GMATHS – Μάθημα 01

Μάθημα 05 Αντίστροφη συνάρτηση

1. 1-1 Συνάρτηση

Έστω συνάρτηση $f$ με πεδίο ορισμού $A$.

Λέμε ότι η συνάρτηση $f$ είναι 1–1, αν κάθε στοιχείο του συνόλου τιμών της αντιστοιχίζεται με ένα και μόνο ένα στοιχείο του πεδίου ορισμού.

Ισοδύναμα, η $f$ είναι 1–1 στο $A$,

αν για κάθε $x_1,x_2\in A$ ισχύει: αν $f(x_1)=f(x_2)$, τότε $x_1=x_2$.

Παράδειγμα

Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση $f(x)=x^3+x$ είναι 1–1 στο $\mathbb{R}$.

Απάντηση

Έστω $x_1,x_2\in\mathbb{R}$ με $f(x_1)=f(x_2)$.

Τότε $x_1^3+x_1=x_2^3+x_2$ ⇔ $x_1^3-x_2^3+x_1-x_2=0$ ⇔ $(x_1-x_2)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2+1)=0$.

Επειδή $x_1^2+x_1x_2+x_2^2+1>0$ για κάθε $x_1,x_2\in\mathbb{R}$, προκύπτει $x_1-x_2=0$.

Άρα $x_1=x_2$ και επομένως η συνάρτηση $f$ είναι 1–1 στο $\mathbb{R}$.

Άσκηση

Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $g(x)=x^3+2$ είναι 1–1 στο $\mathbb{R}$.

Λύση

Έστω $x_1,x_2\in\mathbb{R}$ με $g(x_1)=g(x_2)$. Τότε $x_1^3+2=x_2^3+2$ ⇔ $x_1^3=x_2^3$ ⇔ $x_1=x_2$.

Άρα η συνάρτηση $g$ είναι 1–1 στο $\mathbb{R}$.

2. Γεωμετρική ερμηνεία της 1-1 συνάρτησης

Γεωμετρικά, μια συνάρτηση είναι 1–1 αν κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική της παράσταση το πολύ σε ένα σημείο.

Αν μια οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση σε περισσότερα από ένα σημεία, τότε η συνάρτηση δεν είναι 1–1 και δεν έχει αντίστροφη.

Παράδειγμα

Να εξεταστεί αν η συνάρτηση $f(x)=x^2$, $x\in\mathbb{R}$, είναι 1–1, χρησιμοποιώντας τη γεωμετρική της ερμηνεία.

Aπάντηση

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f(x)=x^2$ είναι παραβολή με άξονα συμμετρίας τον άξονα $y'y$.

Η οριζόντια ευθεία $y=1$ τέμνει τη γραφική παράσταση στα σημεία με τετμημένες $x=1$ και $x=-1$.

Άρα η εξίσωση $f(x)=1$ έχει περισσότερες από μία λύσεις.

Επομένως η συνάρτηση $f$ δεν είναι 1–1 στο $\mathbb{R}$ και δεν έχει αντίστροφη συνάρτηση.

Άσκηση

Να εξεταστεί αν η συνάρτηση $g(x)=|x-2|$, $x\in\mathbb{R}$, είναι 1–1, χρησιμοποιώντας τη γεωμετρική της ερμηνεία.

Aπάντηση

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης $g(x)=|x-2|$ είναι συμμετρική ως προς την ευθεία $x=2$.

Η οριζόντια ευθεία $y=1$ τέμνει τη γραφική παράσταση στα σημεία με τετμημένες $x=1$ και $x=3$.

Άρα η εξίσωση $g(x)=1$ έχει περισσότερες από μία λύσεις.

Επομένως η συνάρτηση $g$ δεν είναι 1–1 στο $\mathbb{R}$.

3. Πότε μία συνάρτηση είναι 1–1

α Για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι 1–1, χρησιμοποιούμε τον ορισμό.

Παράδειγμα

Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με $f(x)=2x+1$ είναι 1–1.

Απάντηση

Σύμφωνα με τον ορισμό, μια συνάρτηση f λέγεται 1–1, αν για κάθε $x_1,x_2\in\mathbb{R}$ ισχύει $f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2$.

Έστω λοιπόν ότι $f(x_1)=f(x_2)$. Τότε έχουμε $2x_1+1=2x_2+1$.

Αφαιρώντας το 1 από τα δύο μέλη, προκύπτει $2x_1=2x_2$.

Διαιρώντας με 2, παίρνουμε $x_1=x_2$.

Άρα, η συνάρτηση $f(x)=2x+1$ είναι 1–1.

β Γεωμετρικά, μια συνάρτηση είναι 1–1 αν κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική της παράσταση το πολύ σε ένα σημείο.

Παράδειγμα

Η $f(x)=x^2$ στο $\mathbb{R}$ δεν είναι 1–1, αλλά στο $\mathbb{R}_+=[0,+\infty)$ είναι 1–1.

Απάντηση

Αν $f(x_1)=f(x_2)$, τότε $x_1^2=x_2^2$ και, επειδή $x_1,x_2\ge 0$, προκύπτει $x_1=x_2$.

γ Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη στο διάστημά της, τότε είναι και 1–1.

Έστω ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο σύνολο A_f. Τότε για $x_{1} < x_{2}$ ισχύει $f (x_{1}) < f (x_{2})$ , άρα $f (x_{1}) \neq f (x_{2})$ . Επομένως η f είναι 1–1.

Παράδειγμα

Έστω η συνάρτηση

f (x) = x^{3} + x

, με

x \in ℝ

. Να εξεταστεί αν είναι 1–1.

Aπάντηση

Έστω $x_{1}$ , $x_{2}$ με $x_{1} < x_{2}$ .

Τότε ισχύει ${x_{1}}^{3} < {x_{2}}^{3}$ και επίσης $x_{1} < x_{2}$ .

Άρα ${x_{1}}^{3} + x_{1} < {x_{2}}^{3} + x_{2}$ , δηλαδή $f (x_{1}) < f (x_{2})$ .

Επομένως, η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο $ℝ$ και άρα 1–1.

δ Αν η εξίσωση $f(x)=y$ ως προς x δίνει μοναδική λύση, τότε η συνάρτηση f είναι 1–1.

Παράδειγμα

Έστω η συνάρτηση $f(x)=e^x+1$, $x\in\mathbb{R}$.

Απάντηση

Από $f(x)=y$ έχουμε $e^x=y-1$ ⇔ $x=\ln(y-1)$, με $y>1$.

Άρα κάθε y αντιστοιχεί σε μοναδικό x και η f είναι 1–1.

Πότε μία συνάρτηση δεν είναι 1-1

α Αν μια οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση σε περισσότερα από ένα σημεία, τότε η συνάρτηση δεν είναι 1–1 .

Παράδειγμα

Δίνεται \[ f(x)= \begin{cases} x+1, & -1\le x<0\\ -x+2, & 0\le x\le 1 \end{cases} \] Να εξεταστεί αν είναι 1–1.

Απάντηση

Κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση το πολύ σε ένα σημείο.
Άρα η $f$ είναι 1–1, παρότι δεν είναι γνησίως μονότονη.

β Αν από τη σχέση $f(x_1)=f(x_2)$ δεν προκύπτει αναγκαστικά $x_1=x_2$,
τότε η συνάρτηση δεν είναι 1–1.

Παράδειγμα

Η συνάρτηση f(x)=x² δεν είναι 1–1.

Απάντηση

Από x₁²=x₂² προκύπτει x₁=x₂ ή x₁=−x₂. Υπάρχουν λοιπόν διαφορετικές τιμές του x με ίδια τιμή f(x).

γ Αρκεί να βρούμε ένα αντιπαράδειγμα και τότε η συνάρτηση δεν είναι 1–1.

Παράδειγμα

Η συνάρτηση f(x)=x⁴ δεν είναι 1–1.

Απάντηση

Ισχύει f(1)=f(−1)=1, άρα η συνάρτηση δεν είναι 1–1.

