: Σ

1️⃣ Υπολογισμός \( (f\circ g)'(0) \)

\( (f\circ g)'(0)=f'(g(0))\cdot g'(0) \)

\( g(0)=5,\quad f'(5)=6,\quad g'(0)=1 \)

\( (f\circ g)'(0)=6\cdot1=6 \)

2️⃣ Υπολογισμός \( (g\circ f)'(0) \)

\( (g\circ f)'(0)=g'(f(0))\cdot f'(0) \)

\( f(0)=4,\quad g'(4)=2,\quad f'(0)=3 \)

\( (g\circ f)'(0)=2\cdot3=6 \)

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

Και οι δύο παράγωγοι είναι ίσες με 6, άρα η πρόταση είναι σωστή.

Σωστή απάντηση: Σ

1️⃣ Ύπαρξη ρίζας (Θεώρημα Bolzano)

Η \(f\) είναι πολυωνυμική, άρα συνεχής στο ℝ.

\( f(-1)=(-1)^3+(-1)+1=-1 \)

\( f(0)=1 \)

\( f(-1)\cdot f(0)＜0 \), άρα υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα στο \((-1,0)\).

2️⃣ Μοναδικότητα ρίζας

\( f'(x)=3x^2+1 \)

\( 3x^2+1＞0 \) για κάθε \(x\)

Άρα η \(f\) είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ, επομένως μηδενίζεται το πολύ μία φορά.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

Η \(f\) έχει μία και μοναδική ρίζα στο \((-1,0)\).

Σωστή απάντηση: Σ

1️⃣ Γραμμικότητα ολοκληρώματος

Το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι γραμμικός τελεστής.

\( \displaystyle \int (f+g)=\int f+\int g \)

Η ιδιότητα ισχύει για κάθε ολοκληρώσιμες συναρτήσεις στο διάστημα \([α,β]\).

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

Η πρόταση είναι σωστή.

Σωστή απάντηση: Λ

1️⃣ Ιδιότητες ολοκληρώματος

Το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι γραμμικό:

\( \displaystyle \int (f+g) = \int f + \int g \)

Δεν υπάρχει αντίστοιχη ιδιότητα για γινόμενο.

2️⃣ Αντιπαράδειγμα

Στο διάστημα \([0,1]\) θέτουμε:

\( f(x)=x \), \( g(x)=x \)

\( \displaystyle \int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{3} \)

\( \displaystyle \int_0^1 x dx = \frac{1}{2} \)

\( \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{4} \)

\( \frac{1}{3} \ne \frac{1}{4} \)

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

Το ολοκλήρωμα δεν διατηρεί το γινόμενο.

Σωστή απάντηση: Σ

1️⃣ Θεωρητική βάση

Για κάθε συνάρτηση ισχύει:

\( \displaystyle \int_{a}^{a} f(x)\,dx = 0 \)

γιατί το διάστημα έχει μήκος μηδέν.

2️⃣ Γεωμετρική ερμηνεία

Το ορισμένο ολοκλήρωμα εκφράζει εμβαδό. Σε διάστημα μηδενικού μήκους δεν υπάρχει εμβαδό.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

Αν \( \alpha=\beta \), τότε \( \displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} f(x)\,dx=0 \).

Σωστή απάντηση: Σ

1️⃣ ΥΠΑΡΞΗ ΠΑΡΑΓΟΥΣΑΣ

Εφόσον η \(f\) είναι συνεχής στο \([\alpha,\beta]\), υπάρχει παράγουσα \(F\) της \(f\), δηλαδή \(F'(x)=f(x)\).

2️⃣ ΧΡΗΣΗ ΘΕΜΕΛΙΩΔΟΥΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ

\( \displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} f(x)\,dx =F(\beta)-F(\alpha)=0 \)

\( F(\beta)=F(\alpha) \)

3️⃣ ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE

Η \(F\) είναι συνεχής στο \([\alpha,\beta]\) και παραγωγίσιμη στο \((\alpha,\beta)\), ενώ \(F(\alpha)=F(\beta)\).

Άρα υπάρχει \( \xi\in(\alpha,\beta) \) ώστε:

\( F'(\xi)=0 \)

\( f(\xi)=0 \)

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

Υπάρχει \( \xi\in(\alpha,\beta) \) με \( f(\xi)=0 \).

ΤΙ ΔΙΝΕΤΑΙ

\( \displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} f(x)\,dx=0 \)

και η \( f \) δεν είναι παντού μηδενική.

