07_Βασικές έννοιες ορίων
1
Τι γνωρίζουμε για το πρόσημο μιας συνάρτησης κοντά στο \(x_0\), αν γνωρίζουμε ότι:
\[
\lim_{x\to x_0}f(x)>0
\]
ή
\[
\lim_{x\to x_0}f(x)<0
\]
Αν:
\[
\lim_{x\to x_0}f(x)>0
\]
τότε υπάρχει περιοχή γύρω από το \(x_0\) μέσα στην οποία:
\[
f(x)>0
\]
Αντίστοιχα, αν:
\[
\lim_{x\to x_0}f(x)<0
\]
τότε υπάρχει περιοχή γύρω από το \(x_0\) μέσα στην οποία:
\[
f(x)<0
\]
Δηλαδή το πρόσημο του ορίου καθορίζει το πρόσημο της συνάρτησης κοντά στο σημείο.
2
Αν μία συνάρτηση είναι θετική κοντά στο \(x_0\) και υπάρχει το όριό της, είναι βέβαιο ότι και το όριο θα είναι θετικό;
Όχι.
Αν:
\[
f(x)>0
\]
κοντά στο \(x_0\) και υπάρχει το όριό της, τότε μπορούμε να συμπεράνουμε μόνο ότι:
\[
\lim_{x\to x_0}f(x)\ge0
\]
Το όριο μπορεί να είναι θετικός αριθμός αλλά μπορεί και να είναι ίσο με το μηδέν.
Παράδειγμα:
\[
f(x)=x^2
\]
Για \(x\neq0\) ισχύει:
\[
f(x)>0
\]
όμως:
\[
\lim_{x\to0}x^2=0
\]
3
Ποιες προϋποθέσεις απαιτούνται για να εφαρμόσουμε το Κριτήριο Παρεμβολής;
Πρέπει κοντά στο \(x_0\) να ισχύει:
\[
h(x)\le f(x)\le g(x)
\]
και επιπλέον:
\[
\lim_{x\to x_0}h(x)=l
\]
και
\[
\lim_{x\to x_0}g(x)=l
\]
δηλαδή τα δύο ακραία όρια να υπάρχουν και να είναι ίσα.
Τότε:
\[
\lim_{x\to x_0}f(x)=l
\]
Αυτό είναι το Κριτήριο Παρεμβολής.
4
Τι συμπεραίνουμε αν κοντά στο \(x_0\) ισχύει:
\[
f(x)\ge g(x)
\]
και
\[
\lim_{x\to x_0}g(x)=+\infty
\]
Αφού η συνάρτηση \(g(x)\) τείνει στο \(+\infty\) και η \(f(x)\) είναι μεγαλύτερη ή ίση από αυτήν κοντά στο \(x_0\), η \(f(x)\) αναγκαστικά τείνει επίσης στο \(+\infty\).
Άρα:
\[
\lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty
\]
5
Πώς υπολογίζουμε το όριο μιας συνάρτησης πολλαπλού τύπου στο σημείο όπου αλλάζει ο τύπος της;
Όταν ο τύπος της συνάρτησης είναι διαφορετικός αριστερά και δεξιά του σημείου αλλαγής, υπολογίζουμε υποχρεωτικά τα δύο πλευρικά όρια.
Δηλαδή:
\[
\lim_{x\to x_0^-}f(x)
\]
και
\[
\lim_{x\to x_0^+}f(x)
\]
Αν τα δύο πλευρικά όρια είναι ίσα, τότε υπάρχει το συνολικό όριο.
Αν είναι διαφορετικά, τότε το όριο δεν υπάρχει.
6
Ποιες είναι οι επτά βασικές απροσδιόριστες μορφές;
Οι βασικές απροσδιόριστες μορφές είναι:
\[
+\infty-\infty
\]
\[
0\cdot(\pm\infty)
\]
\[
\frac00
\]
\[
\frac{\pm\infty}{\pm\infty}
\]
\[
0^0
\]
\[
1^{\pm\infty}
\]
\[
(+\infty)^0
\]
Οι μορφές αυτές δεν επιτρέπουν άμεσο υπολογισμό του ορίου και απαιτούν μετασχηματισμούς.
7
Αποτελεί απροσδιόριστη μορφή το πηλίκο:
\[
\frac1{\pm\infty}
\]
Όχι.
Η μορφή:
\[
\frac1{\pm\infty}
\]
δεν είναι απροσδιόριστη.
Ισχύει:
\[
\frac1{\pm\infty}=0
\]
Άρα το αντίστοιχο όριο είναι ίσο με μηδέν.
8
Πότε επιτρέπεται η διάσπαση ή η σύμπτυξη ορίων;
Η διάσπαση ή η σύμπτυξη επιτρέπεται όταν υπάρχουν τα επιμέρους όρια και δεν δημιουργείται καμία απροσδιόριστη μορφή.
Για παράδειγμα:
\[
\lim(f(x)+g(x))
=
\lim f(x)+\lim g(x)
\]
μόνο όταν η πράξη στο δεύτερο μέλος δεν οδηγεί σε μορφή όπως:
\[
+\infty-\infty
\]
ή άλλη απροσδιοριστία.
9
Επιτρέπεται να μεταφέρουμε ένα όριο από το ένα μέλος μιας ισότητας στο άλλο;
Η μεταφορά επιτρέπεται μόνο όταν το όριο είναι πεπερασμένος αριθμός.
Για παράδειγμα, αν:
\[
\lim f(x)=\lim g(x)=l
\]
τότε μπορούμε να γράψουμε:
\[
\lim(f(x)-g(x))=0
\]
όταν το \(l\) είναι πραγματικός αριθμός.
Δεν επιτρέπεται γενικά όταν εμφανίζονται άπειρα, γιατί μπορεί να προκύψει απροσδιοριστία.
10
Τι συμπεραίνουμε αν γνωρίζουμε ότι:
\[
\lim_{x\to x_0}|f(x)|=0
\]
Αν:
\[
\lim_{x\to x_0}|f(x)|=0
\]
τότε είναι βέβαιο ότι:
\[
\lim_{x\to x_0}f(x)=0
\]
Η μοναδική τιμή που μπορεί να έχει απόλυτη τιμή ίση με μηδέν είναι το μηδέν.
Προσοχή:
Αν ισχύει:
\[
\lim_{x\to x_0}|f(x)|=L
\]
με \(L\neq0\), τότε δεν μπορούμε να συμπεράνουμε με βεβαιότητα το όριο της \(f(x)\) χωρίς επιπλέον πληροφορίες για το πρόσημό της.
Σωστό - Λάθος
1
Να εξετάσετε αν ισχύει η ισοδυναμία: \(\displaystyle \lim_{x\to1}f(x)=1 \iff \displaystyle \lim_{x\to1}(f(x)-1)=0\).
Η πρόταση είναι Σωστή.
Αν \(\displaystyle \lim_{x\to1}f(x)=1\), τότε \(\displaystyle \lim_{x\to1}(f(x)-1)=\displaystyle \lim_{x\to1}f(x)-1=1-1=0\).
Αντίστροφα, αν \(\displaystyle \lim_{x\to1}(f(x)-1)=0\), τότε \(\displaystyle \lim_{x\to1}f(x)-1=0\), άρα \(\displaystyle \lim_{x\to1}f(x)=1\).
Αν \(\displaystyle \lim_{x\to1}f(x)=1\), τότε \(\displaystyle \lim_{x\to1}(f(x)-1)=\displaystyle \lim_{x\to1}f(x)-1=1-1=0\).
Αντίστροφα, αν \(\displaystyle \lim_{x\to1}(f(x)-1)=0\), τότε \(\displaystyle \lim_{x\to1}f(x)-1=0\), άρα \(\displaystyle \lim_{x\to1}f(x)=1\).
2
Να εξετάσετε αν ισχύει η ισοδυναμία: \(\displaystyle \lim_{x\to1}f(x)=1 \iff \displaystyle \lim_{h\to0}f(1+h)=1\).
Η πρόταση είναι Σωστή.
Θέτουμε \(x=1+h\). Όταν \(h\to0\), τότε \(x\to1\). Επομένως το όριο \(\displaystyle \lim_{h\to0}f(1+h)\) είναι το ίδιο με το \(\displaystyle \lim_{x\to1}f(x)\). Άρα οι δύο προτάσεις είναι ισοδύναμες.
Θέτουμε \(x=1+h\). Όταν \(h\to0\), τότε \(x\to1\). Επομένως το όριο \(\displaystyle \lim_{h\to0}f(1+h)\) είναι το ίδιο με το \(\displaystyle \lim_{x\to1}f(x)\). Άρα οι δύο προτάσεις είναι ισοδύναμες.
3
Να εξετάσετε αν είναι σωστή η πρόταση:
\(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}x^{κ}=+\infty\).
Η πρόταση είναι Σωστή.
Αφού \(κ\) είναι θετικός ακέραιος, η δύναμη \(x^{κ}\) μεγαλώνει απεριόριστα όταν \(x\to+\infty\). Άρα \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}x^{κ}=+\infty\).
Αφού \(κ\) είναι θετικός ακέραιος, η δύναμη \(x^{κ}\) μεγαλώνει απεριόριστα όταν \(x\to+\infty\). Άρα \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}x^{κ}=+\infty\).
4
Να εξετάσετε αν είναι σωστή η πρόταση: Για κάθε μη μηδενικό αρνητικό ακέραιο \(κ\), ισχύει \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}x^{κ}=0\).
Η πρόταση είναι Σωστή.
