01_ergasia_08 Όρια σε αριθμό

08_Όρια σε αριθμό

Θεωρία

Πώς υπολογίζουμε το όριο μιας ρητής συνάρτησης στο \(x_0\), όταν με την αντικατάσταση δεν μηδενίζεται ο παρονομαστής;

Αν ο παρονομαστής δεν μηδενίζεται για \(x=x_0\), τότε το όριο υπολογίζεται με απλή αντικατάσταση. Δηλαδή, αν: \[ f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)} \] και: \[ Q(x_0)\neq0 \] τότε: \[ \lim_{x\to x_0}\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{P(x_0)}{Q(x_0)} \] Άρα το όριο ισούται με την τιμή της συνάρτησης στο \(x_0\).

Τι κάνουμε όταν σε μια ρητή συνάρτηση η αντικατάσταση δίνει απροσδιοριστία \(\frac00\);

Όταν με την αντικατάσταση προκύπτει: \[ \frac00 \] τότε δεν μπορούμε να βγάλουμε άμεσα συμπέρασμα. Σε αυτή την περίπτωση παραγοντοποιούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή. Στόχος είναι να εμφανιστεί κοινός παράγοντας, συνήθως της μορφής: \[ x-x_0 \] Τον απλοποιούμε και μετά υπολογίζουμε ξανά το όριο.

Τι κάνουμε όταν σε μια ρητή συνάρτηση μηδενίζεται ο παρονομαστής, αλλά δεν μηδενίζεται ο αριθμητής;

Αν στο \(x_0\) μηδενίζεται ο παρονομαστής αλλά ο αριθμητής δεν μηδενίζεται, τότε η συνάρτηση γίνεται απεριόριστη κοντά στο \(x_0\). Σε αυτή την περίπτωση εξετάζουμε υποχρεωτικά τα πλευρικά όρια: \[ \lim_{x\to x_0^-}f(x) \] και \[ \lim_{x\to x_0^+}f(x) \] Τα πλευρικά όρια μπορεί να είναι \(+\infty\) ή \(-\infty\), ανάλογα με το πρόσημο του παρονομαστή δεξιά και αριστερά του \(x_0\).

Ποια είναι η βασική τεχνική για την άρση της απροσδιοριστίας \(\frac00\), όταν εμφανίζονται τετραγωνικές ρίζες;

Όταν εμφανίζονται τετραγωνικές ρίζες και προκύπτει απροσδιοριστία: \[ \frac00 \] η βασική τεχνική είναι ο πολλαπλασιασμός με τη συζυγή παράσταση. Για παράδειγμα, η συζυγής της παράστασης: \[ \sqrt{A}-\sqrt{B} \] είναι: \[ \sqrt{A}+\sqrt{B} \] Με αυτόν τον τρόπο χρησιμοποιούμε την ταυτότητα: \[ (\sqrt{A}-\sqrt{B})(\sqrt{A}+\sqrt{B})=A-B \] και έτσι μπορεί να απλοποιηθεί η απροσδιοριστία.

Πώς αντιμετωπίζουμε όρια με ρίζες περιττής τάξης, όπως κυβικές ρίζες, όταν εμφανίζεται απροσδιοριστία \(\frac00\);

Στις ρίζες περιττής τάξης, όπως οι κυβικές ρίζες, δεν χρησιμοποιούμε συζυγή παράσταση όπως στις τετραγωνικές ρίζες. Συνήθως χρησιμοποιούμε γνωστές αλγεβρικές ταυτότητες, όπως: \[ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) \] ή κάνουμε κατάλληλη αλλαγή μεταβλητής. Στόχος είναι να μετατρέψουμε την παράσταση ώστε να εμφανιστεί κοινός παράγοντας και να αρθεί η απροσδιοριστία.

Ποια τεχνική εφαρμόζουμε όταν στο όριο εμφανίζονται ριζικά διαφορετικής τάξης που δημιουργούν απροσδιοριστία;

Όταν εμφανίζονται ριζικά διαφορετικής τάξης, είναι συχνά χρήσιμη η αλλαγή μεταβλητής. Στόχος είναι να μετατραπούν όλα τα ριζικά στην ίδια τάξη. Για παράδειγμα, αν εμφανίζονται ταυτόχρονα: \[ \sqrt{x} \] και \[ \sqrt[3]{x} \] θέτουμε: \[ x=t^6 \] οπότε: \[ \sqrt{x}=t^3 \] και \[ \sqrt[3]{x}=t^2 \] Έτσι η παράσταση απλοποιείται σημαντικά και μπορούμε να υπολογίσουμε το όριο ευκολότερα.