Ιδιότητα ολοκληρώματος

Αν \( f(x)\ge 0 \) για κάθε \(x\in[\alpha,\beta]\), τότε \( \displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} f(x)\,dx \ge 0 \), και αν η \(f\) δεν είναι παντού μηδενική, τότε το ολοκλήρωμα είναι \(＞0\).

Αντίστοιχα, αν \( f(x)\le 0 \) παντού και δεν είναι παντού μηδενική, τότε το ολοκλήρωμα είναι \(＜0\).

Απόδειξη με άτοπο

Υποθέτουμε ότι η \( f \) δεν παίρνει ετερόσημες τιμές. Τότε είναι ομόσημη σε όλο το \([\alpha,\beta]\).

Άρα το ολοκλήρωμα θα ήταν θετικό ή αρνητικό, αφού η \(f\) δεν είναι παντού μηδενική. Αυτό όμως αντιφάσκει με \( \displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} f(x)\,dx=0 \).

Συμπέρασμα

Η \(f\) δεν είναι ομόσημη, άρα παίρνει τουλάχιστον μία θετική και μία αρνητική τιμή.

ΤΕΛΙΚΟ: Η πρόταση είναι Σωστή.

Σωστή απάντηση: Λ

1️⃣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΟ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟ ΕΜΒΑΔΟΝ

Το ορισμένο ολοκλήρωμα δίνει αλγεβρικό εμβαδόν, όπου τα τμήματα κάτω από τον άξονα αφαιρούνται.

2️⃣ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

\( f(x)=x^3-x=x(x-1)(x+1) \)

Μηδενίζεται στα \(x=-1,0,1\).

Στο \((-1,0)\): \( f(x)＞0 \)
Στο \((0,1)\): \( f(x)＜0 \)

3️⃣ ΤΙ ΔΙΝΕΙ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

Η συνάρτηση είναι περιττή, άρα:

\( \displaystyle \int_{-1}^{1}(x^3-x)\,dx=0 \)

Τα θετικά και αρνητικά τμήματα αλληλοαναιρούνται.

4️⃣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΕΜΒΑΔΟΝ

Το γεωμετρικό εμβαδόν είναι:

\( \displaystyle \int_{-1}^{1}|x^3-x|\,dx \)

που είναι θετικός αριθμός.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

Το ολοκλήρωμα δεν παριστάνει το εμβαδόν. Η πρόταση είναι λανθασμένη.

Εξήγηση

1️⃣ Ορισμός 1–1 (ενέσιμης συνάρτησης)

Μια συνάρτηση είναι 1–1 όταν:

αν \( f(x_1)=f(x_2) \) τότε \( x_1=x_2 \).

2️⃣ Τι σημαίνει το δεδομένο

Η συνάρτηση είναι 1–1 χωριστά:

στο \((-\infty,0]\)

στο \([0,+\infty)\)

Δηλαδή μέσα σε κάθε ένα από αυτά τα διαστήματα δεν παίρνει την ίδια τιμή δύο φορές.

Όμως αυτό δεν αποκλείει να παίρνει την ίδια τιμή σε ένα αρνητικό και σε ένα θετικό x.

3️⃣ Αντιπαράδειγμα

\( f(x)=x^2 \)

Η \( f \) είναι:

1–1 στο \((-\infty,0]\)

1–1 στο \([0,+\infty)\)

αλλά:

\( f(-1)=f(1)=1 \)

Άρα διαφορετικά x δίνουν ίδια τιμή.

4️⃣ Συμπέρασμα

Η 1–1 ιδιότητα σε δύο διαστήματα χωριστά δεν εγγυάται 1–1 σε όλο το \( \mathbb{R} \).

Εξήγηση

1️⃣ Ιδέα

Για να ισχύει \( f(x)g(x)=0 \) για κάθε \(x\), πρέπει για κάθε x τουλάχιστον μία από τις δύο συναρτήσεις να είναι ίση με 0.

Όμως καμία από τις δύο δεν πρέπει να είναι η μηδενική συνάρτηση.

2️⃣ Κατασκευή

\( f(x)= \begin{cases} 1, & x\le 0 \\ 0, & x>0 \end{cases} \)

\( g(x)= \begin{cases} 0, & x\le 0 \\ 1, & x>0 \end{cases} \)

3️⃣ Έλεγχος

Αν \( x\le0 \), τότε \( f(x)=1 \) και \( g(x)=0 \), άρα \( f(x)g(x)=0 \).