Αφού \(κ\) είναι αρνητικός ακέραιος, υπάρχει θετικός ακέραιος \(ν\), ώστε \(κ=-ν\). Τότε \(x^{κ}=x^{-ν}=\frac{1}{x^{ν}}\). Επειδή \(x^{ν}\to+\infty\), έχουμε \(\frac{1}{x^{ν}}\to0\). Άρα \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}x^{κ}=0\).
Αφού \(κ\) είναι αρνητικός ακέραιος, υπάρχει θετικός ακέραιος \(ν\), ώστε \(κ=-ν\). Τότε \(x^{κ}=x^{-ν}=\frac{1}{x^{ν}}\). Επειδή \(x^{ν}\to+\infty\), έχουμε \(\frac{1}{x^{ν}}\to0\). Άρα \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}x^{κ}=0\).
5
Να εξετάσετε αν είναι σωστή η πρόταση: Αν \(\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=L\), με \(L\in\mathbb{R}\), τότε \(\displaystyle \lim_{x\to x_0}|f(x)|=|L|\).
Η πρόταση είναι Σωστή.
Αφού \(\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=L\) και η απόλυτη τιμή είναι συνεχής συνάρτηση, παίρνουμε \(\displaystyle \lim_{x\to x_0}|f(x)|=\left|\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)\right|=|L|\).
Αφού \(\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=L\) και η απόλυτη τιμή είναι συνεχής συνάρτηση, παίρνουμε \(\displaystyle \lim_{x\to x_0}|f(x)|=\left|\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)\right|=|L|\).
6
Να εξετάσετε αν είναι σωστή η πρόταση: Αν \(\displaystyle \lim_{x\to0}(\sqrt{f(x)}-1)=1\), τότε \(\displaystyle \lim_{x\to0}\sqrt{f(x)}=2\iff\displaystyle \lim_{x\to0}f(x)=4\).
Η πρόταση είναι Σωστή.
Από την ιδιότητα των ορίων έχουμε: \[ \displaystyle \lim_{x\to0}\sqrt{f(x)}=\displaystyle \lim_{x\to0}(\sqrt{f(x)}-1)+1=2. \] Επειδή η συνάρτηση \(x^2\) είναι συνεχής, \[ \displaystyle \lim_{x\to0}f(x)=\left(\displaystyle \lim_{x\to0}\sqrt{f(x)}\right)^2=2^2=4. \] Άρα η πρόταση είναι σωστή.
Από την ιδιότητα των ορίων έχουμε: \[ \displaystyle \lim_{x\to0}\sqrt{f(x)}=\displaystyle \lim_{x\to0}(\sqrt{f(x)}-1)+1=2. \] Επειδή η συνάρτηση \(x^2\) είναι συνεχής, \[ \displaystyle \lim_{x\to0}f(x)=\left(\displaystyle \lim_{x\to0}\sqrt{f(x)}\right)^2=2^2=4. \] Άρα η πρόταση είναι σωστή.
7
Να εξετάσετε αν είναι σωστή η πρόταση: Αν \(\left(\displaystyle \lim_{x\to x_0^+}f(x)\right)^2+\left(\displaystyle \lim_{x\to x_0^-}f(x)\right)^2=0\), τότε \(\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=0\).
Η πρόταση είναι Σωστή.
Το άθροισμα δύο τετραγώνων είναι ίσο με μηδέν μόνο όταν και τα δύο τετράγωνα είναι μηδέν. Άρα: \[ \displaystyle \lim_{x\to x_0^-}f(x)=0 \quad\text{και}\quad \displaystyle \lim_{x\to x_0^+}f(x)=0. \] Εφόσον τα δύο πλευρικά όρια υπάρχουν και είναι ίσα, προκύπτει: \[ \displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=0. \]
Το άθροισμα δύο τετραγώνων είναι ίσο με μηδέν μόνο όταν και τα δύο τετράγωνα είναι μηδέν. Άρα: \[ \displaystyle \lim_{x\to x_0^-}f(x)=0 \quad\text{και}\quad \displaystyle \lim_{x\to x_0^+}f(x)=0. \] Εφόσον τα δύο πλευρικά όρια υπάρχουν και είναι ίσα, προκύπτει: \[ \displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=0. \]
8
Να εξετάσετε αν είναι σωστή η πρόταση: Αν υπάρχει το όριο \(\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)\), τότε ισχύει \(\displaystyle \lim_{x\to x_0^-}f(x)=\displaystyle \lim_{x\to x_0^+}f(x)\).
Η πρόταση είναι Σωστή.
Βασικό θεώρημα των ορίων: το όριο μιας συνάρτησης σε ένα σημείο υπάρχει αν και μόνο αν υπάρχουν τα δύο πλευρικά όρια και είναι ίσα μεταξύ τους.
Βασικό θεώρημα των ορίων: το όριο μιας συνάρτησης σε ένα σημείο υπάρχει αν και μόνο αν υπάρχουν τα δύο πλευρικά όρια και είναι ίσα μεταξύ τους.
9
Να εξετάσετε αν είναι σωστή η πρόταση: Αν \(\displaystyle \lim_{x\to0}|f(x)|=0\), τότε \(\displaystyle \lim_{x\to0}f(x)=0\).
Η πρόταση είναι Σωστή.
Ισχύει: \[ -|f(x)|\le f(x)\le|f(x)|. \] Επειδή \[ \displaystyle \lim_{x\to0}(-|f(x)|)=0 \quad\text{και}\quad \displaystyle \lim_{x\to0}|f(x)|=0, \] από το Κριτήριο Παρεμβολής προκύπτει: \[ \displaystyle \lim_{x\to0}f(x)=0. \]
Ισχύει: \[ -|f(x)|\le f(x)\le|f(x)|. \] Επειδή \[ \displaystyle \lim_{x\to0}(-|f(x)|)=0 \quad\text{και}\quad \displaystyle \lim_{x\to0}|f(x)|=0, \] από το Κριτήριο Παρεμβολής προκύπτει: \[ \displaystyle \lim_{x\to0}f(x)=0. \]
10
Να εξετάσετε αν είναι σωστή η πρόταση: Αν \(\displaystyle \lim_{x\to0}|f(x)|=1\), τότε \(\displaystyle \lim_{x\to0}f(x)=1\) ή \(\displaystyle \lim_{x\to0}f(x)=-1\).
Η πρόταση είναι Λάθος.
Αντιπαράδειγμα: \[ f(x)= \begin{cases} 1,&x>0\\ -1,&x<0. \end{cases} \] Τότε: \[ |f(x)|=1 \] για κάθε \(x\neq0\), άρα \[ \displaystyle \lim_{x\to0}|f(x)|=1. \] Όμως: \[ \displaystyle \lim_{x\to0^-}f(x)=-1 \quad\text{και}\quad \displaystyle \lim_{x\to0^+}f(x)=1, \] οπότε το \(\displaystyle \lim_{x\to0}f(x)\) δεν υπάρχει.
Αντιπαράδειγμα: \[ f(x)= \begin{cases} 1,&x>0\\ -1,&x<0. \end{cases} \] Τότε: \[ |f(x)|=1 \] για κάθε \(x\neq0\), άρα \[ \displaystyle \lim_{x\to0}|f(x)|=1. \] Όμως: \[ \displaystyle \lim_{x\to0^-}f(x)=-1 \quad\text{και}\quad \displaystyle \lim_{x\to0^+}f(x)=1, \] οπότε το \(\displaystyle \lim_{x\to0}f(x)\) δεν υπάρχει.
11
Να εξετάσετε αν είναι σωστή η πρόταση: Αν \(f(\mathbb{R})=(-1,1)\) και υπάρχει το όριο \(\lim_{x\to+\infty}f(x)\), τότε \(-1<\lim_{x\to+\infty}f(x)<1\).
Η πρόταση είναι Λάθος.
Από το γεγονός ότι \(f(\mathbb{R})=(-1,1)\) προκύπτει ότι όλες οι τιμές της συνάρτησης ανήκουν στο ανοικτό διάστημα \((-1,1)\). Το όριο όμως μπορεί να είναι ίσο με \(1\) ή με \(-1\), χωρίς η συνάρτηση να παίρνει ποτέ αυτές τις τιμές.
Παράδειγμα: \(f(x)=\dfrac{x}{x+1}\). Τότε \(f(x)<1\) για κάθε \(x>-1\), αλλά \[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=1. \]
Από το γεγονός ότι \(f(\mathbb{R})=(-1,1)\) προκύπτει ότι όλες οι τιμές της συνάρτησης ανήκουν στο ανοικτό διάστημα \((-1,1)\). Το όριο όμως μπορεί να είναι ίσο με \(1\) ή με \(-1\), χωρίς η συνάρτηση να παίρνει ποτέ αυτές τις τιμές.
Παράδειγμα: \(f(x)=\dfrac{x}{x+1}\). Τότε \(f(x)<1\) για κάθε \(x>-1\), αλλά \[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=1. \]
12
Να εξετάσετε αν είναι σωστή η πρόταση: Αν \(\lim_{x\to x_0}f(x)=\pm\infty\), τότε \(\lim_{x\to x_0}\dfrac1{f(x)}=0\).
Η πρόταση είναι Σωστή.
Αν \(f(x)\to+\infty\) ή \(f(x)\to-\infty\), τότε οι απόλυτες τιμές των \(f(x)\) γίνονται απεριόριστα μεγάλες, επομένως οι αντίστροφές τους γίνονται απεριόριστα μικρές. Άρα: \[ \lim_{x\to x_0}\frac1{f(x)}=0. \]
Αν \(f(x)\to+\infty\) ή \(f(x)\to-\infty\), τότε οι απόλυτες τιμές των \(f(x)\) γίνονται απεριόριστα μεγάλες, επομένως οι αντίστροφές τους γίνονται απεριόριστα μικρές. Άρα: \[ \lim_{x\to x_0}\frac1{f(x)}=0. \]
13
Να εξετάσετε αν είναι σωστή η πρόταση: Αν \(\lim_{x\to x_0}f(x)=0\), τότε πάντοτε \(\lim_{x\to x_0}\dfrac1{f(x)}=\pm\infty\).