δ Αν η εξίσωση f(x)=y ως προς x δεν έχει μοναδική λύση, τότε η συνάρτηση f δεν είναι 1–1.

Παράδειγμα

Θεωρούμε τη συνάρτηση f(x)=x².

Θέτουμε f(x)=y. Τότε προκύπτει x²=y.

Η εξίσωση x²=y έχει λύσεις x=√y ή x=−√y, με y≥0.

Άρα υπάρχουν διαφορετικές τιμές του x με ίδια τιμή της συνάρτησης f(x), επομένως η συνάρτηση f δεν είναι 1–1.

4. Αντίστροφη συνάρτηση

Έστω συνάρτηση $f$ με πεδίο ορισμού $A$.

Αν η συνάρτηση $f$ είναι 1–1, τότε για κάθε $y$ του συνόλου τιμών της $f(A)$ υπάρχει μοναδικό $x\in A$ τέτοιο ώστε $f(x)=y$.

Η διαδικασία που αντιστοιχίζει το $y$ στο αντίστοιχο $x$ ορίζει μια νέα συνάρτηση, η οποία λέγεται αντίστροφη της $f$ και συμβολίζεται με $f^{-1}$.

Δηλαδή ισχύει: αν $f(x)=y$ ⇔ $f^{-1}(y)=x$.

Παράδειγμα

Η συνάρτηση $f(x)=x-1$ είναι αντιστρέψιμη. Να βρεθεί η αντίστροφή της.

Aπάντηση

1ο βήμα: Απόδειξη ότι η $f$ είναι 1–1

Έστω $x_1,x_2\in\mathbb{R}$ με $f(x_1)=f(x_2)$.

Τότε $x_1-1=x_2-1$.

Προσθέτοντας κατά μέλη το $1$, παίρνουμε $x_1=x_2$.

Άρα από τη σχέση $f(x_1)=f(x_2)$ προκύπτει $x_1=x_2$, οπότε η συνάρτηση $f$ είναι 1–1 στο $\mathbb{R}$.

Επομένως η $f$ είναι αντιστρέψιμη.

2ο βήμα: Εύρεση της αντίστροφης συνάρτησης

Θέτουμε $y=f(x)=x-1$.

Λύνουμε ως προς $x$: $y=x-1 \Rightarrow x=y+1$.

Άρα η αντίστροφη συνάρτηση είναι $f^{-1}(y)=y+1$.

Αντικαθιστώντας το $y$ με $x$, παίρνουμε $f^{-1}(x)=x+1$, με $x\in\mathbb{R}$.

Παράδειγμα

Να βρεθεί η αντίστροφη της συνάρτησης $f(x)=e^x+1$, με $x\in\mathbb{R}$.

Aπάντηση

Θέτουμε $y=f(x)=e^x+1$.

Τότε $e^x=y-1$, με $y>1$.

Λαμβάνοντας λογάριθμο, παίρνουμε $x=\ln(y-1)$.

Άρα η αντίστροφη συνάρτηση είναι $f^{-1}(y)=\ln(y-1)$, με $y>1$.

Αντικαθιστώντας το $y$ με $x$, προκύπτει $f^{-1}(x)=\ln(x-1)$, με $x>1$.

Σχόλιο. Γενικά, όταν από τη σχέση $y=f(x)$ μπορούμε να λύσουμε ως προς $x$ και να εκφράσουμε το $x$ μονοσήμαντα ως συνάρτηση του $y$, τότε η συνάρτηση $f$ είναι 1–1 και αντιστρέψιμη.

Στην περίπτωση αυτή, δεν απαιτείται ξεχωριστή απόδειξη ότι η $f$ είναι 1–1 με τον ορισμό.

Παράδειγμα

Να βρεθεί η αντίστροφη της συνάρτησης $f(x)=\ln\!\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)$, με $x\in(-1,1)$.

Aπάντηση

Θέτουμε $y=f(x)=\ln\!\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)$.

Η παραπάνω σχέση ισοδυναμεί με $\dfrac{1+x}{1-x}=e^y$.

Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με $1-x$ και παίρνουμε $1+x=e^y(1-x)$.

Αναπτύσσοντας το δεξί μέλος, έχουμε $1+x=e^y-e^y x$.

Ομαδοποιούμε τους όρους που περιέχουν $x$: $x+e^y x=e^y-1$.

Παράγοντας ως προς $x$, προκύπτει $x(1+e^y)=e^y-1$.

Λύνοντας ως προς $x$, παίρνουμε $x=\dfrac{e^y-1}{e^y+1}$.

Επομένως, η αντίστροφη συνάρτηση είναι $f^{-1}(y)=\dfrac{e^y-1}{e^y+1}$.

Αντικαθιστώντας το $y$ με $x$, καταλήγουμε στον τύπο $f^{-1}(x)=\dfrac{e^x-1}{e^x+1}$, με $x\in\mathbb{R}$.

Σχόλιο. Επειδή από τη σχέση $y=\ln\!\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)$ λύσαμε μονοσήμαντα ως προς $x$, η συνάρτηση $f$ είναι 1–1 και συνεπώς αντιστρέψιμη. Δεν απαιτείται ξεχωριστή απόδειξη της 1–1 ιδιότητας με τον ορισμό.

Άσκηση

Να εξεταστεί αν η συνάρτηση $g(x)=2x+3$, $x\in\mathbb{R}$, είναι αντιστρέψιμη και, αν ναι, να βρεθεί η αντίστροφή της.

Λύση

Η συνάρτηση $g(x)=2x+3$ είναι γραμμική με συντελεστή $2>0$, άρα είναι γνησίως αύξουσα και επομένως 1–1.

Θέτουμε $y=g(x)=2x+3$ και λύνουμε ως προς $x$: $x=\dfrac{y-3}{2}$.

Άρα η αντίστροφη συνάρτηση είναι $g^{-1}(y)=\dfrac{y-3}{2}$.

Αντικαθιστώντας το $y$ με $x$, παίρνουμε $g^{-1}(x)=\dfrac{x-3}{2}$.

5. Παρατηρήσεις

Το πεδίο ορισμού της αντίστροφης $f^{-1}$ είναι το σύνολο τιμών της $f$, ενώ το σύνολο τιμών της $f^{-1}$ είναι το πεδίο ορισμού της $f$.

Ισχύουν οι σχέσεις:

$f(f^{-1}(x))=x$, για κάθε $x$ του πεδίου ορισμού της $f^{-1}$,

και $f^{-1}(f(x))=x$, για κάθε $x$ του πεδίου ορισμού της $f$.

Παράδειγμα

Έστω 1–1 συνάρτηση $f$ στο $\mathbb{R}$ με σημείο $A(1,2)$ της γραφικής της παράστασης. Να λυθεί η εξίσωση $f^{-1}(x+1)=1$.

Απάντηση

Η εξίσωση $f^{-1}(x+1)=1$ ισοδυναμεί με $f(1)=x+1$.

Επειδή $f(1)=2$, παίρνουμε $x+1=2$ και επομένως $x=1$.

Παράδειγμα

Αν $f(x)=x^3+x$, να αποδειχθεί ότι $(f^{-1}(x))^3+f^{-1}(x)=x$, για κάθε $x$ του συνόλου τιμών της $f$.

Απάντηση

Από τον ορισμό της αντίστροφης ισχύει $f(f^{-1}(x))=x$.

Επειδή $f(t)=t^3+t$, θέτοντας $t=f^{-1}(x)$, παίρνουμε

$(f^{-1}(x))^3+f^{-1}(x)=x$.

Άσκηση

Έστω 1–1 συνάρτηση $f$ στο $\mathbb{R}$ με $f(3)=7$. Να λυθεί η εξίσωση $f^{-1}(x-2)=3$.

Απάντηση

Η εξίσωση $f^{-1}(x-2)=3$ ισοδυναμεί με $f(3)=x-2$.

Επειδή $f(3)=7$, παίρνουμε $x-2=7$.

Άρα $x=9$.

6. Τομή γραφικών παραστάσεων $C_f$ και $C_{f^{-1}}$

Οι γραφικές παραστάσεις της $f$ και της $f^{-1}$ είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία $y=x$.

