03_Μονοτονία συναρτήσεων
1
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση \(f(x)=x^2+4\) είναι γνησίως φθίνουσα στο \((-\infty,0]\) και γνησίως αύξουσα στο \([0,+\infty)\).
Η συνάρτηση \(f\) ορίζεται στο \(\mathbb{R}\).
Αν \(x_1,x_2\le0\) με \(x_1x_2^2
\]
Προσθέτοντας το \(4\), παίρνουμε:
\[
x_1^2+4>x_2^2+4
\]
δηλαδή:
\[
f(x_1)>f(x_2)
\]
Άρα η \(f\) είναι γνησίως φθίνουσα στο \((-\infty,0]\).
Αντίστοιχα, αν \(x_1,x_2\ge0\) με \(x_1
2
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση \(f(x)=\dfrac{1}{x^2+1}\) είναι γνησίως αύξουσα στο \((-\infty,0]\) και γνησίως φθίνουσα στο \([0,+\infty)\).
Η συνάρτηση ορίζεται στο \(\mathbb{R}\).
Αν \(x_1,x_2\le0\) με \(x_1x_2^2
\]
Άρα:
\[
x_1^2+1>x_2^2+1
\]
Αντιστρέφοντας τους θετικούς όρους, αλλάζει η φορά:
\[
\frac{1}{x_1^2+1}<\frac{1}{x_2^2+1}
\]
δηλαδή:
\[
f(x_1)\frac{1}{x_2^2+1}
\]
δηλαδή:
\[
f(x_1)>f(x_2)
\]
Άρα η \(f\) είναι γνησίως φθίνουσα στο \([0,+\infty)\).
3
Αν η \(f\) είναι γνησίως φθίνουσα στο \(\mathbb{R}\), να αποδείξετε ότι:
\[
f(x^2+2)
Εξετάζουμε πρώτα τις παραστάσεις μέσα στη συνάρτηση.
Έχουμε:
\[
x^2+2-2x=x^2-2x+1+1
\]
οπότε:
\[
x^2+2x=(x-1)^2+1>0
\]
Άρα:
\[
x^2+2>2x
\]
Επειδή η \(f\) είναι γνησίως φθίνουσα, αλλάζει η φορά της ανισότητας:
\[
f(x^2+2)
4
Να λύσετε την εξίσωση:
\[
x^5+x=2
\]
Θεωρούμε τη συνάρτηση:
\[
f(x)=x^5+x
\]
Η \(f\) ορίζεται στο \(\mathbb{R}\).
Αν \(x_1
5
Να λύσετε στο \(\mathbb{R}\) την εξίσωση:
\[
2^x+3^x=2\cdot5^x
\]
Διαιρούμε όλα τα μέλη με \(5^x\):
\[
\left(\frac{2}{5}\right)^x+\left(\frac{3}{5}\right)^x=2
\]
Θεωρούμε τη συνάρτηση:
\[
f(x)=\left(\frac{2}{5}\right)^x+\left(\frac{3}{5}\right)^x
\]
Επειδή οι βάσεις είναι μικρότερες του \(1\), η \(f\) είναι γνησίως φθίνουσα.
Η εξίσωση γράφεται:
\[
f(x)=2
\]
Παρατηρούμε ότι:
\[
f(0)=1+1=2
\]
Άρα:
\[
f(x)=f(0)
\]
Επειδή η \(f\) είναι γνησίως φθίνουσα, προκύπτει:
\[
x=0
\]
6
Να λύσετε την ανίσωση:
\[
x^5+x<2
\]
Θεωρούμε τη συνάρτηση:
\[
f(x)=x^5+x
\]
Όπως είδαμε, η \(f\) είναι γνησίως αύξουσα στο \(\mathbb{R}\).
Η ανίσωση γράφεται:
\[
f(x)<2
\]
Επειδή:
\[
f(1)=2
\]
έχουμε:
\[
f(x)
7
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση
\[
f(x)=
\begin{cases}
x, & x<0 \\
2x, & x\ge0
\end{cases}
\]
είναι γνησίως αύξουσα στο \(\mathbb{R}\).
Στο \((-\infty,0)\) η \(f\) είναι γνησίως αύξουσα, αφού:
\[
x_1
8
Έστω συνάρτηση \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) για την οποία ισχύει:
\[
f^3(x)+f(x)=x+1
\]
για κάθε \(x\in\mathbb{R}\).
Να αποδείξετε ότι η \(f\) είναι γνησίως αύξουσα.
Θεωρούμε τη βοηθητική συνάρτηση:
\[
r(x)=x^3+x
\]
Η \(r\) είναι γνησίως αύξουσα στο \(\mathbb{R}\).
Πράγματι, αν \(x_1
9
Αν \(f(x)=2x-4\), να λύσετε την ανίσωση:
\[
f^5(x)\le6-2x
\]
Μεταφέρουμε όλα τα μέλη στο πρώτο μέλος:
\[
f^5(x)+2x-6\le0
\]
Επειδή:
\[
f(x)=2x-4
\]
γράφουμε:
\[
f^5(x)+(2x-4)-2\le0
\]
οπότε:
\[
f^5(x)+f(x)\le2
\]
Θεωρούμε τη βοηθητική συνάρτηση:
\[
r(x)=x^5+x
\]
Η \(r\) είναι γνησίως αύξουσα στο \(\mathbb{R}\).
Άρα η ανίσωση γράφεται:
\[
r(f(x))\le2
\]
Παρατηρούμε ότι:
\[
r(1)=1^5+1=2
\]
οπότε:
\[
r(f(x))\le r(1)
\]
Επειδή η \(r\) είναι γνησίως αύξουσα:
\[
f(x)\le1
\]
Δηλαδή:
\[
2x-4\le1
\]
\[
2x\le5
\]
\[
x\le\frac{5}{2}
\]
10
Να βρείτε τον \(x>0\), ώστε:
\[
x^3-x+2\ln x=0
\]
Μεταφέρουμε κατάλληλα τους όρους:
\[
x^3+2\ln x=x
\]
Γράφουμε:
\[
x^3+3\ln x=x+\ln x
\]
Επειδή:
\[
3\ln x=\ln(x^3)
\]
παίρνουμε:
\[
x^3+\ln(x^3)=x+\ln x
\]
Θεωρούμε τη συνάρτηση:
\[
r(t)=t+\ln t
\]
η οποία είναι γνησίως αύξουσα στο \((0,+\infty)\).
Άρα:
\[
r(x^3)=r(x)
\]
Επειδή η \(r\) είναι γνησίως αύξουσα, συμπεραίνουμε:
\[
x^3=x
\]
οπότε:
\[
x^3-x=0
\]
\[
x(x^2-1)=0
\]
\[
x(x-1)(x+1)=0
\]
Οι λύσεις είναι:
\[
x=0,\quad x=1,\quad x=-1
\]
Όμως γνωρίζουμε ότι:
\[
x>0
\]
Άρα η μοναδική δεκτή λύση είναι:
\[
x=1
\]
Τέλος