Η πρόταση είναι Λάθος.
Παράδειγμα: \[ f(x)=x^2\sin\frac1x,\qquad x\neq0. \] Τότε: \[ \lim_{x\to0}f(x)=0, \] όμως η παράσταση \(\dfrac1{f(x)}\) δεν έχει όριο, επειδή η \(f(x)\) μηδενίζεται άπειρες φορές κοντά στο \(0\). Άρα δεν ισχύει γενικά ότι το αντίστροφο τείνει στο \(+\infty\) ή στο \(-\infty\).
Παράδειγμα: \[ f(x)=x^2\sin\frac1x,\qquad x\neq0. \] Τότε: \[ \lim_{x\to0}f(x)=0, \] όμως η παράσταση \(\dfrac1{f(x)}\) δεν έχει όριο, επειδή η \(f(x)\) μηδενίζεται άπειρες φορές κοντά στο \(0\). Άρα δεν ισχύει γενικά ότι το αντίστροφο τείνει στο \(+\infty\) ή στο \(-\infty\).
14
Να εξετάσετε αν είναι σωστή η πρόταση: Αν \(\lim_{x\to x_0}f(x)=-1\), τότε \(\lim_{x\to x_0}(f(x))^3=-1\).
Η πρόταση είναι Σωστή.
Η συνάρτηση \(g(x)=x^3\) είναι συνεχής στο \(\mathbb{R}\). Επομένως: \[ \lim_{x\to x_0}(f(x))^3=\left(\lim_{x\to x_0}f(x)\right)^3=(-1)^3=-1. \]
Η συνάρτηση \(g(x)=x^3\) είναι συνεχής στο \(\mathbb{R}\). Επομένως: \[ \lim_{x\to x_0}(f(x))^3=\left(\lim_{x\to x_0}f(x)\right)^3=(-1)^3=-1. \]
15
Να εξετάσετε αν είναι σωστή η πρόταση: Αν \(\lim_{x\to x_0}(x\,f(x))=+\infty\), τότε αποκλείεται να υπάρχει πραγματικός αριθμός \(L\) με \(\lim_{x\to x_0}f(x)=L\).
Η πρόταση είναι Σωστή.
Αν υπήρχε πραγματικός αριθμός \(L\) ώστε \(\lim_{x\to x_0}f(x)=L\), τότε θα ίσχυε: \[ \lim_{x\to x_0}(x\,f(x))=\left(\lim_{x\to x_0}x\right)\left(\lim_{x\to x_0}f(x)\right)=x_0L, \] που είναι πεπερασμένος πραγματικός αριθμός. Αυτό όμως αντιφάσκει με την υπόθεση ότι \[ \lim_{x\to x_0}(x\,f(x))=+\infty. \] Άρα η \(f(x)\) δεν μπορεί να έχει πεπερασμένο όριο στο \(x_0\).
Αν υπήρχε πραγματικός αριθμός \(L\) ώστε \(\lim_{x\to x_0}f(x)=L\), τότε θα ίσχυε: \[ \lim_{x\to x_0}(x\,f(x))=\left(\lim_{x\to x_0}x\right)\left(\lim_{x\to x_0}f(x)\right)=x_0L, \] που είναι πεπερασμένος πραγματικός αριθμός. Αυτό όμως αντιφάσκει με την υπόθεση ότι \[ \lim_{x\to x_0}(x\,f(x))=+\infty. \] Άρα η \(f(x)\) δεν μπορεί να έχει πεπερασμένο όριο στο \(x_0\).
16
Να εξετάσετε αν είναι σωστή η πρόταση: Για κάθε μη μηδενικό ακέραιο \(κ\), ισχύει \(\lim_{x\to0}x^{κ}=0\).
Η πρόταση είναι Λάθος.
Αν \(κ\) είναι θετικός ακέραιος, τότε πράγματι \(\lim_{x\to0}x^{κ}=0\). Όμως αν \(κ\) είναι αρνητικός ακέραιος, π.χ. \(κ=-1\), τότε \(x^{κ}=x^{-1}=\dfrac1x\), οπότε το \(\lim_{x\to0}\dfrac1x\) δεν υπάρχει ως πραγματικό όριο. Άρα η πρόταση είναι λάθος.
Αν \(κ\) είναι θετικός ακέραιος, τότε πράγματι \(\lim_{x\to0}x^{κ}=0\). Όμως αν \(κ\) είναι αρνητικός ακέραιος, π.χ. \(κ=-1\), τότε \(x^{κ}=x^{-1}=\dfrac1x\), οπότε το \(\lim_{x\to0}\dfrac1x\) δεν υπάρχει ως πραγματικό όριο. Άρα η πρόταση είναι λάθος.
17
Να εξετάσετε αν είναι σωστή η πρόταση: Αν \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) και \(\lim_{x\to0}f(x)>0\), τότε κοντά στο \(0\) είναι σίγουρα \(f(x)>0\).
Η πρόταση είναι Σωστή.
Αν το όριο της \(f(x)\) στο \(0\) είναι θετικός αριθμός, τότε οι τιμές της \(f(x)\), για \(x\) αρκετά κοντά στο \(0\), βρίσκονται κοντά σε έναν θετικό αριθμό. Επομένως είναι κι αυτές θετικές, δηλαδή \(f(x)>0\).
Αν το όριο της \(f(x)\) στο \(0\) είναι θετικός αριθμός, τότε οι τιμές της \(f(x)\), για \(x\) αρκετά κοντά στο \(0\), βρίσκονται κοντά σε έναν θετικό αριθμό. Επομένως είναι κι αυτές θετικές, δηλαδή \(f(x)>0\).
18
Να εξετάσετε αν είναι σωστή η πρόταση: Αν \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) και \(\lim_{x\to0}f(x)\ge0\), τότε κοντά στο \(0\) είναι \(f(x)\ge0\).
Η πρόταση είναι Λάθος.
Αν το όριο είναι θετικό, τότε η συνάρτηση είναι θετική κοντά στο \(0\). Αν όμως το όριο είναι \(0\), δεν είναι βέβαιο ότι η συνάρτηση είναι μη αρνητική κοντά στο \(0\). Για παράδειγμα, για \(f(x)=-x^2\) έχουμε \(\lim_{x\to0}f(x)=0\), αλλά \(f(x)<0\) για κάθε \(x\neq0\). Άρα η πρόταση είναι λάθος.
Αν το όριο είναι θετικό, τότε η συνάρτηση είναι θετική κοντά στο \(0\). Αν όμως το όριο είναι \(0\), δεν είναι βέβαιο ότι η συνάρτηση είναι μη αρνητική κοντά στο \(0\). Για παράδειγμα, για \(f(x)=-x^2\) έχουμε \(\lim_{x\to0}f(x)=0\), αλλά \(f(x)<0\) για κάθε \(x\neq0\). Άρα η πρόταση είναι λάθος.
19
Να εξετάσετε αν είναι σωστή η πρόταση: Αν \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) και \(f(x)>0\) κοντά στο \(0\), τότε είναι πάντα \(\lim_{x\to0}f(x)>0\).
Η πρόταση είναι Λάθος.
Μια συνάρτηση μπορεί να είναι θετική κοντά στο \(0\), αλλά το όριό της να είναι \(0\). Για παράδειγμα, για \(f(x)=x^2\) ισχύει \(f(x)>0\) για κάθε \(x\neq0\), όμως \(\lim_{x\to0}x^2=0\). Άρα δεν είναι πάντα \(\lim_{x\to0}f(x)>0\).
Μια συνάρτηση μπορεί να είναι θετική κοντά στο \(0\), αλλά το όριό της να είναι \(0\). Για παράδειγμα, για \(f(x)=x^2\) ισχύει \(f(x)>0\) για κάθε \(x\neq0\), όμως \(\lim_{x\to0}x^2=0\). Άρα δεν είναι πάντα \(\lim_{x\to0}f(x)>0\).
20
Να εξετάσετε αν είναι σωστή η πρόταση: Αν \(h(x)\le f(x)\le g(x)\), \(\lim_{x\to0}f(x)=1\) και \(\lim_{x\to0}g(x)=1\), τότε είναι βέβαιο ότι \(\lim_{x\to0}h(x)=1\).
Η πρόταση είναι Λάθος.
Το Κριτήριο Παρεμβολής εφαρμόζεται όταν η μεσαία συνάρτηση βρίσκεται ανάμεσα σε δύο συναρτήσεις που έχουν το ίδιο όριο. Εδώ όμως έχουμε \(h(x)\le f(x)\le g(x)\) και ξέρουμε τα όρια των \(f,g\), όχι δύο άκρα που παρεμβάλλουν την \(h\). Για παράδειγμα, αν \(h(x)=0\), \(f(x)=1\) και \(g(x)=1\), τότε \(h(x)\le f(x)\le g(x)\), αλλά \(\lim_{x\to0}h(x)=0\neq1\). Άρα η πρόταση είναι λάθος.