Πώς χειριζόμαστε τα όρια με απόλυτες τιμές όταν η παράσταση μέσα στο απόλυτο μηδενίζεται στο \(x_0\);

Όταν η παράσταση μέσα στο απόλυτο μηδενίζεται στο \(x_0\), δεν γνωρίζουμε άμεσα το πρόσημό της κοντά στο σημείο αυτό. Γι' αυτό εξετάζουμε το πρόσημο αριστερά και δεξιά του \(x_0\). Συνήθως υπολογίζουμε τα πλευρικά όρια: \[ \lim_{x\to x_0^-}f(x) \] και \[ \lim_{x\to x_0^+}f(x) \] ώστε να αντικαταστήσουμε σωστά το απόλυτο με: \[ |A|=A \] ή \[ |A|=-A \] ανάλογα με το πρόσημο της παράστασης.

Ποια είναι τα δύο βασικά τριγωνομετρικά όρια στα οποία προσπαθούμε να αναχθούμε για να λύσουμε τριγωνομετρικές απροσδιοριστίες;

Τα δύο βασικά τριγωνομετρικά όρια είναι: \[ \lim_{x\to0}\frac{\eta\mu x}{x}=1 \] ή ισοδύναμα: \[ \lim_{x\to0}\frac{x}{\eta\mu x}=1 \] και \[ \lim_{x\to0}\frac{\sigmaυν x-1}{x}=0 \] ή ισοδύναμα: \[ \lim_{x\to0}\frac{1-\sigmaυν x}{x}=0 \] Κατά την επίλυση ασκήσεων προσπαθούμε με κατάλληλους μετασχηματισμούς να εμφανίσουμε αυτά τα γνωστά όρια.

Σε ποιες περιπτώσεις είναι υποχρεωτικό να εξετάζουμε πλευρικά όρια σε μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου;

Πλευρικά όρια εξετάζουμε υποχρεωτικά όταν αναζητούμε το όριο στο σημείο όπου αλλάζει ο τύπος της συνάρτησης. Δηλαδή όταν η συνάρτηση δίνεται με διαφορετικό τύπο αριστερά και δεξιά του ίδιου σημείου. Τότε υπολογίζουμε: \[ \lim_{x\to x_0^-}f(x) \] και \[ \lim_{x\to x_0^+}f(x) \] Αν τα δύο πλευρικά όρια είναι ίσα, υπάρχει το συνολικό όριο. Αν είναι διαφορετικά, το όριο δεν υπάρχει.

Είναι δυνατόν να ορίζεται μόνο το ένα πλευρικό όριο μιας συνάρτησης στο \(x_0\) και αυτό να ταυτίζεται με το συνολικό όριο;

Ναι. Αυτό συμβαίνει όταν το \(x_0\) είναι άκρο του πεδίου ορισμού της συνάρτησης. Για παράδειγμα, αν το πεδίο ορισμού είναι: \[ (\alpha,x_0] \] τότε μπορούμε να προσεγγίσουμε το \(x_0\) μόνο από αριστερά. Στην περίπτωση αυτή ορίζεται μόνο το όριο: \[ \lim_{x\to x_0^-}f(x) \] και αυτό ταυτίζεται με το συνολικό όριο: \[ \lim_{x\to x_0}f(x) \] Ανάλογα, αν το \(x_0\) είναι αριστερό άκρο του πεδίου ορισμού, χρησιμοποιούμε μόνο το δεξιό όριο.

Σωστό - Λάθος

\(\displaystyle\lim_{x\to0}\left(\frac{\etaμx}{x}\right)=1\)

Σωστό.

Πρόκειται για το βασικό τριγωνομετρικό όριο \(\lim_{x\to0}\frac{\etaμx}{x}=1\).

\(\displaystyle\lim_{x\to0}\left(\frac{\epsilonφx}{x}\right)=0\)

Λάθος.

Ισχύει \(\lim_{x\to0}\frac{\epsilonφx}{x}=1\).

Αν \(\displaystyle\lim_{x\to x_0}\left(\frac{\etaμx}{x}\right)=1\), τότε είναι \(x_0=0\)

Σωστό.