Αν \( x>0 \), τότε \( f(x)=0 \) και \( g(x)=1 \), άρα \( f(x)g(x)=0 \).

4️⃣ Συμπέρασμα

Για κάθε \( x\in\mathbb{R} \) ισχύει \( f(x)g(x)=0 \), ενώ καμία από τις δύο συναρτήσεις δεν είναι μηδενική.

Εξήγηση

1️⃣ Τι ζητά η άσκηση

Θέλουμε συνάρτηση που:

• να είναι 1–1
• να μην είναι γνησίως μονότονη

2️⃣ Παράδειγμα

\( f(x)= \begin{cases} x, & x\le 0 \\ \dfrac{1}{x}, & x>0 \end{cases} \)

3️⃣ Γιατί είναι 1–1

Για \(x\le 0\) ισχύει \(f(x)=x\), που είναι γνησίως αύξουσα.

Για \(x>0\) ισχύει \(f(x)=\dfrac{1}{x}\), που είναι γνησίως φθίνουσα.

Αν \(x\le 0\) τότε \(f(x)\le 0\), ενώ αν \(x>0\) τότε \(f(x)>0\).

Άρα δεν μπορούν να υπάρξουν διαφορετικά x με ίδια τιμή συνάρτησης.

Επομένως η f είναι 1–1.

4️⃣ Γιατί δεν είναι γνησίως μονότονη

Στο \((-\infty,0]\) η συνάρτηση είναι αύξουσα, ενώ στο \((0,+\infty)\) είναι φθίνουσα.

Αλλάζει δηλαδή μονοτονία, άρα δεν είναι γνησίως μονότονη στο σύνολο του πεδίου ορισμού.

Συμπέρασμα

Η f είναι 1–1 αλλά όχι γνησίως μονότονη.

Εξήγηση

1️⃣ Ορισμός 1–1 συνάρτησης

Μια συνάρτηση λέγεται 1–1 όταν:

αν \( f(x_1)=f(x_2) \) τότε \( x_1=x_2 \).

2️⃣ Πότε δεν είναι 1–1

Η συνάρτηση δεν είναι 1–1 όταν υπάρχουν διαφορετικά x που έχουν ίδια εικόνα.

Υπάρχουν \( x_1\ne x_2 \) ώστε \( f(x_1)=f(x_2) \).

3️⃣ Γεωμετρική ερμηνεία

Μια οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε περισσότερα από ένα σημεία.

Συμπέρασμα

Η f δεν είναι 1–1 όταν διαφορετικές τιμές του x δίνουν την ίδια τιμή της συνάρτησης.

Εξήγηση

1️⃣ Ορισμός γνησίως αύξουσας

Μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα όταν:

αν \( x_1

2️⃣ Πότε δεν είναι γνησίως αύξουσα

Δεν είναι γνησίως αύξουσα όταν υπάρχει τουλάχιστον ένα ζεύγος σημείων όπου η διάταξη δεν διατηρείται.

Υπάρχουν \( x_1

3️⃣ Ερμηνεία

Δηλαδή η συνάρτηση:

• είτε μένει σταθερή σε κάποιο σημείο
• είτε μειώνεται σε κάποιο διάστημα

Συμπέρασμα

Η f δεν είναι γνησίως αύξουσα όταν υπάρχουν \( x_1

Εξήγηση

1️⃣ Ιδέα

Θέλουμε οι δύο συναρτήσεις να έχουν το ίδιο όριο στο \(+\infty\), αλλά η διαφορά τους να τείνει σε σταθερό αριθμό.

2️⃣ Παράδειγμα

\( f(x)=x+1 \)

\( g(x)=x \)

3️⃣ Έλεγχος

\( \displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty \)

\( \displaystyle \lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty \)

\( f(x)-g(x)=1 \Rightarrow \lim_{x\to+\infty}(f(x)-g(x))=1 \)

Συμπέρασμα

Οι συναρτήσεις ικανοποιούν τις ζητούμενες συνθήκες.

1️⃣ Θεώρημα ορίου αθροίσματος

Το όριο του αθροίσματος δύο συναρτήσεων ισούται με το άθροισμα των ορίων τους, εφόσον ισχύουν οι κατάλληλες προϋποθέσεις.

2️⃣ Απαραίτητη συνθήκη

Πρέπει να υπάρχουν τα όρια των δύο συναρτήσεων στο σημείο και να είναι πεπερασμένα.