Το Κριτήριο Παρεμβολής εφαρμόζεται όταν η μεσαία συνάρτηση βρίσκεται ανάμεσα σε δύο συναρτήσεις που έχουν το ίδιο όριο. Εδώ όμως έχουμε \(h(x)\le f(x)\le g(x)\) και ξέρουμε τα όρια των \(f,g\), όχι δύο άκρα που παρεμβάλλουν την \(h\). Για παράδειγμα, αν \(h(x)=0\), \(f(x)=1\) και \(g(x)=1\), τότε \(h(x)\le f(x)\le g(x)\), αλλά \(\lim_{x\to0}h(x)=0\neq1\). Άρα η πρόταση είναι λάθος.
21
Να εξετάσετε αν είναι σωστή η πρόταση: Αν κοντά στο \(0\) ισχύει \(0\le f(x)\le x^2\), τότε επειδή \(\lim_{x\to1}0=0\) και \(\lim_{x\to1}x^2=1\), είναι βέβαιο ότι δεν υπάρχει το \(\lim_{x\to1}f(x)\).
Η πρόταση είναι Λάθος.
Η ανισότητα δίνεται κοντά στο \(0\), ενώ τα όρια που χρησιμοποιούνται είναι για \(x\to1\). Δεν μπορούμε να χρησιμοποιούμε πληροφορία που ισχύει κοντά στο \(0\) για να βγάλουμε συμπέρασμα κοντά στο \(1\). Άρα το συμπέρασμα δεν είναι βέβαιο.
Η ανισότητα δίνεται κοντά στο \(0\), ενώ τα όρια που χρησιμοποιούνται είναι για \(x\to1\). Δεν μπορούμε να χρησιμοποιούμε πληροφορία που ισχύει κοντά στο \(0\) για να βγάλουμε συμπέρασμα κοντά στο \(1\). Άρα το συμπέρασμα δεν είναι βέβαιο.
22
Να εξετάσετε αν είναι σωστή η πρόταση: Αν \(m>0\) και \(\lim_{x\to+\infty}m^x=+\infty\), τότε \(m>1\) και \(\lim_{x\to-\infty}m^x=0\).
Η πρόταση είναι Σωστή.
Για την εκθετική συνάρτηση \(m^x\), όταν \(m>1\), ισχύει \(\lim_{x\to+\infty}m^x=+\infty\) και \(\lim_{x\to-\infty}m^x=0\). Άρα, αφού δίνεται ότι \(\lim_{x\to+\infty}m^x=+\infty\), πρέπει να είναι \(m>1\), και τότε πράγματι \(\lim_{x\to-\infty}m^x=0\).
Για την εκθετική συνάρτηση \(m^x\), όταν \(m>1\), ισχύει \(\lim_{x\to+\infty}m^x=+\infty\) και \(\lim_{x\to-\infty}m^x=0\). Άρα, αφού δίνεται ότι \(\lim_{x\to+\infty}m^x=+\infty\), πρέπει να είναι \(m>1\), και τότε πράγματι \(\lim_{x\to-\infty}m^x=0\).
23
Να εξετάσετε αν είναι σωστή η πρόταση: Αν \(m>0\) και \(\lim_{x\to+\infty}m^x=0\), τότε \(m<1\) και \(\lim_{x\to-\infty}m^x=+\infty\).
Η πρόταση είναι Σωστή.
Για την εκθετική συνάρτηση \(m^x\), όταν \(01\), όταν \(x\to-\infty\), έχουμε \(-x\to+\infty\), άρα \(m^x\to+\infty\). Επομένως \(\lim_{x\to-\infty}m^x=+\infty\).
Για την εκθετική συνάρτηση \(m^x\), όταν \(0
24
Να εξετάσετε αν είναι σωστή η πρόταση: Αν υπάρχει το όριο \(\lim_{x\to0}f(x)=L\), τότε είναι πάντα \(L=f(0)\).
Η πρόταση είναι Λάθος.
Το όριο στο \(0\) εξαρτάται από τις τιμές της συνάρτησης κοντά στο \(0\), όχι υποχρεωτικά από την τιμή της στο \(0\). Μπορεί να υπάρχει το \(\lim_{x\to0}f(x)=L\), αλλά να είναι \(f(0)\neq L\). Για παράδειγμα, αν \(f(x)=1\) για \(x\neq0\) και \(f(0)=5\), τότε \(\lim_{x\to0}f(x)=1\), αλλά \(f(0)=5\).
Το όριο στο \(0\) εξαρτάται από τις τιμές της συνάρτησης κοντά στο \(0\), όχι υποχρεωτικά από την τιμή της στο \(0\). Μπορεί να υπάρχει το \(\lim_{x\to0}f(x)=L\), αλλά να είναι \(f(0)\neq L\). Για παράδειγμα, αν \(f(x)=1\) για \(x\neq0\) και \(f(0)=5\), τότε \(\lim_{x\to0}f(x)=1\), αλλά \(f(0)=5\).
25
Να εξετάσετε αν είναι σωστή η πρόταση: Αν \(\lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty\) και \(\lim_{x\to x_0}g(x)=-\infty\), τότε αποκλείεται το \(\lim_{x\to x_0}(f(x)+g(x))\) να είναι πραγματικός αριθμός.
Η πρόταση είναι Λάθος.
Η μορφή \(+\infty-\infty\) είναι απροσδιόριστη. Αυτό σημαίνει ότι το άθροισμα μπορεί να έχει διάφορες συμπεριφορές, ακόμη και πεπερασμένο όριο. Παράδειγμα: αν \(f(x)=\frac1{x^2}+3\) και \(g(x)=-\frac1{x^2}\), τότε για \(x\to0\) έχουμε \(f(x)\to+\infty\), \(g(x)\to-\infty\), αλλά \(f(x)+g(x)=3\). Άρα \(\lim_{x\to0}(f(x)+g(x))=3\).
Η μορφή \(+\infty-\infty\) είναι απροσδιόριστη. Αυτό σημαίνει ότι το άθροισμα μπορεί να έχει διάφορες συμπεριφορές, ακόμη και πεπερασμένο όριο. Παράδειγμα: αν \(f(x)=\frac1{x^2}+3\) και \(g(x)=-\frac1{x^2}\), τότε για \(x\to0\) έχουμε \(f(x)\to+\infty\), \(g(x)\to-\infty\), αλλά \(f(x)+g(x)=3\). Άρα \(\lim_{x\to0}(f(x)+g(x))=3\).
26
Να εξετάσετε αν είναι σωστή η πρόταση: Αν υπάρχει το όριο \(\lim_{x\to x_0}(f(x)+g(x))\), τότε υπάρχουν και τα όρια \(\lim_{x\to x_0}f(x)\) και \(\lim_{x\to x_0}g(x)\).
Η πρόταση είναι Λάθος.
Παράδειγμα: \(f(x)=\sin\frac1x\) και \(g(x)=-\sin\frac1x\), για \(x\neq0\). Τότε: \[ f(x)+g(x)=0, \] άρα \[ \lim_{x\to0}(f(x)+g(x))=0. \] Όμως ούτε το \(\lim_{x\to0}f(x)\) ούτε το \(\lim_{x\to0}g(x)\) υπάρχουν.
Παράδειγμα: \(f(x)=\sin\frac1x\) και \(g(x)=-\sin\frac1x\), για \(x\neq0\). Τότε: \[ f(x)+g(x)=0, \] άρα \[ \lim_{x\to0}(f(x)+g(x))=0. \] Όμως ούτε το \(\lim_{x\to0}f(x)\) ούτε το \(\lim_{x\to0}g(x)\) υπάρχουν.
27
Να εξετάσετε αν είναι σωστή η πρόταση: Αν \(\lim_{x\to0}f(x)=-\infty\), τότε για τιμές του \(x\) κοντά στο \(0\) ισχύει \(f(x)<-2023\).
Η πρόταση είναι Σωστή.
Από τον ορισμό του ορίου \(-\infty\), για κάθε αρνητικό πραγματικό αριθμό \(M\), υπάρχει περιοχή γύρω από το \(0\) ώστε \(f(x)
Από τον ορισμό του ορίου \(-\infty\), για κάθε αρνητικό πραγματικό αριθμό \(M\), υπάρχει περιοχή γύρω από το \(0\) ώστε \(f(x)
28
Να εξετάσετε αν είναι σωστή η πρόταση: Αν \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\), τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα \(r\) ώστε \(f(r)>1\).
Η πρόταση είναι Σωστή.
Από τον ορισμό του ορίου στο \(+\infty\), για κάθε πραγματικό αριθμό \(M\), υπάρχει \(x_1\) ώστε για κάθε \(x>x_1\) να ισχύει \(f(x)>M\). Επιλέγοντας \(M=1\), υπάρχει κάποιο \(r>x_1\) με: \[ f(r)>1. \]
Από τον ορισμό του ορίου στο \(+\infty\), για κάθε πραγματικό αριθμό \(M\), υπάρχει \(x_1\) ώστε για κάθε \(x>x_1\) να ισχύει \(f(x)>M\). Επιλέγοντας \(M=1\), υπάρχει κάποιο \(r>x_1\) με: \[ f(r)>1. \]
29
Να εξετάσετε αν είναι σωστή η πρόταση: Οι πράξεις \(+\infty-\infty\), \(0\cdot(\pm\infty)\), \(\frac00\), \(\frac{\pm\infty}{\pm\infty}\) και \(\frac0{+\infty}\) είναι όλες απροσδιόριστες.
Η πρόταση είναι Λάθος.
Οι μορφές \[ +\infty-\infty,\quad 0\cdot(\pm\infty),\quad \frac00,\quad \frac{\pm\infty}{\pm\infty} \] είναι απροσδιόριστες. Όμως: \[ \frac0{+\infty}=0, \] άρα δεν αποτελεί απροσδιόριστη μορφή.