Αν το σημείο $M(x,f(x))$ ανήκει στη γραφική της $f$, τότε το σημείο $M'(f(x),x)$ ανήκει στη γραφική της $f^{-1}$.

🔹 Αν η γραφική παράσταση της $f$ δεν τέμνει την ευθεία $y=x$, τότε ούτε και η γραφική παράσταση της αντίστροφης $f^{-1}$ την τέμνει.

Έστω ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$ τέμνει την ευθεία $y=x$ στο σημείο $M(x_0,x_0)$.

Τότε το σημείο αυτό ανήκει στη γραφική παράσταση της $f$, οπότε ισχύει $f(x_0)=x_0$.

Από τον ορισμό της αντίστροφης συνάρτησης, η σχέση $f(x_0)=x_0$ είναι ισοδύναμη με τη σχέση $f^{-1}(x_0)=x_0$.

Άρα το ίδιο σημείο $M(x_0,x_0)$ ανήκει και στη γραφική παράσταση της αντίστροφης συνάρτησης $f^{-1}$.

Συνεπώς, αν η καμπύλη $C_f$ τέμνει την ευθεία $y=x$, τότε στο ίδιο σημείο την τέμνει και η καμπύλη $C_{f^{-1}}$.

Παράδειγμα

Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x+eˣ−1. Να αποδειχθεί ότι είναι 1–1 και να βρεθούν τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων C_f και C_f⁻¹.

Απάντηση

Έστω x₁<x₂. Επειδή η εκθετική συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα, ισχύει e^x₁<e^x₂.

Άρα x₁+e^x₁−1 < x₂+e^x₂−1, δηλαδή f(x₁)<f(x₂).

Η f είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ και επομένως είναι 1–1.

Εφόσον η f είναι γνησίως αύξουσα, τα σημεία τομής των C_f και C_f⁻¹ βρίσκονται στην ευθεία y=x.

Λύνουμε την εξίσωση f(x)=x:

x+eˣ−1=x ⇔ eˣ=1 ⇔ x=0.

Άρα το μοναδικό σημείο τομής των C_f και C_f⁻¹ είναι το O(0,0).

Άσκηση

Έστω $f(x)=x^3+x$. Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της $f$ με την ευθεία $y=x$ (δηλαδή τα σημεία τομής των καμπυλών $C_f$ και $C_{f^{-1}}$).

Απάντηση

Η $f$ είναι γνησίως αύξουσα, άρα τα κοινά σημεία των $C_f$ και $C_{f^{-1}}$ βρίσκονται στην ευθεία $y=x$.

Λύνουμε την εξίσωση $f(x)=x$:

$x^3+x=x \;\Leftrightarrow\; x^3=0 \;\Leftrightarrow\; x=0$.

Άρα το μοναδικό σημείο τομής είναι το $O(0,0)$.

🔹 Αν η συνάρτηση $f$ είναι γνησίως αύξουσα (και όχι γνησίως φθίνουσα), τότε οι γραφικές παραστάσεις $C_f$ και $C_{f^{-1}}$, αν τέμνονται, τέμνονται υποχρεωτικά μόνο πάνω στην ευθεία $y=x$.

Δηλαδή, αν υπάρχει κοινό σημείο των $C_f$ και $C_{f^{-1}}$, αυτό έχει τη μορφή $(x_0,x_0)$ και ικανοποιεί την εξίσωση $f(x_0)=x_0$.

Οι καμπύλες δεν μπορούν να τέμνονται εκτός της διχοτόμου $(\delta):y=x$.

Έστω ότι οι γραφικές παραστάσεις $C_f$ και $C_{f^{-1}}$ τέμνονται στο σημείο $M(x_0,y_0)$.

Επειδή το σημείο ανήκει και στις δύο καμπύλες, ισχύει $y_0=f(x_0)$ και $x_0=f(y_0)$.

Αν ήταν \(y_0

Ομοίως, αν ήταν $y_0>x_0$, καταλήγουμε πάλι σε άτοπο.

Άρα αναγκαστικά $y_0=x_0$, δηλαδή $f(x_0)=x_0$.

Συνεπώς, το σημείο τομής των $C_f$ και $C_{f^{-1}}$ βρίσκεται πάνω στην ευθεία $y=x$.

Παράδειγμα

Έστω $f(x)=x^3+x$. Να βρεθούν τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων $C_f$ και $C_{f^{-1}}$.

Απάντηση

Η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$, άρα τα κοινά σημεία των $C_f$ και $C_{f^{-1}}$ βρίσκονται στην ευθεία $y=x$.

Λύνουμε την εξίσωση $f(x)=x$:

$x^3+x=x$ ⇔ $x^3=0$ ⇔ $x=0$.

Άρα το μοναδικό κοινό σημείο είναι το $O(0,0)$.

Άσκηση

Έστω $f(x)=\ln x+x$, με $x>0$. Να βρεθούν τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων $f$ και $f^{-1}$ (δηλαδή τα σημεία τομής των καμπυλών $C_f$ και $C_{f^{-1}}$).

Απάντηση

Έστω $x_1,x_2\in(0,+\infty)$ με \(x_1

Προσθέτοντας κατά μέλη τις ανισότητες $\ln x_1<\ln x_2$ και \(x_1

Άρα η συνάρτηση $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $(0,+\infty)$. Επομένως, αν οι γραφικές παραστάσεις $C_f$ και $C_{f^{-1}}$ τέμνονται, το σημείο τομής τους βρίσκεται υποχρεωτικά πάνω στην ευθεία $y=x$.

Για τον λόγο αυτό λύνουμε την εξίσωση $f(x)=x$.

$\ln x+x=x \;\Leftrightarrow\; \ln x=0 \;\Leftrightarrow\; x=1$.

Άρα το μοναδικό σημείο τομής των καμπυλών $C_f$ και $C_{f^{-1}}$ είναι το $(1,1)$.

⚠️ Η παραπάνω ιδιότητα δεν ισχύει όταν η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα. Στην περίπτωση αυτή, οι γραφικές παραστάσεις $C_f$ και $C_{f^{-1}}$ μπορεί να συμπίπτουν ή να έχουν άπειρα κοινά σημεία.

Παράδειγμα

Έστω $f(x)=-x+1$. Να εξεταστεί η τομή των $C_f$ και $C_{f^{-1}}$.

Απάντηση

Η $f$ είναι 1–1 και $f^{-1}(x)=-x+1=f(x)$.

Άρα οι γραφικές παραστάσεις συμπίπτουν και έχουν άπειρα κοινά σημεία.

Γενικά θέματα

Θέμα 1

Να βρεθεί η αντίστροφη συνάρτηση της $f$, όπου $f(x)=e^x-1$ για $x\ge0$ και $f(x)=x$ για $x<0$.

Απάντηση

Εξετάζουμε τη συνάρτηση $f$ κατά διαστήματα.

1η περίπτωση: $x\ge0$.

Τότε $y=e^x-1$. Έχουμε $y+1=e^x$, οπότε $x=\ln(y+1)$, με $y\ge0$.

Άρα για $x\ge0$ ισχύει $f^{-1}(x)=\ln(x+1)$.

2η περίπτωση: $x<0$.

Τότε $y=x$, οπότε άμεσα $x=y$.

Άρα για $x<0$ ισχύει $f^{-1}(x)=x$.

Συνεπώς η αντίστροφη συνάρτηση της $f$ είναι η $f^{-1}$, με τύπο:

$f^{-1}(x)=\ln(x+1)$ για $x\ge0$ και $f^{-1}(x)=x$ για $x<0$.

Θέμα 2

Αν ισχύει $f^3(x)+f(x)=x$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$, να αποδειχθεί ότι $f^{-1}(x)=x^3+x$ και στη συνέχεια να λυθεί η εξίσωση $f^{-1}(x)=f(x)$.

Απάντηση

Θέτουμε τη συνάρτηση $r(x)=x^3+x$, η οποία είναι προφανώς γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$.