\( \displaystyle \lim_{x\to0}f(x)=L_1 \)

\( \displaystyle \lim_{x\to0}g(x)=L_2 \)

3️⃣ Συμπέρασμα

\( \displaystyle \lim_{x\to0}(f(x)+g(x))=L_1+L_2 \).

1️⃣ Τι ζητά η άσκηση

Θέλουμε συνάρτηση ώστε:

• \( \displaystyle \lim_{x\to0}|f(x)|=1 \)
• να μην υπάρχει \( \displaystyle \lim_{x\to0}f(x) \)

2️⃣ Κατασκευή συνάρτησης

\( f(x)= \begin{cases} 1, & x＞0 \\ -1, & x＜0 \end{cases} \)

3️⃣ Έλεγχος απόλυτης τιμής

\( |f(x)|=1 \) για κάθε \(x\ne0 \)

Άρα: \( \displaystyle \lim_{x\to0}|f(x)|=1 \)

4️⃣ Έλεγχος ορίου της f

\( \displaystyle \lim_{x\to0^-}f(x)=-1 \)

\( \displaystyle \lim_{x\to0^+}f(x)=1 \)

Τα μονόπλευρα όρια είναι διαφορετικά, άρα το όριο της f στο 0 δεν υπάρχει.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

Υπάρχει συνάρτηση με \( \displaystyle \lim_{x\to0}|f(x)|=1 \) αλλά χωρίς όριο στο 0.

1️⃣ Ιδέα

Θέλουμε συναρτήσεις που δεν είναι συνεχείς στο 0, αλλά να έχουν διαφορετική συμπεριφορά στο διάστημα \([0,1]\).

2️⃣ Παράδειγμα (α)

\( f(x)= \begin{cases} 1,& x＜0\\ x,& x\ge0 \end{cases} \)

Στο 0:

\( \lim_{x\to0^-}f(x)=1 \), \( \lim_{x\to0^+}f(x)=0 \)

Άρα δεν είναι συνεχής στο 0.

Όμως στο \([0,1]\) ισχύει \( f(x)=x \), που είναι συνεχής.

3️⃣ Παράδειγμα (β)

\( f(x)= \begin{cases} 0,& x\ne0\\ 1,& x=0 \end{cases} \)

\( \lim_{x\to0}f(x)=0 \), αλλά \( f(0)=1 \).

Άρα δεν είναι συνεχής στο 0 και συνεπώς δεν είναι συνεχής στο \([0,1]\).

1️⃣ Ιδέα

Θέλουμε η \( g \) να μην είναι παραγωγίσιμη στο 0, αλλά η σύνθεση \( f\circ g \) να «διορθώνει» τη γωνία.

2️⃣ Παράδειγμα

\( f(x)=x^2 \)

\( g(x)=|x| \)

3️⃣ Έλεγχος

Η \( g(x)=|x| \) δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0, επειδή:

\( g'_-(0)=-1 \), \( g'_+(0)=1 \).

Όμως:

\( (f\circ g)(x)=f(|x|)=|x|^2=x^2 \).

Η συνάρτηση \( x^2 \) είναι παραγωγίσιμη στο 0.

Συμπέρασμα

Υπάρχουν συναρτήσεις όπου η g δεν είναι παραγωγίσιμη, αλλά η σύνθεση \( f\circ g \) είναι.

1️⃣ Ιδέα

Αν μια συνάρτηση είναι σταθερή σε κάθε συνδεδεμένο κομμάτι του πεδίου ορισμού της, τότε η παράγωγος είναι 0 εκεί.

Το σύνολο \( \mathbb{R}^*=\mathbb{R}\setminus\{0\} \) έχει δύο διαστήματα:

\( (-\infty,0) \) και \( (0,+\infty) \).

2️⃣ Παράδειγμα

\( f(x)= \begin{cases} 1,& x>0\\ 2,& x<0 \end{cases} \)

3️⃣ Έλεγχος

Στο \( (0,+\infty) \) η f είναι σταθερή, άρα \( f'(x)=0 \).

Στο \( (-\infty,0) \) επίσης είναι σταθερή, άρα \( f'(x)=0 \).

Όμως:

\( f(x)=1 \) για \(x>0\) \( f(x)=2 \) για \(x<0\)

Άρα δεν είναι σταθερή συνολικά.

Συμπέρασμα

Υπάρχει μη σταθερή συνάρτηση με \( f'(x)=0 \) για κάθε \(x\ne0\).