Οι μορφές \[ +\infty-\infty,\quad 0\cdot(\pm\infty),\quad \frac00,\quad \frac{\pm\infty}{\pm\infty} \] είναι απροσδιόριστες. Όμως: \[ \frac0{+\infty}=0, \] άρα δεν αποτελεί απροσδιόριστη μορφή.
30
Να εξετάσετε αν είναι σωστή η πρόταση: Αν \(f:(\alpha,x_0)\cup(x_0,\beta)\to\mathbb{R}\), τότε το \(\lim_{x\to x_0}f(x)\) είναι ανεξάρτητο των \(\alpha,\beta\).
Η πρόταση είναι Σωστή.
Το όριο μιας συνάρτησης εξαρτάται μόνο από τη συμπεριφορά της συνάρτησης σε σημεία αυθαίρετα κοντά στο \(x_0\) και όχι από τα άκρα \(\alpha,\beta\) του διαστήματος ορισμού. Αρκεί να μπορούμε να προσεγγίσουμε το \(x_0\) με άπειρα σημεία του πεδίου ορισμού.
Το όριο μιας συνάρτησης εξαρτάται μόνο από τη συμπεριφορά της συνάρτησης σε σημεία αυθαίρετα κοντά στο \(x_0\) και όχι από τα άκρα \(\alpha,\beta\) του διαστήματος ορισμού. Αρκεί να μπορούμε να προσεγγίσουμε το \(x_0\) με άπειρα σημεία του πεδίου ορισμού.
31
Να εξετάσετε αν είναι σωστή η πρόταση: Αν καθώς το \(x\) πλησιάζει το \(x_0\), οι τιμές της \(f(x)\) αυξάνονται απεριόριστα και γίνονται μεγαλύτερες από κάθε θετικό αριθμό, τότε γράφουμε \(\lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty\).
Η πρόταση είναι Σωστή.
Αυτός είναι ακριβώς ο ορισμός του ορίου \(+\infty\). Δηλαδή, για κάθε πραγματικό αριθμό \(M>0\), υπάρχει περιοχή γύρω από το \(x_0\) ώστε για κάθε \(x\) της περιοχής αυτής να ισχύει: \[ f(x)>M. \]
Αυτός είναι ακριβώς ο ορισμός του ορίου \(+\infty\). Δηλαδή, για κάθε πραγματικό αριθμό \(M>0\), υπάρχει περιοχή γύρω από το \(x_0\) ώστε για κάθε \(x\) της περιοχής αυτής να ισχύει: \[ f(x)>M. \]
32
Να εξετάσετε αν είναι σωστή η πρόταση: Αν \(\lim_{x\to x_0}f(x)=0\) και \(\lim_{x\to x_0}g(x)=L\), τότε \(\lim_{x\to x_0}(f(x)+g(x))=\lim_{x\to x_0}f(x)+\lim_{x\to x_0}g(x)\).
Η πρόταση είναι Σωστή.
Αφού υπάρχουν και τα δύο όρια και είναι πραγματικοί αριθμοί, εφαρμόζεται η ιδιότητα του αθροίσματος: \[ \lim_{x\to x_0}(f(x)+g(x)) = \lim_{x\to x_0}f(x)+\lim_{x\to x_0}g(x) = 0+L=L. \]
Αφού υπάρχουν και τα δύο όρια και είναι πραγματικοί αριθμοί, εφαρμόζεται η ιδιότητα του αθροίσματος: \[ \lim_{x\to x_0}(f(x)+g(x)) = \lim_{x\to x_0}f(x)+\lim_{x\to x_0}g(x) = 0+L=L. \]
33
Να εξετάσετε αν είναι σωστή η πρόταση: Για κάθε φυσικό αριθμό \(n\), ισχύει \(\lim_{x\to+\infty}x^n=+\infty\).
Η πρόταση είναι Σωστή.
Για κάθε θετικό ακέραιο \(n\), η δύναμη \(x^n\) αυξάνεται χωρίς φραγμό όταν \(x\to+\infty\). Επομένως: \[ \lim_{x\to+\infty}x^n=+\infty. \]
Για κάθε θετικό ακέραιο \(n\), η δύναμη \(x^n\) αυξάνεται χωρίς φραγμό όταν \(x\to+\infty\). Επομένως: \[ \lim_{x\to+\infty}x^n=+\infty. \]
34
Να εξετάσετε αν είναι σωστή η πρόταση: Για κάθε φυσικό αριθμό \(n\), ισχύει \(\lim_{x\to+\infty}\dfrac1{x^n}=0\).
Η πρόταση είναι Σωστή.
Εφόσον \(\lim_{x\to+\infty}x^n=+\infty\), παίρνοντας αντίστροφα προκύπτει: \[ \lim_{x\to+\infty}\frac1{x^n}=0. \]
Εφόσον \(\lim_{x\to+\infty}x^n=+\infty\), παίρνοντας αντίστροφα προκύπτει: \[ \lim_{x\to+\infty}\frac1{x^n}=0. \]
35
Να εξετάσετε αν είναι σωστή η πρόταση: Αν \(n\) είναι άρτιος, τότε \(\lim_{x\to-\infty}x^n=+\infty\), ενώ αν \(n\) είναι περιττός, τότε \(\lim_{x\to-\infty}x^n=-\infty\). Επίσης, για κάθε φυσικό αριθμό \(n\), ισχύει \(\lim_{x\to-\infty}\dfrac1{x^n}=0\).
Η πρόταση είναι Σωστή.
Για άρτιο \(n\), οι αρνητικοί αριθμοί υψωμένοι σε άρτια δύναμη γίνονται θετικοί, επομένως: \[ \lim_{x\to-\infty}x^n=+\infty. \] Για περιττό \(n\), διατηρείται το αρνητικό πρόσημο και: \[ \lim_{x\to-\infty}x^n=-\infty. \] Και στις δύο περιπτώσεις η απόλυτη τιμή του \(x^n\) τείνει στο \(+\infty\), άρα: \[ \lim_{x\to-\infty}\frac1{x^n}=0. \]
Για άρτιο \(n\), οι αρνητικοί αριθμοί υψωμένοι σε άρτια δύναμη γίνονται θετικοί, επομένως: \[ \lim_{x\to-\infty}x^n=+\infty. \] Για περιττό \(n\), διατηρείται το αρνητικό πρόσημο και: \[ \lim_{x\to-\infty}x^n=-\infty. \] Και στις δύο περιπτώσεις η απόλυτη τιμή του \(x^n\) τείνει στο \(+\infty\), άρα: \[ \lim_{x\to-\infty}\frac1{x^n}=0. \]
36
Να εξετάσετε αν είναι σωστή η πρόταση: Αν κοντά στο \(x_1\) ισχύει \(f(x)<0\) ή \(f(x)\le0\) και υπάρχει το όριο \(\lim_{x\to x_1}f(x)=\lambda_1\), τότε \(\lambda_1\le0\).
Η πρόταση είναι Σωστή.
Αν κοντά στο \(x_1\) η συνάρτηση είναι αρνητική ή μη θετική, τότε το όριό της, εφόσον υπάρχει, δεν μπορεί να είναι θετικός αριθμός. Άρα \(\lambda_1\le0\).
Αν κοντά στο \(x_1\) η συνάρτηση είναι αρνητική ή μη θετική, τότε το όριό της, εφόσον υπάρχει, δεν μπορεί να είναι θετικός αριθμός. Άρα \(\lambda_1\le0\).
37
Να εξετάσετε αν είναι σωστή η πρόταση: Αν κοντά στο \(x_2\) ισχύει \(f(x)>0\) ή \(f(x)\ge0\) και υπάρχει το όριο \(\lim_{x\to x_2}f(x)=\lambda_2\), τότε \(\lambda_2\ge0\).
Η πρόταση είναι Σωστή.
Αν κοντά στο \(x_2\) η συνάρτηση είναι θετική ή μη αρνητική, τότε το όριό της, εφόσον υπάρχει, δεν μπορεί να είναι αρνητικός αριθμός. Άρα \(\lambda_2\ge0\).
Αν κοντά στο \(x_2\) η συνάρτηση είναι θετική ή μη αρνητική, τότε το όριό της, εφόσον υπάρχει, δεν μπορεί να είναι αρνητικός αριθμός. Άρα \(\lambda_2\ge0\).
38
Αν υπάρχει το όριο \(\lim_{x\to0}f(x)=L\), μπορούμε πάντα να γράφουμε:
\[
\lim_{x\to0}\bigl(xf(x)\bigr)=\left(\lim_{x\to0}x\right)\left(\lim_{x\to0}f(x)\right)=0\cdot L=0;
\]
Να εξετάσετε αν η παραπάνω διαδικασία είναι σωστή.
Η πρόταση είναι Σωστή.
Αφού υπάρχουν τα δύο όρια \[ \lim_{x\to0}x=0 \quad\text{και}\quad \lim_{x\to0}f(x)=L, \] με \(L\in\mathbb{R}\), εφαρμόζεται ο κανόνας του γινομένου: \[ \lim_{x\to0}(xf(x)) = \left(\lim_{x\to0}x\right) \left(\lim_{x\to0}f(x)\right) = 0\cdot L = 0. \] Επομένως η διαδικασία είναι σωστή.
Αφού υπάρχουν τα δύο όρια \[ \lim_{x\to0}x=0 \quad\text{και}\quad \lim_{x\to0}f(x)=L, \] με \(L\in\mathbb{R}\), εφαρμόζεται ο κανόνας του γινομένου: \[ \lim_{x\to0}(xf(x)) = \left(\lim_{x\to0}x\right) \left(\lim_{x\to0}f(x)\right) = 0\cdot L = 0. \] Επομένως η διαδικασία είναι σωστή.