Από $f(x)=y$ προκύπτει $r(f(x))=r(y)$ ⇔ $f^3(x)+f(x)=r(y)$ ⇔ $x=r(y)$.

Για κάθε $y\in\mathbb{R}$ υπάρχει μοναδικό $x=r(y)=y^3+y$, άρα $f^{-1}(x)=x^3+x$.

Η εξίσωση $f^{-1}(x)=f(x)$ ισοδυναμεί με $x^3+x=x$ ⇔ $x^3=0$ ⇔ $x=0$.

Άρα οι γραφικές παραστάσεις των $f$ και $f^{-1}$ τέμνονται μόνο στο $O(0,0)$.

Θέμα 3

Έστω συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ τέτοια ώστε:

η $f$ είναι γνησίως μονότονη στο $\mathbb{R}$,
η γραφική της διέρχεται από τα σημεία $A(1,2005)$ και $B(-2,1)$,
το σύνολο τιμών της είναι το $\mathbb{R}$.

Να αποδειχθούν τα παρακάτω.

Απάντηση

α. Η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$.

Αν ήταν γνησίως φθίνουσα, από $-2<1$ θα είχαμε $f(-2)>f(1)$, δηλαδή $1>2005$, άτοπο.

β. Η σύνθεση $f\circ f$ είναι γνησίως αύξουσα.

Αφού η $f$ είναι γνησίως αύξουσα, η σύνθεση $f(f(x))$ διατηρεί τη μονοτονία.

γ. Η $f^{-1}$ είναι γνησίως αύξουσα και η εξίσωση $2x+f^{-1}(x)=0$ έχει μοναδική λύση το $x=1$.

Από το σημείο $B(-2,1)$ προκύπτει $f(-2)=1$ ⇔ $f^{-1}(1)=-2$.

Για $x=1$: $2\cdot1+f^{-1}(1)=2-2=0$.

δ. Να λυθεί η εξίσωση $f^{-1}(-2004+f(x^2-8))=-2$.

Ισοδύναμα: $-2004+f(x^2-8)=1$ ⇔ $f(x^2-8)=2005$ ⇔ $x^2-8=1$ ⇔ $x=\pm3$.

ε. Να αποδειχθεί ότι $f^{-1}(f(x^2+x)+2004)>1$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

Επειδή η $f$ είναι γνησίως αύξουσα:

$f^{-1}(f(x^2+x)+2004)>f^{-1}(2005)=1$.

Θέμα 4

Αν $f^{-1}(x)=x^5-mx^4$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$, να προσδιοριστεί η συνάρτηση $f$.

Απάντηση

Η συνάρτηση $f^{-1}$ είναι 1–1, αφού είναι αντίστροφη συνάρτηση.

Υπολογίζουμε: $f^{-1}(0)=0^5-m\cdot0^4=0$ και $f^{-1}(m)=m^5-m\cdot m^4=0$.

Άρα $f^{-1}(m)=f^{-1}(0)$.

Επειδή η $f^{-1}$ είναι 1–1, προκύπτει $m=0$.

Επομένως $f^{-1}(x)=x^5$.

Η αντίστροφη της συνάρτησης $y=x^5$ είναι η συνάρτηση $y=\sqrt[5]{x}$, η οποία ορίζεται για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

Άρα $f(x)=\sqrt[5]{x}$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

Θέμα 5

Να βρεθεί η 1–1 συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, αν ισχύουν:

$f(x)+f^{-1}(x)=2f(1)x$ και $f(x)f^{-1}(x)=f^2(1)x^2$.

Απάντηση

Από την πρώτη σχέση: $f^{-1}(x)=2f(1)x-f(x)$.

Αντικαθιστούμε στη δεύτερη:

$f(x)(2f(1)x-f(x))=f^2(1)x^2$ ⇔ $(f(x)-f(1)x)^2=0$.

Άρα $f(x)=f(1)x$.

Αν $f(1)=0$, τότε $f(x)=0$, άτοπο (δεν είναι 1–1).

Άρα $f(1)\ne0$. Από $f(x)=y$ προκύπτει $x=\dfrac{y}{f(1)}$ και $f^{-1}(x)=\dfrac{1}{f(1)}x$.

Θέτοντας $x=1$:

$f(1)+\dfrac{1}{f(1)}=2f(1)$ ⇔ $f^2(1)=1$.

Άρα είτε $f(1)=1$ και $f(x)=x$, είτε $f(1)=-1$ και $f(x)=-x$.

Θέμα 6

Έστω η συνάρτηση $f(x)=x^4+x^2+x-2$, με $x\ge 0$.

α. Να αποδειχθεί ότι η $f$ αντιστρέφεται στο $[0,+\infty)$.
β. Να λυθεί η εξίσωση $f^{-1}(x)=x$.

Απάντηση

α.

Η συνάρτηση $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $[0,+\infty)$, με παράγωγο $f'(x)=4x^3+2x+1$.

Για κάθε $x\ge0$ ισχύει $4x^3\ge0$, $2x\ge0$ και $1>0$, άρα $f'(x)>0$.

Επομένως η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $[0,+\infty)$ και συνεπώς είναι 1–1 και αντιστρέφεται στο διάστημα αυτό.

β.

Η εξίσωση $f^{-1}(x)=x$ είναι ισοδύναμη με $f(x)=x$.

Δηλαδή $x^4+x^2+x-2=x$.

Άρα $x^4+x^2-2=0$.

Η εξίσωση γράφεται $(x^2-1)(x^2+2)=0$.

Από εδώ παίρνουμε $x^2=1$ ή $x^2=-2$.

Η εξίσωση $x^2=-2$ δεν έχει πραγματικές λύσεις, ενώ από την $x^2=1$ προκύπτουν $x=-1$ ή $x=1$.

Επειδή $x\ge0$, απορρίπτεται η λύση $x=-1$.

Άρα η μοναδική λύση της εξίσωσης είναι $x=1$.

Θέμα 7

Έστω 1–1 συνάρτηση $f:D\to\mathbb{R}$, ώστε $f(x^2-2x+2)=x$, για κάθε $x\in D$, και το $D$ είναι το ευρύτερο διάστημα του $\mathbb{R}$ με $2022\in D$.

Να αποδειχθεί ότι $f(x)=x+\sqrt{x-1}$, με $D=[1,+\infty)$.

Απάντηση

Αν υπήρχε $x<1$, τότε θα υπήρχαν \(x_1

Επειδή $2022\in D$, προκύπτει $D=[1,+\infty)$.

Από $f(x^2-2x+2)=x$ παίρνουμε $f^{-1}(x)=x^2-2x+2$, για $x\ge1$.

Θέτοντας $f^{-1}(x)=y$, έχουμε $x^2-2x+2=y$ ⇔ $x=1+\sqrt{y-1}$.

Άρα $f(x)=x+\sqrt{x-1}$, $x\in[1,+\infty)$.

Θέμα 8

Έστω 1–1 συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$. Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση $f^{-1}$ έχει ακριβώς μία ρίζα.

Απάντηση

Επειδή $f^{-1}(f(0))=0$, το $f(0)$ είναι ρίζα της $f^{-1}$.

Η ρίζα είναι μοναδική, διότι η $f^{-1}$ είναι 1–1.

Θέμα 9

Έστω η συνάρτηση $f(x)=x+e^x-1$. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση $f^{-1}(x)=x$ έχει μοναδική λύση το $x=0$.

Απάντηση

$ f^{-1}(x)=x {\small \iff} f(f^{-1}(x))=f(x) {\small \iff} x=x+e^x-1 {\small \iff} e^x=1 {\small \iff} x=0 $

Η λύση είναι αποδεκτή, αφού ανήκει στο πεδίο ορισμού.

Θέμα 10

Να βρεθεί η συνάρτηση $f$, αν $f^{-1}(x)=\ln\!\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)$, με $x\in(-1,1)$.

Απάντηση

Θέτουμε $y=f^{-1}(x)$.

Τότε ισχύει $\ln\!\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)=y$.

Υψώνοντας τα δύο μέλη στη βάση $e$, παίρνουμε $\dfrac{1+x}{1-x}=e^y$.