1️⃣ Παράδειγμα

\( f(x)=|x| \)

2️⃣ Ακρότατο

Για κάθε \(x\) ισχύει:

\( |x|\ge0 \)

και:

\( f(0)=0 \)

Άρα η συνάρτηση έχει ελάχιστο στο 0.

3️⃣ Παράγωγος στο 0

Η αριστερή και δεξιά παράγωγος είναι:

\( f'_-(0)=-1 \)

\( f'_+(0)=1 \)

Δεν είναι ίσες, άρα η παράγωγος στο 0 δεν υπάρχει.

Συμπέρασμα

Η f έχει ακρότατο στο 0, αλλά δεν ισχύει \( f'(0)=0 \).

1️⃣ Παράδειγμα

\( f(x)=x^3 \)

2️⃣ Παράγωγος στο 0

\( f'(x)=3x^2 \)

\( f'(0)=0 \)

3️⃣ Έλεγχος ακροτάτου

Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ.

Άρα γύρω από το 0 παίρνει και μικρότερες και μεγαλύτερες τιμές.

Επομένως το 0 δεν είναι ακρότατο.

Συμπέρασμα

Μπορεί να ισχύει \( f'(0)=0 \) χωρίς να υπάρχει ακρότατο.

1️⃣ Παράδειγμα

\( f(x)=x^4 \)

2️⃣ Δεύτερη παράγωγος

\( f'(x)=4x^3 \)

\( f''(x)=12x^2 \)

\( f''(0)=0 \)

3️⃣ Έλεγχος καμπής

Για να υπάρχει σημείο καμπής, η δεύτερη παράγωγος πρέπει να αλλάζει πρόσημο.

Όμως:

\( 12x^2 \ge 0 \) για κάθε x.

Άρα η συνάρτηση είναι κυρτή παντού και δεν αλλάζει καμπυλότητα.

Συμπέρασμα

Μπορεί να ισχύει \( f''(0)=0 \) χωρίς να υπάρχει σημείο καμπής.

1️⃣ Θεώρημα ακροτάτου

Αν μία συνάρτηση παρουσιάζει ακρότατο σε εσωτερικό σημείο διαστήματος και είναι παραγωγίσιμη, τότε:

\( f'(r)=0 \)

2️⃣ Εφαρμογή

Δίνεται ότι:

\( f'(r)=1\ne0 \)

Άρα το \(r\) δεν μπορεί να είναι εσωτερικό σημείο.

3️⃣ Δομή διαστήματος

Το πεδίο ορισμού είναι:

\( [0,+\infty) \)

Το μοναδικό άκρο είναι το 0.

4️⃣ Συμπέρασμα

\( r=0 \)

1️⃣ Ιδέα

Η κυρτότητα δεν απαιτεί αυστηρά θετική δεύτερη παράγωγο παντού. Αρκεί να μην αλλάζει πρόσημο.

2️⃣ Παράδειγμα

\( f(x)=x^4 \)

\( f''(x)=12x^2 \)

\( f''(0)=0 \)

3️⃣ Έλεγχος κυρτότητας

Για κάθε x:

\( f''(x)\ge0 \)

Δεν αλλάζει πρόσημο, άρα η συνάρτηση είναι κυρτή.

4️⃣ Συμπέρασμα

Μία κυρτή συνάρτηση μπορεί να έχει \( f''(x)=0 \) σε σημεία.

Εξήγηση

1️⃣ Τι γνωρίζουμε

Η συνάρτηση είναι κυρτή χωριστά στα δύο διαστήματα:

(-∞,0] και [0,+∞).

Το μόνο σημείο που μένει να ελεγχθεί είναι το σημείο ένωσης \( x=0 \).

2️⃣ Απαραίτητη συνθήκη

Για να είναι κυρτή σε όλο το ℝ, πρέπει:

• να είναι συνεχής στο 0
• να μην δημιουργείται «γωνία» που αλλάζει την κυρτότητα

Ισοδύναμα (αν υπάρχει παράγωγος):

η παράγωγος να είναι αύξουσα και να ισχύει \( f'_-(0)\le f'_+(0) \).

3️⃣ Συμπέρασμα

Η f είναι κυρτή σε όλο το ℝ όταν η κυρτότητα «συνεχίζεται» στο σημείο 0, δηλαδή δεν αλλάζει η γεωμετρική μορφή στο σημείο ένωσης.