39
Να εξετάσετε αν είναι σωστή η πρόταση: Επιτρέπεται κάθε διάσπαση ή σύμπτυξη ορίων, αρκεί να υπάρχουν τα επιμέρους όρια και να μην προκύπτει απροσδιόριστη μορφή.
Η πρόταση είναι Σωστή.
Οι ιδιότητες των ορίων εφαρμόζονται μόνο όταν υπάρχουν τα αντίστοιχα όρια και οι πράξεις που προκύπτουν δεν οδηγούν σε απροσδιόριστες μορφές, όπως \(+\infty-\infty\), \(0\cdot\infty\), \(\frac00\) ή \(\frac{\infty}{\infty}\). Στην περίπτωση αυτή η διάσπαση και η σύμπτυξη επιτρέπονται.
Οι ιδιότητες των ορίων εφαρμόζονται μόνο όταν υπάρχουν τα αντίστοιχα όρια και οι πράξεις που προκύπτουν δεν οδηγούν σε απροσδιόριστες μορφές, όπως \(+\infty-\infty\), \(0\cdot\infty\), \(\frac00\) ή \(\frac{\infty}{\infty}\). Στην περίπτωση αυτή η διάσπαση και η σύμπτυξη επιτρέπονται.
40
Να εξετάσετε αν είναι σωστή η διαδικασία:
\[
\lim_{x\to0}\frac{x}{x^2+1}
=
\frac{\lim_{x\to0}x}{\lim_{x\to0}(x^2+1)}
=
\frac01
=
0.
\]
Η διαδικασία είναι Σωστή.
Υπάρχουν και τα δύο όρια: \[ \lim_{x\to0}x=0 \] και \[ \lim_{x\to0}(x^2+1)=1\neq0. \] Εφόσον ο παρονομαστής δεν έχει όριο ίσο με μηδέν, επιτρέπεται η διάσπαση του πηλίκου. Άρα: \[ \lim_{x\to0}\frac{x}{x^2+1} = \frac01 = 0. \]
Υπάρχουν και τα δύο όρια: \[ \lim_{x\to0}x=0 \] και \[ \lim_{x\to0}(x^2+1)=1\neq0. \] Εφόσον ο παρονομαστής δεν έχει όριο ίσο με μηδέν, επιτρέπεται η διάσπαση του πηλίκου. Άρα: \[ \lim_{x\to0}\frac{x}{x^2+1} = \frac01 = 0. \]
41
Να εξετάσετε αν είναι σωστή η πρόταση: Αν \(\lim_{x\to0}(x\,f(x))=1\), τότε \(\lim_{x\to0}x\cdot\lim_{x\to0}f(x)=1\), άρα \(\lim_{x\to0}f(x)=1\).
Η πρόταση είναι Λάθος.
Δεν επιτρέπεται να διασπάσουμε το όριο του γινομένου, αν δεν γνωρίζουμε εκ των προτέρων ότι υπάρχουν και τα δύο επιμέρους όρια.
Μάλιστα, επειδή: \[ \lim_{x\to0}x=0, \] αν υπήρχε πεπερασμένο το \(\lim_{x\to0}f(x)\), τότε θα είχαμε: \[ \lim_{x\to0}(x\,f(x))=0, \] που αντιφάσκει με την υπόθεση ότι το όριο είναι \(1\). Άρα η διαδικασία είναι λανθασμένη.
Δεν επιτρέπεται να διασπάσουμε το όριο του γινομένου, αν δεν γνωρίζουμε εκ των προτέρων ότι υπάρχουν και τα δύο επιμέρους όρια.
Μάλιστα, επειδή: \[ \lim_{x\to0}x=0, \] αν υπήρχε πεπερασμένο το \(\lim_{x\to0}f(x)\), τότε θα είχαμε: \[ \lim_{x\to0}(x\,f(x))=0, \] που αντιφάσκει με την υπόθεση ότι το όριο είναι \(1\). Άρα η διαδικασία είναι λανθασμένη.
42
Να εξετάσετε αν είναι σωστή η πρόταση: Στο όριο \(\lim_{x\to x_0}f(x)\) μας ενδιαφέρει μόνο η συμπεριφορά της συνάρτησης κοντά στο \(x_0\), χωρίς να είναι απαραίτητο το \(x_0\) να ανήκει στο πεδίο ορισμού της.
Η πρόταση είναι Σωστή.
Το όριο εξαρτάται μόνο από τις τιμές της συνάρτησης σε σημεία αυθαίρετα κοντά στο \(x_0\). Δεν απαιτείται το \(x_0\) να ανήκει στο πεδίο ορισμού, αρκεί να μπορεί να προσεγγιστεί από άπειρα σημεία του πεδίου ορισμού.
Το όριο εξαρτάται μόνο από τις τιμές της συνάρτησης σε σημεία αυθαίρετα κοντά στο \(x_0\). Δεν απαιτείται το \(x_0\) να ανήκει στο πεδίο ορισμού, αρκεί να μπορεί να προσεγγιστεί από άπειρα σημεία του πεδίου ορισμού.
43
Να εξετάσετε αν είναι σωστή η πρόταση: Η τιμή \(f(x_0)\), όταν υπάρχει, μπορεί να είναι διαφορετική από το όριο \(\lim_{x\to x_0}f(x)\).
Η πρόταση είναι Σωστή.
Παράδειγμα: \[ f(x)= \begin{cases} x^2,&x\neq0\\ 1,&x=0. \end{cases} \] Τότε: \[ \lim_{x\to0}f(x)=0, \] ενώ: \[ f(0)=1. \] Άρα η τιμή της συνάρτησης μπορεί να διαφέρει από το όριό της.
Παράδειγμα: \[ f(x)= \begin{cases} x^2,&x\neq0\\ 1,&x=0. \end{cases} \] Τότε: \[ \lim_{x\to0}f(x)=0, \] ενώ: \[ f(0)=1. \] Άρα η τιμή της συνάρτησης μπορεί να διαφέρει από το όριό της.
44
Να εξετάσετε αν είναι σωστή η πρόταση: Αν \(f(x)=x^{\,n}+x^3-x^2+1\), \(n\in\mathbb{N}\), και \(f(x)\ge1\) για κάθε \(x\), τότε ο φυσικός αριθμός \(n\) είναι άρτιος.
Η πρόταση είναι Σωστή.
Αν ο \(n\) ήταν περιττός, τότε για \(x\to-\infty\) θα είχαμε: \[ x^n\to-\infty \] και ο κυρίαρχος όρος του πολυωνύμου θα οδηγούσε σε: \[ f(x)\to-\infty, \] πράγμα που αντιφάσκει με την υπόθεση \(f(x)\ge1\). Άρα ο \(n\) δεν μπορεί να είναι περιττός και επομένως είναι άρτιος.
Αν ο \(n\) ήταν περιττός, τότε για \(x\to-\infty\) θα είχαμε: \[ x^n\to-\infty \] και ο κυρίαρχος όρος του πολυωνύμου θα οδηγούσε σε: \[ f(x)\to-\infty, \] πράγμα που αντιφάσκει με την υπόθεση \(f(x)\ge1\). Άρα ο \(n\) δεν μπορεί να είναι περιττός και επομένως είναι άρτιος.
45
Να εξετάσετε αν είναι σωστή η πρόταση: Αν \(\lim_{x\to0}f(x)<0\), τότε κοντά στο \(0\) αποκλείεται να ισχύει \(f(x)>0\).
Η πρόταση είναι Σωστή.
Αν το όριο της \(f(x)\) είναι αρνητικός αριθμός, τότε από τη διατήρηση του προσήμου υπάρχει περιοχή γύρω από το \(0\) στην οποία: \[ f(x)<0. \] Επομένως δεν είναι δυνατόν, κοντά στο \(0\), να ισχύει \(f(x)>0\).
Αν το όριο της \(f(x)\) είναι αρνητικός αριθμός, τότε από τη διατήρηση του προσήμου υπάρχει περιοχή γύρω από το \(0\) στην οποία: \[ f(x)<0. \] Επομένως δεν είναι δυνατόν, κοντά στο \(0\), να ισχύει \(f(x)>0\).
46
Να εξετάσετε αν είναι σωστή η πρόταση: Αν \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}g(x)\), τότε μπορούμε πάντα να γράφουμε \(\lim_{x\to+\infty}(f(x)-g(x))=0\).
Η πρόταση είναι Λάθος.
Αν τα δύο όρια είναι πεπερασμένοι και ίσοι αριθμοί, τότε το συμπέρασμα ισχύει. Αν όμως και τα δύο όρια είναι \(+\infty\), τότε η διαφορά οδηγεί στη μορφή \(+\infty-\infty\), που είναι απροσδιόριστη.
Παράδειγμα: Αν \(f(x)=x+1\) και \(g(x)=x\), τότε \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) και \(\lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty\), αλλά \(f(x)-g(x)=1\), άρα \(\lim_{x\to+\infty}(f(x)-g(x))=1\neq0\).
Αν τα δύο όρια είναι πεπερασμένοι και ίσοι αριθμοί, τότε το συμπέρασμα ισχύει. Αν όμως και τα δύο όρια είναι \(+\infty\), τότε η διαφορά οδηγεί στη μορφή \(+\infty-\infty\), που είναι απροσδιόριστη.
Παράδειγμα: Αν \(f(x)=x+1\) και \(g(x)=x\), τότε \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) και \(\lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty\), αλλά \(f(x)-g(x)=1\), άρα \(\lim_{x\to+\infty}(f(x)-g(x))=1\neq0\).
47
Αν \(\lim_{x\to0}|f(x)|=L\), με \(L\in\mathbb{R}\), να εξετάσετε τι συμπεραίνουμε για το \(\lim_{x\to0}f(x)\), όταν \(L=0\) και όταν \(L>0\).