Λύνοντας ως προς $x$, έχουμε $1+x=e^y(1-x)$, άρα $1+x=e^y-e^yx$.

Ομαδοποιώντας τους όρους, προκύπτει $x(1+e^y)=e^y-1$.

Επομένως $x=\dfrac{e^y-1}{e^y+1}$.

Άρα η συνάρτηση $f$ είναι $f(x)=\dfrac{e^x-1}{e^x+1}$, με $x\in\mathbb{R}$.

Θέμα 11

Έστω η 1–1 συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, ώστε $f^{-1}(x)=2x-\alpha$ και $f(x)=\beta x+\dfrac12$.

α. Να βρεθούν οι σταθερές $\alpha$ και $\beta$.
β. Να περιγραφεί η θέση των γραφικών παραστάσεων των $f$ και $f^{-1}$.
γ. Να βρεθεί η συνάρτηση $h=(f^{-1})^2\circ f$.

Απάντηση

α.

Από τον ορισμό της αντίστροφης συνάρτησης ισχύει $f(f^{-1}(x))=x$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

Άρα $f(2x-\alpha)=x$.

Επειδή $f(x)=\beta x+\dfrac12$, έχουμε $\beta(2x-\alpha)+\dfrac12=x$.

Συγκρίνοντας τους συντελεστές, προκύπτει: $2\beta=1$ και $-\alpha\beta+\dfrac12=0$.

Από την πρώτη σχέση παίρνουμε $\beta=\dfrac12$, και αντικαθιστώντας στη δεύτερη, $-\dfrac{\alpha}{2}+\dfrac12=0$, οπότε $\alpha=1$.

Άρα $f(x)=\dfrac12x+\dfrac12$ και $f^{-1}(x)=2x-1$.

β.

Οι γραφικές παραστάσεις μιας συνάρτησης και της αντίστροφής της είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία $y=x$.

Επομένως οι γραφικές παραστάσεις των $f$ και $f^{-1}$ είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία $y=x$.

γ.

Υπολογίζουμε αρχικά: $(f^{-1})(x)=2x-1$.

Άρα $(f^{-1})^2(x)=f^{-1}(f^{-1}(x))=2(2x-1)-1=4x-3$.

Η συνάρτηση $h=(f^{-1})^2\circ f$ δίνεται από $h(x)=(f^{-1})^2(f(x))$.

Επειδή $f(x)=\dfrac12x+\dfrac12$, έχουμε $h(x)=4\!\left(\dfrac12x+\dfrac12\right)-3=x^2$.

Επομένως $h(x)=x^2$.

Θέμα 12

Έστω 1–1 συνάρτηση με τύπο $f(x)=x^n-2nx$, με $n\in\mathbb{N}$. Να αποδειχθεί ότι $f(x)=-x$.

Απάντηση

Εξετάζουμε τις δυνατές τιμές του $n$.

1η περίπτωση: $n=0$.

Τότε $f(x)=x^0-0=1$, δηλαδή η $f$ είναι σταθερή συνάρτηση.

Άρα δεν είναι 1–1, που είναι άτοπο.

2η περίπτωση: $n=1$.

Τότε $f(x)=x-2x=-x$, που ικανοποιεί τη συνθήκη.

3η περίπτωση: $n>1$.

Έχουμε $f(x)=x^n-2nx=x(x^{\,n-1}-2n)$.

Η εξίσωση $f(x)=0$ έχει τις λύσεις $x=0$ και $x=(2n)^{\frac{1}{n-1}}$.

Άρα η $f$ έχει τουλάχιστον δύο διαφορετικές ρίζες, επομένως δεν είναι 1–1, που είναι άτοπο.

Συνεπώς η μοναδική δυνατή τιμή είναι $n=1$, και άρα $f(x)=-x$.

Θέμα 13

Έστω η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, για την οποία ισχύει $f(f(x))+f(x)=2$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

Αν $f(0)=1$, να αποδειχθεί ότι η $f$ δεν αντιστρέφεται.

Απάντηση

Θέτουμε $x=0$ στη δοθείσα σχέση $f(f(x))+f(x)=2$.

Τότε παίρνουμε $f(f(0))+f(0)=2$.

Επειδή δίνεται ότι $f(0)=1$, η παραπάνω σχέση γράφεται $f(1)+1=2$.

Άρα $f(1)=1$.

Επομένως ισχύει $f(0)=f(1)=1$, με $0\ne1$.

Άρα η συνάρτηση $f$ δεν είναι 1–1 και συνεπώς δεν αντιστρέφεται.

Θέμα 14

Έστω $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, ώστε $f^3(x)+f(x)=x$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

Να αποδειχθεί ότι η $f$ είναι περιττή, 1–1, γνησίως αύξουσα και να βρεθούν τα σημεία τομής των $C_f$ και $C_{f^{-1}}$.

Απάντηση

Θέτουμε $r(x)=x^3+x$, η οποία είναι γνησίως αύξουσα.

Από $f(x)=y$ έχουμε $r(f(x))=r(y)$ ⇔ $x=y^3+y$.

Άρα $f^{-1}(x)=x^3+x$, η $f$ είναι 1–1 και γνησίως αύξουσα.

Από τη σχέση $f(-x)=-f(x)$ προκύπτει ότι η $f$ είναι περιττή.

Τέλος, η εξίσωση $f^{-1}(x)=x$ δίνει $x^3+x=x$ ⇔ $x=0$.

Άρα οι γραφικές παραστάσεις $C_f$ και $C_{f^{-1}}$ τέμνονται μόνο στο $O(0,0)$.

Θέμα 15

Έστω η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με $f(x)=x^3+x$. Να αποδειχθεί ότι οι γραφικές παραστάσεις των $f$ και $f^{-1}$ τέμνονται μόνο στο σημείο $O(0,0)$.

Απάντηση

Η συνάρτηση $f(x)=x^3+x$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$, άρα είναι 1–1 και αντιστρέφεται.

Επιπλέον, $f(0)=0$ και συνεπώς $f^{-1}(0)=0$, οπότε το $O(0,0)$ είναι κοινό σημείο.

Για $x>0$ ισχύει: $f(x)>x \iff x^3>0$, οπότε, επειδή η $f$ είναι αύξουσα, έχουμε $x>f^{-1}(x)$.

Για $x<0$ ισχύει: \(f(x)

Άρα, για κάθε $x\ne0$, οι τιμές $f(x)$ και $f^{-1}(x)$ βρίσκονται σε διαφορετικές πλευρές της ευθείας $y=x$.

Συνεπώς, οι γραφικές παραστάσεις των $f$ και $f^{-1}$ τέμνονται μόνο στο $O(0,0)$.

Εναλλακτικά: αν $M(\alpha,\beta)$ είναι κοινό σημείο, τότε $f(\alpha)=\beta$ και $f^{-1}(\alpha)=\beta$, άρα $f(\beta)=\alpha$.

Επειδή η $f$ είναι γνησίως αύξουσα, προκύπτει $\alpha=\beta$, δηλαδή τα σημεία τομής βρίσκονται πάνω στην $y=x$.

Η $C_f$ τέμνει την $y=x$ μόνο στο $O(0,0)$, άρα και η $C_{f^{-1}}$.

Θέμα 16

Έστω η συνάρτηση $f(x)=\mathrm{ημ}x+\mathrm{συν}x+x-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt3}{2}$, με $x\in\left(0,\dfrac{\pi}{4}\right)$.

α. Να αποδειχθεί ότι η $f$ αντιστρέφεται.
β. Να λυθεί η εξίσωση $f^{-1}(x)=x$.

Απάντηση

α.

Στο διάστημα $\left(0,\dfrac{\pi}{4}\right)$ οι συναρτήσεις $\mathrm{ημ}x$, $\mathrm{συν}x$ και $x$ είναι γνησίως αύξουσες.

Άρα και η συνάρτηση $g(x)=\mathrm{ημ}x+\mathrm{συν}x$ είναι γνησίως αύξουσα, οπότε και η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο δοθέν διάστημα.