1️⃣ Δεδομένα

f συνεχής στο [0,1]

f(x) ≥ 0

\( \displaystyle \int_{0}^{1}f(x)\,dx=0 \)

2️⃣ Απόδειξη με άτοπο

Υποθέτουμε ότι υπάρχει σημείο x₀ με:

f(x₀) ＞ 0

Λόγω συνέχειας υπάρχει μικρό διάστημα όπου f(x)>0.

Άρα το εμβαδόν είναι θετικό:

\( \displaystyle \int_{0}^{1}f(x)\,dx ＞ 0 \)

άτοπο.

3️⃣ Συμπέρασμα

Δεν υπάρχει σημείο όπου f(x)>0.

Εφόσον f(x)≥0 ⇒ f(x)=0 παντού.

4️⃣ Τελικό αποτέλεσμα

f(x)=0 για κάθε x∈[0,1].

1️⃣ Βασική ιδέα

Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο 0, τότε πρέπει να ισχύει

\( \displaystyle \lim_{x\to0} f'(x)=f'(0) \).

2️⃣ Υπολογισμός ορίου (κανόνας de l’Hospital)

Για \(x\ne0\) έχουμε \(f'(x)=x^2\).

Γράφουμε τεχνητά:

\( x^2=\dfrac{x^3}{x} \)

Τότε:

\( \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{x^3}{x} \) είναι μορφή \(0/0\), άρα εφαρμόζουμε de l’Hospital.

\( \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{x^3}{x} =\lim_{x\to0}\frac{3x^2}{1}=0 \)

Άρα:

\( \displaystyle \lim_{x\to0} f'(x)=0 \)

3️⃣ Σύγκριση με την τιμή στο 0

\( f'(0)=1 \)

Όμως:

\( 0\ne1 \)

4️⃣ Συμπέρασμα

Το όριο της παραγώγου στο 0 δεν είναι ίσο με την τιμή της στο 0.

Άρα τέτοια συνάρτηση δεν υπάρχει.

1️⃣ Πεδίο ορισμού

Η συνάρτηση \( \frac{1}{x} \) δεν ορίζεται στο 0.

2️⃣ Διάστημα ολοκλήρωσης

Το 0 ανήκει στο διάστημα \([-1,1]\).

3️⃣ Συμπέρασμα

Το ολοκλήρωμα είναι μη κανονικό και δεν έχει έννοια ως ορισμένο ολοκλήρωμα.

1️⃣ Τι εκφράζει το ολοκλήρωμα

Το ορισμένο ολοκλήρωμα \( \displaystyle \int_{0}^{1}f(x)\,dx \) προκύπτει από τα «προσημασμένα» εμβαδά:

• όπου η γραφική παράσταση είναι πάνω από τον άξονα \(x'x\), οι επιφάνειες προστίθενται
• όπου είναι κάτω από τον άξονα \(x'x\), οι επιφάνειες αφαιρούνται

2️⃣ Τι εκφράζει το \(E(\Omega)\)

Το \(E(\Omega)\) είναι το γεωμετρικό εμβαδόν του χωρίου.

Κάθε επιφάνεια μετριέται θετικά, είτε βρίσκεται πάνω είτε κάτω από τον άξονα \(x'x\).

3️⃣ Σύγκριση

Όταν τμήμα της γραφικής παράστασης βρίσκεται κάτω από τον άξονα, το ολοκλήρωμα μειώνεται, ενώ το γεωμετρικό εμβαδόν συνεχίζει να αυξάνεται.

Άρα το γεωμετρικό εμβαδόν δεν μπορεί να είναι μικρότερο από την τιμή του ολοκληρώματος.

Συμπέρασμα

\( \displaystyle E(\Omega)\ge\int_{0}^{1}f(x)\,dx \)

1️⃣ Δεδομένα

Η συνάρτηση f είναι περιττή, δηλαδή:

\( f(-x) = -f(x) \)

Θέλουμε το ολοκλήρωμα στο συμμετρικό διάστημα [-1,1].

2️⃣ Γεωμετρική ερμηνεία

Για κάθε x>0 ισχύει:

f(-x) = -f(x)

Άρα τα εμβαδά στα διαστήματα:

[-1,0] και [0,1]

είναι ίσα σε μέτρο και αντίθετα σε πρόσημο.

3️⃣ Ιδιότητα ορισμένου ολοκληρώματος

Το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι άθροισμα αλγεβρικών εμβαδών.

Τα συμμετρικά τμήματα αλληλοαναιρούνται.

4️⃣ Συμπέρασμα

\( \displaystyle \int_{-1}^{1} f(x)\,dx = 0 \)