Η συνάρτηση \(\frac{\etaμx}{x}\) είναι συνεχής για \(x\neq0\). Για \(x_0\neq0\) ισχύει \(\lim_{x\to x_0}\frac{\etaμx}{x}=\frac{\etaμx_0}{x_0}\), το οποίο δεν είναι ίσο με \(1\). Άρα αναγκαστικά \(x_0=0\).

\(\displaystyle\lim_{x\to0}\left(\frac{\sigmaυνx-1}{x}\right)=0\)

Σωστό.

Επειδή \(1-\sigmaυν x=2\etaμ^2\frac{x}{2}\), προκύπτει ότι \(\lim_{x\to0}\frac{\sigmaυν x-1}{x}=0\).

Αν \(f(x)=\ln x\), τότε \(\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)=-\infty\)

Λάθος.

Η \(\ln x\) ορίζεται μόνο για \(x>0\). Άρα το δίπλευρο όριο στο \(0\) δεν υπάρχει. Ισχύει μόνο \(\lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty\).

Αν \(f(x)=\dfrac1{|x|}\), τότε \(\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)=+\infty\)

Σωστό.

Καθώς \(x\to0\), έχουμε \(|x|\to0^+\), επομένως \(\frac1{|x|}\to+\infty\).

Αν \(\displaystyle f(x)=\frac{x-1}{x^2-x}\), τότε δεν υπάρχει το \(\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)\)

Σωστό.

Για \(x\neq0,1\) ισχύει \(\frac{x-1}{x^2-x}=\frac{x-1}{x(x-1)}=\frac1x\). Επομένως το όριο \(\lim_{x\to0}\frac1x\) δεν υπάρχει.

\(\displaystyle\lim_{x\to0}\left(\frac{\sigmaυνx}{x}\right)=1\)

Λάθος.

Καθώς \(x\to0\), έχουμε \(\sigmaυν x\to1\) και \(x\to0\). Η παράσταση συμπεριφέρεται όπως \(\frac1x\), επομένως το όριο δεν υπάρχει.

\(\displaystyle\lim_{x\to0}\left(\frac{x}{x^3}\right)=+\infty\)

Σωστό.

Για \(x\neq0\) ισχύει \(\frac{x}{x^3}=\frac1{x^2}\). Επειδή \(\lim_{x\to0}\frac1{x^2}=+\infty\), το συμπέρασμα είναι σωστό.

Θέματα

Να βρείτε την τιμή του ορίου: \[ \lim_{x\to2}\frac{x^3-8}{x^3-x^2-x-2} \]

Με αντικατάσταση \(x=2\) παίρνουμε: \[ \frac{2^3-8}{2^3-2^2-2-2} = \frac00 \] Παραγοντοποιούμε: \[ x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4) \] και: \[ x^3-x^2-x-2=(x-2)(x^2+x+1) \] Άρα: \[ \frac{x^3-8}{x^3-x^2-x-2} = \frac{x^2+2x+4}{x^2+x+1} \] Επομένως: \[ \lim_{x\to2}\frac{x^3-8}{x^3-x^2-x-2} = \frac{2^2+2\cdot2+4}{2^2+2+1} = \frac{12}{7} \]

Να βρείτε την τιμή του ορίου: \[ \lim_{x\to2}\frac{\sqrt{x^2+5}-3}{x^2-x-2} \]

Με αντικατάσταση \(x=2\) παίρνουμε: \[ \frac{\sqrt{2^2+5}-3}{2^2-2-2} = \frac00 \] Πολλαπλασιάζουμε με τη συζυγή παράσταση: \[ \frac{\sqrt{x^2+5}-3}{x^2-x-2}\cdot \frac{\sqrt{x^2+5}+3}{\sqrt{x^2+5}+3} \] Ο αριθμητής γίνεται: \[ x^2+5-9=x^2-4=(x-2)(x+2) \] Ο παρονομαστής είναι: \[ x^2-x-2=(x-2)(x+1) \] Άρα: \[ \frac{x^2-4}{(x^2-x-2)(\sqrt{x^2+5}+3)} = \frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+1)(\sqrt{x^2+5}+3)} \] Απλοποιούμε το \(x-2\): \[ \frac{x+2}{(x+1)(\sqrt{x^2+5}+3)} \] Επομένως: \[ \lim_{x\to2}\frac{x+2}{(x+1)(\sqrt{x^2+5}+3)} = \frac{4}{3\cdot6} = \frac29 \]