Συνεπώς η $f$ είναι 1–1 και αντιστρέφεται.

β.

$f^{-1}(x)=x \iff f(x)=x$

$\iff \mathrm{ημ}x+\mathrm{συν}x=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt3}{2}$.

Θέτουμε $g(x)=\mathrm{ημ}x+\mathrm{συν}x$, η οποία είναι γνησίως αύξουσα στο $\left(0,\dfrac{\pi}{4}\right)$.

Παρατηρούμε ότι $g\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt3}{2}$.

Άρα η εξίσωση έχει μοναδική λύση $x=\dfrac{\pi}{6}$.

Θέμα 17

Έστω η συνάρτηση $f(x)=x^3$, με $x\in\mathbb{R}$.

α. Να αποδειχθεί ότι η $f$ είναι αντιστρέψιμη και να βρεθεί η $f^{-1}$.
β. Να παρασταθούν στο ίδιο σύστημα οι $f$ και $f^{-1}$.
γ. Να λυθεί η εξίσωση $f(2x+\mathrm{συν}(x-1))=(x^2+2)^3$.

Απάντηση

α.

Η συνάρτηση $f(x)=x^3$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$, άρα είναι 1–1 και αντιστρέφεται.

Θέτουμε $y=x^3$. Τότε $x=\sqrt[3]{y}$, οπότε $f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}$, με $x\in\mathbb{R}$.

β.

Οι γραφικές παραστάσεις των $f$ και $f^{-1}$ είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία $y=x$ και τέμνονται στα σημεία $(-1,-1)$, $O(0,0)$, $(1,1)$.

γ.

$f(2x+\mathrm{συν}(x-1))=(x^2+2)^3$

$\iff (2x+\mathrm{συν}(x-1))^3=(x^2+2)^3$

$\iff 2x+\mathrm{συν}(x-1)=x^2+2$

$\iff \mathrm{συν}(x-1)=(x-1)^2+1\ge1$.

Όμως $\mathrm{συν}t\le1$ για κάθε $t$, άρα πρέπει να ισχύει $\mathrm{συν}(x-1)=1$ και $(x-1)^2=0$.

Άρα η μοναδική λύση είναι $x=1$.

Θέμα 18

Έστω η ορισμένη στο ℝ συνάρτηση $f$, η οποία είναι 1–1 και περιττή. Να λυθεί η εξίσωση $f(x)+f(1)=0$.

Απάντηση

Επειδή η $f$ είναι περιττή, ισχύει $f(-x)=-f(x)$ για κάθε $x$.

Η εξίσωση γράφεται: $f(x)=-f(1)=f(-1)$.

Επειδή η $f$ είναι 1–1, προκύπτει: $x=-1$.

Άρα η εξίσωση έχει μοναδική λύση $x=-1$.

Θέμα 19

Έστω η ορισμένη στο ℝ, περιττή και 1–1 συνάρτηση $f$, με $f(\mathbb{R})=\mathbb{R}$. Να αποδειχθεί ότι και η αντίστροφη $f^{-1}$ είναι περιττή.

Απάντηση

Επειδή $f(\mathbb{R})=\mathbb{R}$ και η $f$ είναι 1–1, υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση $f^{-1}$.

Θέτουμε $y=f(x)$. Τότε $f^{-1}(y)=x$.

Επειδή η $f$ είναι περιττή, $f(-x)=-f(x)$, δηλαδή $f(-x)=-y$.

Άρα $f^{-1}(-y)=-x=-f^{-1}(y)$.

Συνεπώς η $f^{-1}$ είναι περιττή.

Θέμα 20

Έστω η συνάρτηση $f$ ορισμένη στο $\mathbb{R}$, ώστε $(f\circ f)(x)=3x-2$.

α₁. Να αποδειχθεί ότι $f(1)=1$.
α₂. Να αποδειχθεί ότι η $f$ είναι 1–1.
β. Να λυθεί η εξίσωση $f(-x)=1$.

Απάντηση

α₁.

Θέτουμε $x=1$. Τότε $f(f(1))=3\cdot1-2=1$.

Άρα $f(f(1))=f(1)$ και επειδή η $f$ είναι 1–1, προκύπτει $f(1)=1$.

α₂.

Έστω $f(a)=f(b)$. Τότε $f(f(a))=f(f(b))$.

Από τη δοθείσα σχέση έχουμε $3a-2=3b-2$, άρα $a=b$.

Συνεπώς η $f$ είναι 1–1.

β.

Η εξίσωση $f(-x)=1$ γράφεται $f(-x)=f(1)$.

Επειδή η $f$ είναι 1–1, προκύπτει $-x=1$, άρα $x=-1$.

Θέμα 21

Έστω η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, ώστε $(f\circ f)(x)=x^2-3x+4$.

α. Να αποδειχθεί ότι $f(2)=2$.
β. Να αποδειχθεί ότι η $f$ δεν είναι 1–1.

Απάντηση

α.

Θέτουμε $x=2$ στη δοθείσα σχέση. Τότε $f(f(2))=2^2-3\cdot2+4=4-6+4=2$.

Άρα $f(f(2))=2$. Επειδή η $f(2)$ είναι πραγματικός αριθμός, προκύπτει ότι $f(2)=2$.

β.

Από τη σχέση $(f\circ f)(x)=x^2-3x+4$ παρατηρούμε ότι το δεξί μέλος είναι τριώνυμο με διακρίνουσα $\Delta=(-3)^2-4\cdot1\cdot4=9-16=-7<0$.

Άρα $x^2-3x+4>0$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$, και επομένως $f(f(x))>0$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

Αυτό σημαίνει ότι οι τιμές της $f$ είναι όλες θετικές, δηλαδή $f(x)>0$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

Όμως τότε η $f$ δεν μπορεί να είναι 1–1, αφού διαφορετικές τιμές του $x$ μπορούν να έχουν την ίδια εικόνα μέσω της σύνθεσης $f\circ f$.

Συνεπώς η συνάρτηση $f$ δεν είναι 1–1.

Θέμα 22

Έστω η συνάρτηση $f(x)=x^5+x^3-2$, με $x\in\mathbb{R}$.

α. Να αποδειχθεί ότι η $f$ είναι 1–1.
β. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $F(x)=\dfrac{1}{f(x)}$.
γ. Να αποδειχθεί ότι από τη σχέση $(\alpha-1)^5+(\alpha-1)^3=(\beta-1)^5+(\beta-1)^3$ προκύπτει $\alpha=\beta$.

Απάντηση

α.

Η παράγωγος της $f$ είναι $f'(x)=5x^4+3x^2$.

Επειδή $5x^4\ge0$ και $3x^2\ge0$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$, και μάλιστα $5x^4+3x^2=0$ μόνο για $x=0$, προκύπτει ότι $f'(x)\ge0$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

Άρα η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ και συνεπώς είναι 1–1.

β.

Η συνάρτηση $F(x)=\dfrac{1}{f(x)}$ ορίζεται για όλες τις τιμές του $x$ για τις οποίες $f(x)\ne0$.

Εξετάζουμε την εξίσωση $x^5+x^3-2=0$.

Επειδή η $f$ είναι γνησίως αύξουσα, η εξίσωση $f(x)=0$ έχει το πολύ μία λύση.

Υπολογίζουμε: $f(0)=-2<0$ και $f(1)=1+1-2=0$.

Άρα η εξίσωση $x^5+x^3-2=0$ έχει μοναδική λύση $x=1$.

Επομένως το πεδίο ορισμού της $F$ είναι $D_F=\mathbb{R}\setminus\{1\}$.

γ.

Η δοθείσα σχέση γράφεται $f(\alpha-1)=f(\beta-1)$.

Επειδή από το ερώτημα (α) η $f$ είναι 1–1, από την ισότητα των τιμών της προκύπτει $\alpha-1=\beta-1$.

Άρα $\alpha=\beta$.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Άσκηση 1

Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f(x)=x^4+x^2+1$ δεν είναι 1–1.

Υπολογίζουμε τη τιμή της συνάρτησης στα αντίθετα $x$ και $-x$.