Αν \(L=0\), τότε \(\lim_{x\to0}|f(x)|=0\), οπότε είναι βέβαιο ότι \(\lim_{x\to0}f(x)=0\).
Αν όμως \(L>0\), δεν μπορούμε να συμπεράνουμε υποχρεωτικά ότι \(\lim_{x\to0}f(x)=L\) ή ότι \(\lim_{x\to0}f(x)=-L\). Μπορεί το όριο της \(f\) να μην υπάρχει.
Παράδειγμα: \(f(x)=1\) για \(x>0\) και \(f(x)=-1\) για \(x<0\). Τότε \(\lim_{x\to0}|f(x)|=1\), αλλά το \(\lim_{x\to0}f(x)\) δεν υπάρχει.
Αν όμως \(L>0\), δεν μπορούμε να συμπεράνουμε υποχρεωτικά ότι \(\lim_{x\to0}f(x)=L\) ή ότι \(\lim_{x\to0}f(x)=-L\). Μπορεί το όριο της \(f\) να μην υπάρχει.
Παράδειγμα: \(f(x)=1\) για \(x>0\) και \(f(x)=-1\) για \(x<0\). Τότε \(\lim_{x\to0}|f(x)|=1\), αλλά το \(\lim_{x\to0}f(x)\) δεν υπάρχει.
48
Να εξετάσετε αν είναι σωστή η πρόταση: Αν \(\lim_{x\to0}(f(x)+g(x))=1\), τότε δεν είναι δυνατόν να υπάρχει μόνο το ένα από τα όρια \(\lim_{x\to0}f(x)\), \(\lim_{x\to0}g(x)\).
Η πρόταση είναι Σωστή.
Αν υπήρχε μόνο το ένα από τα δύο όρια, για παράδειγμα \(\lim_{x\to0}f(x)=L\), τότε επειδή υπάρχει και το \(\lim_{x\to0}(f(x)+g(x))=1\), θα είχαμε \(g(x)=(f(x)+g(x))-f(x)\). Άρα θα υπήρχε και το \(\lim_{x\to0}g(x)=1-L\), άτοπο.
Επομένως δεν μπορεί να υπάρχει μόνο το ένα από τα δύο όρια.
Αν υπήρχε μόνο το ένα από τα δύο όρια, για παράδειγμα \(\lim_{x\to0}f(x)=L\), τότε επειδή υπάρχει και το \(\lim_{x\to0}(f(x)+g(x))=1\), θα είχαμε \(g(x)=(f(x)+g(x))-f(x)\). Άρα θα υπήρχε και το \(\lim_{x\to0}g(x)=1-L\), άτοπο.
Επομένως δεν μπορεί να υπάρχει μόνο το ένα από τα δύο όρια.
49
Να εξετάσετε αν είναι σωστή η πρόταση: Αν \(\lim_{x\to0}(x+f(x))=+\infty\), τότε \(\lim_{x\to0}f(x)\notin\mathbb{R}\).
Η πρόταση είναι Σωστή.
Αν υπήρχε πραγματικός αριθμός \(L\), ώστε \(\lim_{x\to0}f(x)=L\), τότε επειδή \(\lim_{x\to0}x=0\), θα είχαμε \(\lim_{x\to0}(x+f(x))=0+L=L\), δηλαδή πεπερασμένο όριο. Αυτό έρχεται σε αντίφαση με την υπόθεση \(\lim_{x\to0}(x+f(x))=+\infty\). Άρα \(\lim_{x\to0}f(x)\notin\mathbb{R}\).
Αν υπήρχε πραγματικός αριθμός \(L\), ώστε \(\lim_{x\to0}f(x)=L\), τότε επειδή \(\lim_{x\to0}x=0\), θα είχαμε \(\lim_{x\to0}(x+f(x))=0+L=L\), δηλαδή πεπερασμένο όριο. Αυτό έρχεται σε αντίφαση με την υπόθεση \(\lim_{x\to0}(x+f(x))=+\infty\). Άρα \(\lim_{x\to0}f(x)\notin\mathbb{R}\).
50
Αν δεν υπάρχει το όριο \(\lim_{x\to x_0}\dfrac{x^3-x^2-2x}{x-x_0}\), να επιλέξετε τη σωστή απάντηση: Α. \(x_0=-1\), Β. \(x_0=0\), Γ. \(x_0=1\), Δ. \(x_0=2\).
Παραγοντοποιούμε τον αριθμητή: \(x^3-x^2-2x=x(x^2-x-2)=x(x-2)(x+1)\).
Το όριο μπορεί να μην υπάρχει όταν ο παρονομαστής μηδενίζεται, δηλαδή όταν \(x\to x_0\), και ο αριθμητής δεν μηδενίζεται κατάλληλα ώστε να απλοποιηθεί.
Ελέγχουμε τις επιλογές: Για \(x_0=-1\), ο αριθμητής έχει παράγοντα \(x+1\), άρα απλοποιείται. Για \(x_0=0\), έχει παράγοντα \(x\), άρα απλοποιείται. Για \(x_0=2\), έχει παράγοντα \(x-2\), άρα απλοποιείται. Για \(x_0=1\), ο αριθμητής γίνεται \(1-1-2=-2\neq0\), ενώ ο παρονομαστής τείνει στο \(0\). Άρα το όριο δεν υπάρχει ως πραγματικός αριθμός.
Σωστή απάντηση: Γ. \(x_0=1\).
Το όριο μπορεί να μην υπάρχει όταν ο παρονομαστής μηδενίζεται, δηλαδή όταν \(x\to x_0\), και ο αριθμητής δεν μηδενίζεται κατάλληλα ώστε να απλοποιηθεί.
Ελέγχουμε τις επιλογές: Για \(x_0=-1\), ο αριθμητής έχει παράγοντα \(x+1\), άρα απλοποιείται. Για \(x_0=0\), έχει παράγοντα \(x\), άρα απλοποιείται. Για \(x_0=2\), έχει παράγοντα \(x-2\), άρα απλοποιείται. Για \(x_0=1\), ο αριθμητής γίνεται \(1-1-2=-2\neq0\), ενώ ο παρονομαστής τείνει στο \(0\). Άρα το όριο δεν υπάρχει ως πραγματικός αριθμός.
Σωστή απάντηση: Γ. \(x_0=1\).
Θέματα
1
Να βρείτε την τιμή του ορίου:
\[
\lim_{x\to0}\left(\frac{|x|}{x}\right)^3
\]
Για \(x＞0\) ισχύει \( |x|=x \), άρα:
\[
\left(\frac{|x|}{x}\right)^3=\left(\frac{x}{x}\right)^3=1^3=1
\]
Επομένως:
\[
\lim_{x\to0^+}\left(\frac{|x|}{x}\right)^3=1
\]
Για \(x＜0\) ισχύει \( |x|=-x \), άρα:
\[
\left(\frac{|x|}{x}\right)^3=\left(\frac{-x}{x}\right)^3=(-1)^3=-1
\]
Επομένως:
\[
\lim_{x\to0^-}\left(\frac{|x|}{x}\right)^3=-1
\]
Επειδή τα δύο πλευρικά όρια είναι διαφορετικά, το συνολικό όριο δεν υπάρχει.
2
Έστω η συνάρτηση:
\[
f(x)=
\begin{cases}
x-2, & 0＜x＜1\\
x, & x\ge1\\
\eta\mu x, & x\le0
\end{cases}
\]
Να εξετάσετε αν υπάρχουν τα όριά της στα σημεία \(0\) και \(1\).
Στο \(x=0\):
Για \(x\to0^-\), χρησιμοποιούμε τον τύπο \(f(x)=\eta\mu x\). Άρα: \[ \lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}\eta\mu x=0 \] Για \(x\to0^+\), χρησιμοποιούμε τον τύπο \(f(x)=x-2\). Άρα: \[ \lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}(x-2)=-2 \] Επειδή \(0\neq-2\), το όριο στο \(0\) δεν υπάρχει.
Στο \(x=1\):
Για \(x\to1^-\), χρησιμοποιούμε τον τύπο \(f(x)=x-2\). Άρα: \[ \lim_{x\to1^-}f(x)=1-2=-1 \] Για \(x\to1^+\), χρησιμοποιούμε τον τύπο \(f(x)=x\). Άρα: \[ \lim_{x\to1^+}f(x)=1 \] Επειδή \(-1\neq1\), το όριο στο \(1\) δεν υπάρχει.
Για \(x\to0^-\), χρησιμοποιούμε τον τύπο \(f(x)=\eta\mu x\). Άρα: \[ \lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}\eta\mu x=0 \] Για \(x\to0^+\), χρησιμοποιούμε τον τύπο \(f(x)=x-2\). Άρα: \[ \lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}(x-2)=-2 \] Επειδή \(0\neq-2\), το όριο στο \(0\) δεν υπάρχει.
Στο \(x=1\):
Για \(x\to1^-\), χρησιμοποιούμε τον τύπο \(f(x)=x-2\). Άρα: \[ \lim_{x\to1^-}f(x)=1-2=-1 \] Για \(x\to1^+\), χρησιμοποιούμε τον τύπο \(f(x)=x\). Άρα: \[ \lim_{x\to1^+}f(x)=1 \] Επειδή \(-1\neq1\), το όριο στο \(1\) δεν υπάρχει.