Να βρείτε την τιμή του ορίου: \[ \lim_{x\to1}\frac{\sqrt{x+8}-3}{\sqrt{x+3}-2} \]

Με αντικατάσταση \(x=1\) παίρνουμε: \[ \frac{\sqrt{9}-3}{\sqrt{4}-2} = \frac00 \] Για να αποφύγουμε τα δύο ριζικά, θέτουμε: \[ t=\sqrt{x+3} \] Τότε: \[ t^2=x+3 \] άρα: \[ x=t^2-3 \] Όταν \(x\to1\), έχουμε: \[ t\to2 \] Επίσης: \[ \sqrt{x+8}=\sqrt{t^2+5} \] Άρα το όριο γίνεται: \[ \lim_{t\to2}\frac{\sqrt{t^2+5}-3}{t-2} \] Πολλαπλασιάζουμε με τη συζυγή: \[ \frac{\sqrt{t^2+5}-3}{t-2}\cdot \frac{\sqrt{t^2+5}+3}{\sqrt{t^2+5}+3} \] Παίρνουμε: \[ \frac{t^2+5-9}{(t-2)(\sqrt{t^2+5}+3)} = \frac{t^2-4}{(t-2)(\sqrt{t^2+5}+3)} \] \[ = \frac{(t-2)(t+2)}{(t-2)(\sqrt{t^2+5}+3)} \] Άρα: \[ \lim_{t\to2}\frac{t+2}{\sqrt{t^2+5}+3} = \frac{4}{3+3} = \frac23 \] Επομένως: \[ \boxed{\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{x+8}-3}{\sqrt{x+3}-2}=\frac23} \]

Να βρείτε την τιμή του ορίου: \[ \lim_{x\to1}\frac{x+|x-2|-2}{x-1} \]

Κοντά στο \(1\), ισχύει: \[ x-2<0 \] Άρα: \[ |x-2|=-(x-2)=2-x \] Επομένως: \[ x+|x-2|-2 = x+(2-x)-2 = 0 \] Άρα για \(x\) κοντά στο \(1\): \[ \frac{x+|x-2|-2}{x-1} = \frac0{x-1} = 0 \] Επομένως: \[ \boxed{\lim_{x\to1}\frac{x+|x-2|-2}{x-1}=0} \]

Να βρείτε την τιμή του ορίου: \[ \lim_{x\to-1}\frac{|x-1|+|x+1|-2}{x+1} \]

Κοντά στο \(-1\), ισχύει: \[ x-1<0 \] Άρα: \[ |x-1|=1-x \] Το \(|x+1|\) αλλάζει τύπο στο \(-1\), άρα εξετάζουμε πλευρικά όρια. Για \(x<-1\), έχουμε: \[ |x+1|=-(x+1)=-x-1 \] Άρα: \[ |x-1|+|x+1|-2 = (1-x)+(-x-1)-2 = -2x-2 = -2(x+1) \] Επομένως: \[ \frac{|x-1|+|x+1|-2}{x+1} = \frac{-2(x+1)}{x+1} = -2 \] Άρα: \[ \lim_{x\to-1^-}\frac{|x-1|+|x+1|-2}{x+1}=-2 \] Για \(x>-1\), έχουμε: \[ |x+1|=x+1 \] Άρα: \[ |x-1|+|x+1|-2 = (1-x)+(x+1)-2 = 0 \] Επομένως: \[ \frac{|x-1|+|x+1|-2}{x+1}=0 \] Άρα: \[ \lim_{x\to-1^+}\frac{|x-1|+|x+1|-2}{x+1}=0 \] Επειδή: \[ -2\neq0 \] το συνολικό όριο δεν υπάρχει.

Να βρείτε την τιμή του ορίου: \[ \lim_{x\to0}\frac{1-\sigmaυν^3x}{\eta\mu^2x} \]