Έχουμε: $f(-x)=(-x)^4+(-x)^2+1=x^4+x^2+1=f(x)$.

Για κάθε $x\neq0$ ισχύει $x\neq -x$ αλλά $f(x)=f(-x)$.

Άρα η συνάρτηση δεν είναι 1–1.

Άσκηση 2

Να εξετάσετε ως προς το 1–1 τη συνάρτηση $f(x)=x^3+x$, με $x\in\mathbb{R}$.

Έστω $x_1,x_2\in\mathbb{R}$ με \(x_1

Επειδή η συνάρτηση $x^3$ είναι γνησίως αύξουσα, ισχύει \(x_1^3

Προσθέτοντας κατά μέλη τις ανισότητες \(x_1^3

Δηλαδή \(f(x_1)γνησίως αύξουσα.

Επομένως η συνάρτηση είναι 1–1.

Άσκηση 3

Να εξετάσετε ως προς το 1–1 τη συνάρτηση $f(x)=1+x|x|$, με $x\in\mathbb{R}$.

Γράφουμε τη συνάρτηση χωρίς απόλυτη τιμή.

Για $x\ge0$: $f(x)=1+x^2$.
Για $x<0$: $f(x)=1-x^2$.

Υπολογίζουμε: $f(1)=2$ και $f(-1)=0$.

Υπάρχουν διαφορετικές τιμές του $x$ με διαφορετική συμπεριφορά, άρα η συνάρτηση δεν είναι 1–1.

Άσκηση 4

Να εξετάσετε ως προς το 1–1 τη συνάρτηση $f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$, με $x\in\mathbb{R}$.

Υπολογίζουμε χαρακτηριστικές τιμές:

$f(1)=\frac12$, $f(-1)=-\frac12$, $f(2)=\frac25$, $f(-2)=-\frac25$.

Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση αλλάζει μονοτονία.

Άρα δεν είναι 1–1.

Άσκηση 5

Να εξετάσετε ως προς το 1–1 τη συνάρτηση $f(x)=\dfrac{e^x-1}{e^x+1}$, με $x\in\mathbb{R}$.

Έστω \(x_1

Άρα: \[ \frac{e^{x_1}-1}{e^{x_1}+1} < \frac{e^{x_2}-1}{e^{x_2}+1} \]

Δηλαδή \(f(x_1)

Επομένως η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και άρα 1–1.

Άσκηση 6

Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f(x)=2019+\sqrt{x}+e^{x-1}$ είναι 1–1 στο $\mathbb{R}_+$.

Για να δείξουμε ότι η $f$ είναι 1–1 στο $\mathbb{R}_+$, αρκεί να αποδείξουμε ότι είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}_+$.

Έστω $x_1,x_2\in\mathbb{R}_+$ με \(x_1

Επειδή η συνάρτηση $\sqrt{x}$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}_+$, προκύπτει $\sqrt{x_1}<\sqrt{x_2}$.

Επίσης, επειδή η εκθετική συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$, από \(x_1

Προσθέτοντας κατά μέλη τις ανισότητες $\sqrt{x_1}<\sqrt{x_2}$ και \(e^{x_1-1}

Αν προσθέσουμε και τον ίδιο αριθμό $2019$ και στα δύο μέλη, η ανισότητα διατηρείται: $2019+\sqrt{x_1}+e^{x_1-1}<2019+\sqrt{x_2}+e^{x_2-1}$.

Δηλαδή $f(x_1)γνησίως αύξουσα στο \(\mathbb{R}_+$.

Επομένως η $f$ είναι 1–1 στο $\mathbb{R}_+$.

Άσκηση 7

Να εξετάσετε αν η συνάρτηση $f(x)=\ln x-\ln(1-x)$ είναι 1–1 στο $(0,1)$.

Θα δείξουμε ότι η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $(0,1)$, άρα και 1–1.

Έστω $x_1,x_2\in(0,1)$ με \(x_1

Επειδή η λογαριθμική συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο $(0,+\infty)$, από \(x_1

Επίσης, από $x_1-x_2$, άρα $1-x_1>1-x_2$.

Επειδή πάλι η $\ln$ είναι γνησίως αύξουσα, από $1-x_1>1-x_2$ παίρνουμε $\ln(1-x_1)>\ln(1-x_2)$.

Αν τώρα αφαιρέσουμε κατά μέλη τις δύο ανισότητες, δηλαδή αφαιρέσουμε τη δεύτερη από την πρώτη, παίρνουμε: $\ln x_1-\ln(1-x_1)<\ln x_2-\ln(1-x_2)$.

Δηλαδή $f(x_1)γνησίως αύξουσα στο \((0,1)$.

Επομένως η συνάρτηση είναι 1–1 στο $(0,1)$.

Άσκηση 8

Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f(x)= \begin{cases} x^3+x, & x\le 0 \\ x^5+x, & x>0 \end{cases}$ είναι 1–1.

Θα δείξουμε ότι η $f$ είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το $\mathbb{R}$.

Πρώτα εξετάζουμε το τμήμα $x\le0$. Έστω $x_1,x_2\le0$ με \(x_1

Επειδή η $x^3$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$, ισχύει \(x_1^3

Άρα στο $(-\infty,0]$ η $f(x)=x^3+x$ είναι γνησίως αύξουσα.

Τώρα εξετάζουμε το τμήμα $x>0$. Έστω $x_1,x_2>0$ με \(x_1

Επειδή και η $x^5$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$, ισχύει \(x_1^5

Άρα στο $(0,+\infty)$ η $f(x)=x^5+x$ είναι γνησίως αύξουσα.

Μένει να συγκρίνουμε τιμές όταν η μία είναι αρνητική και η άλλη θετική. Αν $x\le0$, τότε $x^3\le0$ και άρα $x^3+x\le0$, δηλαδή $f(x)\le0$.

Αν $x>0$, τότε $x^5>0$ και $x>0$, άρα $x^5+x>0$, δηλαδή $f(x)>0$.

Επομένως κάθε τιμή από το αριστερό κομμάτι ($x\le0$) είναι $\le0$, ενώ κάθε τιμή από το δεξί κομμάτι ($x>0$) είναι $>0$. Άρα δεν μπορεί να υπάρξουν δύο διαφορετικά $x$ (το ένα $\le0$ και το άλλο $>0$) που να δίνουν την ίδια τιμή.

Συνεπώς η $f$ είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το $\mathbb{R}$ και άρα είναι 1–1.

Άσκηση 9

Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f(x)= \begin{cases} -x^3+1, & x\le 0 \\ x^5+x, & x>0 \end{cases}$ δεν είναι 1–1.

Για να δείξουμε ότι μια συνάρτηση δεν είναι 1–1, αρκεί να βρούμε δύο διαφορετικές τιμές $x$ που δίνουν ίδια τιμή της συνάρτησης.

Υπολογίζουμε: $f(0)=-0^3+1=1$.

Τώρα κοιτάμε το δεξί κομμάτι για $x>0$, όπου $f(x)=x^5+x$. Για $x>0$ ισχύει $x^5+x>0$ και μάλιστα όσο μεγαλώνει το $x$, μεγαλώνει και το $x^5+x$.

Υπολογίζουμε δύο τιμές: $f(0{,}5)=0{,}5^5+0{,}5=\frac{1}{32}+0{,}5=0{,}53125<1$, ενώ $f(1)=1^5+1=2>1$.

Άρα η τιμή $1$ βρίσκεται ανάμεσα στις τιμές $f(0{,}5)$ και $f(1)$. Επειδή το $x^5+x$ είναι συνεχές και γνησίως αύξον στο $(0,+\infty)$, υπάρχει μοναδικός αριθμός $x_1\in(0{,}5,1)$ τέτοιος ώστε $x_1^5+x_1=1$.

Δηλαδή για αυτό το $x_1>0$ έχουμε $f(x_1)=1$.

Όμως βρήκαμε και $f(0)=1$. Άρα $f(0)=f(x_1)$ με $0\neq x_1$.

Επομένως η συνάρτηση δεν είναι 1–1.