3
Αν γνωρίζετε ότι
\[
\lim_{x\to0}f(x)=1
\]
και
\[
\lim_{x\to0}(g(x)-f(x))=0
\]
να αποδείξετε ότι:
\[
\lim_{x\to0}g(x)=1
\]
Γράφουμε τη \(g(x)\) με τη βοήθεια της \(f(x)\):
\[
g(x)=f(x)+(g(x)-f(x))
\]
Παίρνουμε όρια:
\[
\lim_{x\to0}g(x)=\lim_{x\to0}\left[f(x)+(g(x)-f(x))\right]
\]
Άρα:
\[
\lim_{x\to0}g(x)=\lim_{x\to0}f(x)+\lim_{x\to0}(g(x)-f(x))
\]
Από τα δεδομένα έχουμε:
\[
\lim_{x\to0}f(x)=1
\]
και
\[
\lim_{x\to0}(g(x)-f(x))=0
\]
Επομένως:
\[
\lim_{x\to0}g(x)=1+0=1
\]
4
Αν ισχύει
\[
\lim_{x\to0}f(x)=1
\]
και
\[
\lim_{x\to1}f(x)=1
\]
να αποδείξετε ότι:
\[
\lim_{x\to0}f(f(\eta\mu x))=1
\]
Επειδή:
\[
\lim_{x\to0}\eta\mu x=0
\]
και γνωρίζουμε ότι:
\[
\lim_{u\to0}f(u)=1
\]
προκύπτει:
\[
\lim_{x\to0}f(\eta\mu x)=1
\]
Τώρα θέτουμε:
\[
g(x)=f(\eta\mu x)
\]
οπότε:
\[
\lim_{x\to0}g(x)=1
\]
Άρα, όταν \(x\to0\), η ποσότητα \(g(x)\) τείνει στο \(1\).
Επειδή γνωρίζουμε ακόμη ότι: \[ \lim_{t\to1}f(t)=1 \] μπορούμε να εφαρμόσουμε το όριο της \(f\) στο \(1\), με \(t=g(x)\).
Άρα: \[ \lim_{x\to0}f(g(x))=1 \] Δηλαδή: \[ \lim_{x\to0}f(f(\eta\mu x))=1 \]
Επειδή γνωρίζουμε ακόμη ότι: \[ \lim_{t\to1}f(t)=1 \] μπορούμε να εφαρμόσουμε το όριο της \(f\) στο \(1\), με \(t=g(x)\).
Άρα: \[ \lim_{x\to0}f(g(x))=1 \] Δηλαδή: \[ \lim_{x\to0}f(f(\eta\mu x))=1 \]
5
Αν
\[
\lim_{x\to0}f(x)=3
\]
να αποδείξετε ότι:
\[
\lim_{x\to0}\frac{|f(x)-4|-1}{f(x)-3}=-1
\]
Αφού:
\[
\lim_{x\to0}f(x)=3,
\]
για \(x\) αρκετά κοντά στο \(0\) η τιμή της \(f(x)\) είναι κοντά στο \(3\).
Άρα:
\[
f(x)-4<0.
\]
Επομένως:
\[
|f(x)-4|=-(f(x)-4)=4-f(x).
\]
Άρα ο αριθμητής γίνεται:
\[
|f(x)-4|-1=4-f(x)-1=3-f(x).
\]
Έτσι:
\[
\frac{|f(x)-4|-1}{f(x)-3}
=
\frac{3-f(x)}{f(x)-3}.
\]
Επειδή:
\[
3-f(x)=-(f(x)-3),
\]
παίρνουμε:
\[
\frac{3-f(x)}{f(x)-3}=-1.
\]
Άρα:
\[
\boxed{\lim_{x\to0}\frac{|f(x)-4|-1}{f(x)-3}=-1.}
\]
6
Αν
\[
\lim_{x\to0}(f(x)-g(x))=0
\]
και
\[
\lim_{x\to0}(f(x)+g(x))=2,
\]
να αποδείξετε ότι:
\[
\lim_{x\to0}f(x)=1
\]
και
\[
\lim_{x\to0}g(x)=1.
\]
Προσθέτουμε κατά μέλη τις δύο σχέσεις:
\[
(f(x)-g(x))+(f(x)+g(x))=2f(x).
\]
Παίρνοντας όρια:
\[
\lim_{x\to0}2f(x)=0+2=2.
\]
Άρα:
\[
2\lim_{x\to0}f(x)=2
\]
και επομένως:
\[
\lim_{x\to0}f(x)=1.
\]
Στη συνέχεια χρησιμοποιούμε το άθροισμα:
\[
\lim_{x\to0}(f(x)+g(x))=2.
\]
Άρα:
\[
\lim_{x\to0}f(x)+\lim_{x\to0}g(x)=2.
\]
Επειδή ήδη βρήκαμε ότι:
\[
\lim_{x\to0}f(x)=1,
\]
προκύπτει:
\[
1+\lim_{x\to0}g(x)=2.
\]
Άρα:
\[
\boxed{\lim_{x\to0}g(x)=1.}
\]
Επομένως:
\[
\boxed{\lim_{x\to0}f(x)=1
\qquad\text{και}\qquad
\lim_{x\to0}g(x)=1.}
\]
7
Να βρείτε το όριο
\[
\lim_{x\to0}f(x)
\]
αν γνωρίζετε ότι για κάθε \(x\in\mathbb{R}\) ισχύει:
\[
1-x^2\le f(x)\le1+x^2.
\]
Από την υπόθεση έχουμε:
\[
1-x^2\le f(x)\le1+x^2.
\]
Υπολογίζουμε τα όρια των δύο ακραίων παραστάσεων:
\[
\lim_{x\to0}(1-x^2)=1
\]
και
\[
\lim_{x\to0}(1+x^2)=1.
\]
Τα δύο ακραία όρια είναι ίσα.
Άρα, από το Κριτήριο Παρεμβολής, συμπεραίνουμε ότι: \[ \boxed{\lim_{x\to0}f(x)=1.} \]
Άρα, από το Κριτήριο Παρεμβολής, συμπεραίνουμε ότι: \[ \boxed{\lim_{x\to0}f(x)=1.} \]
8
Έστω συνάρτηση \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), ώστε για κάθε \(x\in\mathbb{R}\) να ισχύει:
\[
2x-1\le f(x)\le x^2.
\]
Να αποδείξετε ότι:
\[
\lim_{x\to1}f(x)=1.
\]
Από την υπόθεση ισχύει:
\[
2x-1\le f(x)\le x^2.
\]
Υπολογίζουμε τα όρια των δύο άκρων όταν \(x\to1\):
\[
\lim_{x\to1}(2x-1)=2\cdot1-1=1
\]
και
\[
\lim_{x\to1}x^2=1^2=1.
\]
Τα δύο ακραία όρια είναι ίσα.
Άρα, από το Κριτήριο Παρεμβολής, προκύπτει: \[ \boxed{\lim_{x\to1}f(x)=1.} \]
Άρα, από το Κριτήριο Παρεμβολής, προκύπτει: \[ \boxed{\lim_{x\to1}f(x)=1.} \]
9
Αν ισχύει:
\[
|g(x)-1|\le |f(x)|
\]
για κάθε \(x\in\mathbb{R}\) και
\[
\lim_{x\to1}f(x)=0,
\]
να βρείτε το όριο:
\[
\lim_{x\to1}g(x).
\]
Από την υπόθεση έχουμε:
\[
|g(x)-1|\le |f(x)|.
\]
Επειδή:
\[
\lim_{x\to1}f(x)=0,
\]
προκύπτει:
\[
\lim_{x\to1}|f(x)|=0.
\]
Επιπλέον, επειδή η απόλυτη τιμή είναι πάντοτε μη αρνητική, ισχύει:
\[
0\le|g(x)-1|\le|f(x)|.
\]
Τα δύο ακραία μέλη έχουν όριο ίσο με \(0\).
Άρα, από το Κριτήριο Παρεμβολής: \[ \lim_{x\to1}|g(x)-1|=0. \] Η απόλυτη τιμή μιας παράστασης τείνει στο \(0\) μόνο όταν και η ίδια η παράσταση τείνει στο \(0\). Επομένως: \[ \lim_{x\to1}(g(x)-1)=0. \] Άρα: \[ \boxed{\lim_{x\to1}g(x)=1.} \]
Άρα, από το Κριτήριο Παρεμβολής: \[ \lim_{x\to1}|g(x)-1|=0. \] Η απόλυτη τιμή μιας παράστασης τείνει στο \(0\) μόνο όταν και η ίδια η παράσταση τείνει στο \(0\). Επομένως: \[ \lim_{x\to1}(g(x)-1)=0. \] Άρα: \[ \boxed{\lim_{x\to1}g(x)=1.} \]
10
Δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης \(f\), η οποία παρουσιάζει άλμα στο σημείο \(x=1\).
Αν από το σχήμα προκύπτει ότι:
\[
\lim_{x\to1^-}f(x)=2
\]
και
\[
\lim_{x\to1^+}f(x)=5,
\]
να εξετάσετε αν υπάρχει το όριο:
\[
\lim_{x\to1}f(x).
\]
Υπολογίζουμε τα δύο πλευρικά όρια.
Από τα δεδομένα:
\[
\lim_{x\to1^-}f(x)=2
\]
και
\[
\lim_{x\to1^+}f(x)=5.
\]
Παρατηρούμε ότι:
\[
2\neq5.
\]
Για να υπάρχει το όριο μιας συνάρτησης σε ένα σημείο, είναι απαραίτητο τα δύο πλευρικά όρια να υπάρχουν και να είναι ίσα.
Στην περίπτωση αυτή τα δύο πλευρικά όρια είναι διαφορετικά.
Επομένως:
\[
\boxed{\lim_{x\to1}f(x)\ \text{δεν υπάρχει}.}
\]
Τέλος