Παραγοντοποιούμε τον αριθμητή: \[ 1-\sigmaυν^3x=(1-\sigmaυν x)(1+\sigmaυν x+\sigmaυν^2x) \] Άρα: \[ \frac{1-\sigmaυν^3x}{\eta\mu^2x} = \frac{(1-\sigmaυν x)(1+\sigmaυν x+\sigmaυν^2x)}{\eta\mu^2x} \] Χρησιμοποιούμε την ταυτότητα: \[ 1-\sigmaυν x=\frac{\eta\mu^2x}{1+\sigmaυν x} \] Άρα: \[ \frac{1-\sigmaυν^3x}{\eta\mu^2x} = \frac{\frac{\eta\mu^2x}{1+\sigmaυν x}(1+\sigmaυν x+\sigmaυν^2x)}{\eta\mu^2x} \] Απλοποιούμε: \[ = \frac{1+\sigmaυν x+\sigmaυν^2x}{1+\sigmaυν x} \] Παίρνουμε το όριο: \[ \lim_{x\to0} \frac{1+\sigmaυν x+\sigmaυν^2x}{1+\sigmaυν x} = \frac{1+1+1}{1+1} = \frac32 \] Επομένως: \[ \boxed{\lim_{x\to0}\frac{1-\sigmaυν^3x}{\eta\mu^2x}=\frac32} \]

Να βρείτε την τιμή του ορίου: \[ \lim_{x\to0}\frac{100^x-1}{10^x-1} \]

Επειδή: \[ 100^x=(10^2)^x=10^{2x} \] θέτουμε: \[ t=10^x \] Όταν \(x\to0\), έχουμε: \[ t\to1 \] Το όριο γίνεται: \[ \lim_{t\to1}\frac{t^2-1}{t-1} \] Παραγοντοποιούμε: \[ t^2-1=(t-1)(t+1) \] Άρα: \[ \frac{t^2-1}{t-1}=t+1 \] Επομένως: \[ \lim_{t\to1}(t+1)=2 \] Άρα: \[ \boxed{\lim_{x\to0}\frac{100^x-1}{10^x-1}=2} \]

Δίνεται η συνάρτηση: \[ f(x)= \begin{cases} x^2+3, & x>1\\ x^2+1, & x\le1 \end{cases} \] Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει το όριο της \(f\) στο σημείο \(1\).

Υπολογίζουμε τα πλευρικά όρια στο \(1\). Για \(x\to1^-\), χρησιμοποιούμε τον τύπο: \[ f(x)=x^2+1 \] Άρα: \[ \lim_{x\to1^-}f(x)=1^2+1=2 \] Για \(x\to1^+\), χρησιμοποιούμε τον τύπο: \[ f(x)=x^2+3 \] Άρα: \[ \lim_{x\to1^+}f(x)=1^2+3=4 \] Επειδή: \[ 2\neq4 \] τα δύο πλευρικά όρια είναι διαφορετικά. Επομένως: \[ \boxed{\lim_{x\to1}f(x)\ \text{δεν υπάρχει}} \]

Να βρείτε την τιμή του \(\lambda\in\mathbb{R}\), ώστε να ανήκει στο \(\mathbb{R}\) το όριο: \[ \lim_{x\to1}\frac{\lambda x-1}{x-1} \]

Για να είναι το όριο πραγματικός αριθμός, δεν πρέπει το κλάσμα να οδηγείται στο άπειρο. Ο παρονομαστής μηδενίζεται στο \(x=1\): \[ x-1=0 \] Άρα πρέπει να μηδενίζεται και ο αριθμητής στο \(x=1\). Έτσι: \[ \lambda\cdot1-1=0 \] \[ \lambda-1=0 \] \[ \lambda=1 \] Για \(\lambda=1\), έχουμε: \[ \frac{\lambda x-1}{x-1} = \frac{x-1}{x-1} = 1 \] Άρα: \[ \boxed{\lambda=1} \] και το όριο είναι: \[ \lim_{x\to1}1=1 \]

Να βρείτε την τιμή του \(\mu\in\mathbb{R}\), ώστε να υπάρχει το όριο: \[ \lim_{x\to0}\frac{x^2-2x+\mu}{x} \] και στη συνέχεια να υπολογίσετε την τιμή του ορίου.

Ο παρονομαστής μηδενίζεται στο \(x=0\). Για να υπάρχει πεπερασμένο όριο, πρέπει να μηδενίζεται και ο αριθμητής στο \(x=0\). Άρα: \[ 0^2-2\cdot0+\mu=0 \] \[ \mu=0 \] Για \(\mu=0\), η παράσταση γίνεται: \[ \frac{x^2-2x}{x} \] Παραγοντοποιούμε: \[ \frac{x(x-2)}{x} \] Για \(x\neq0\), απλοποιούμε: \[ x-2 \] Επομένως: \[ \lim_{x\to0}(x-2)=-2 \] Άρα: \[ \boxed{\mu=0} \] και: \[ \boxed{\lim_{x\to0}\frac{x^2-2x+\mu}{x}=-2} \]

Τέλος