Άσκηση 10

Έστω η 1–1 συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, ώστε $f^{-1}(x)=2x-\alpha$ και $f(x)=\beta x+\dfrac12$.

α. Να βρείτε τους $\alpha,\beta$.
β. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $h=(f^{-1})^2\circ f$ είναι $h(x)=x^2$.

β. Να αποδείξετε ότι οι καμπύλες των

γ. Να αποδείξετε ότι οι καμπύλες $ C_f $ και $ C_{f^{-1}} $ έχουν τη διπλανή μορφή.

έχουν τη παραπάνω μορφή.

α. Από τον ορισμό της αντίστροφης, ισχύει $f(f^{-1}(x))=x$.

Δηλαδή $f(2x-\alpha)=x$.

Αντικαθιστούμε $f(x)=\beta x+\dfrac12$:

$\beta(2x-\alpha)+\dfrac12=x$.

Συγκρίνοντας συντελεστές, προκύπτει $\beta=\dfrac12$ και $\alpha=1$.

β. Οι γραφικές παραστάσεις μιας συνάρτησης και της αντίστροφής της είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία $y=x$.

Άρα οι γραφικές των $f$ και $f^{-1}$ είναι διπλανές.

γ. Υπολογίζουμε: $(f^{-1}\circ f)(x)=x$.

Επίσης $(f^{-1})^2(x)=f^{-1}(f^{-1}(x))=4x-3$.

Άρα $h(x)=(f^{-1})^2(f(x))=x^2$.

Άσκηση 11

Να δώσετε παράδειγμα συνάρτησης ορισμένης στο $\mathbb{R}$, που είναι 1–1 στο $(-\infty,0]$ και στο $(0,+\infty)$, αλλά όχι στο $\mathbb{R}$.

Παράδειγμα είναι η συνάρτηση $f(x)=x^2$, με $x\in\mathbb{R}$.

Στο $(-\infty,0]$ η $x^2$ είναι γνησίως φθίνουσα, άρα εκεί είναι 1–1. Στο $(0,+\infty)$ η $x^2$ είναι γνησίως αύξουσα, άρα και εκεί είναι 1–1.

Όμως στο $\mathbb{R}$ δεν είναι 1–1, γιατί υπάρχουν διαφορετικές τιμές που δίνουν ίδιο αποτέλεσμα: $f(1)=1$ και $f(-1)=1$, ενώ $1\neq -1$.

Άρα η $f(x)=x^2$ είναι 1–1 στα δύο υποδιαστήματα, αλλά όχι στο $\mathbb{R}$.

Άσκηση 12

Έστω $f(x)=\sqrt{x}$, με $x\ge 0$. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της.

Για να αντιστρέφεται μια συνάρτηση, πρέπει να είναι 1–1. Θα δείξουμε ότι η $f(x)=\sqrt{x}$ είναι γνησίως αύξουσα στο $[0,+\infty)$.

Έστω $x_1,x_2\ge 0$ με \(x_1

Άρα $f(x_1)γνησίως αύξουσα στο \([0,+\infty)$.

Συνεπώς η $f$ είναι 1–1 και αντιστρέφεται.

Για να βρούμε την αντίστροφη, θέτουμε $y=\sqrt{x}$, με $y\ge 0$.

Υψώνοντας και τα δύο μέλη στο τετράγωνο, παίρνουμε $x=y^2$.

Άρα $f^{-1}(x)=x^2$, με $x\ge 0$.

Άσκηση 13

Έστω $f(x)=1+\dfrac{1}{x}$, με $x>0$. Να βρείτε την αντίστροφή της.

Η συνάρτηση $\dfrac{1}{x}$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $(0,+\infty)$. Προσθέτοντας τον ίδιο αριθμό 1, η μονοτονία διατηρείται.

Άρα η $f(x)=1+\dfrac{1}{x}$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $(0,+\infty)$ και επομένως είναι 1–1 και αντιστρέφεται.

Θέτουμε $y=1+\dfrac{1}{x}$.

Αφαιρούμε 1: $y-1=\dfrac{1}{x}$.

Αντιστρέφουμε: $x=\dfrac{1}{y-1}$.

Άρα $f^{-1}(x)=\dfrac{1}{x-1}$, με $x>1$.

Άσκηση 14

Έστω $f(x)=1-\sqrt{-x}$, με $x\le 0$. Να βρείτε την αντίστροφή της.

Η συνάρτηση $\sqrt{-x}$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $(-\infty,0]$.

Πολλαπλασιάζοντας με $-1$, η μονοτονία αλλάζει και η $-\sqrt{-x}$ γίνεται γνησίως αύξουσα.

Προσθέτοντας τον ίδιο αριθμό 1, η μονοτονία διατηρείται. Άρα η $f(x)=1-\sqrt{-x}$ είναι γνησίως αύξουσα στο $(-\infty,0]$ και επομένως είναι 1–1 και αντιστρέφεται.

Θέτουμε $y=1-\sqrt{-x}$.

Μεταφέρουμε: $\sqrt{-x}=1-y$.

Υψώνουμε στο τετράγωνο: $-x=(1-y)^2$.

Άρα $x=-(1-y)^2$.

Συνεπώς $f^{-1}(x)=-(1-x)^2$, με $x\le 1$.

Άσκηση 15

Δίνονται οι συναρτήσεις $f(x)=x^2-x+1$, με $x>\dfrac12$, και $g(x)=\dfrac12+\sqrt{x-\dfrac34}$. Να δείξετε ότι η $g$ είναι η αντίστροφη της $f$.

Για να δείξουμε ότι η $g$ είναι η αντίστροφη της $f$, αρκεί να αποδείξουμε ότι:
$f(g(x))=x$ και $g(f(x))=x$, στα αντίστοιχα πεδία ορισμού.

Υπολογίζουμε: $g(x)=\dfrac12+\sqrt{x-\dfrac34}$. Θέτουμε $t=\sqrt{x-\dfrac34}$, οπότε $g(x)=\dfrac12+t$.

Τότε $f(g(x))=(\dfrac12+t)^2-(\dfrac12+t)+1 =t^2+\dfrac34 =x$.

Αντίστοιχα, υπολογίζοντας τη σύνθεση $g(f(x))$, προκύπτει πάλι $g(f(x))=x$.

Άρα η $g$ είναι η αντίστροφη της $f$ και οι γραφικές τους παραστάσεις είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία $y=x$.

Άσκηση 16

Θεωρούμε $f(x)=\ln(x^3-1)$, με $x>1$, και $g(x)=\sqrt[3]{e^x+1}$.

α. Να βρείτε τη σύνθεση $g\circ f$.
β. Να αποδείξετε ότι $f^{-1}(x)=g(x)$.

Υπολογίζουμε τη σύνθεση:

$(g\circ f)(x) =\sqrt[3]{e^{\ln(x^3-1)}+1} =\sqrt[3]{x^3-1+1} =\sqrt[3]{x^3} =x$, για κάθε $x>1$.

Εφόσον $(g\circ f)(x)=x$, προκύπτει ότι η $g$ είναι η αντίστροφη της $f$.

Άρα $f^{-1}(x)=g(x)=\sqrt[3]{e^x+1}$.

Άσκηση 18

Αν $f^{-1}(x)=-2x$, με $x\in\mathbb{R}$, να αποδείξετε ότι $f(x)=-\dfrac12 x$.

Από τον ορισμό της αντίστροφης συνάρτησης ισχύει: $f(f^{-1}(x))=x$.

Δηλαδή $f(-2x)=x$.

Θέτουμε $t=-2x$, οπότε $x=-\dfrac{t}{2}$.

Άρα $f(t)=-\dfrac{t}{2}$.

Αντικαθιστώντας το $t$ με $x$, παίρνουμε $f(x)=-\dfrac12 x$.

Άσκηση 19

Δίνεται η αντίστροφη συνάρτηση \[ f^{-1}(x)= \begin{cases} \ln(1-x), & x\le 0 \\[4pt] 1-e^x, & x>0 \end{cases} \] Να αποδείξετε ότι η $f$ έχει διπλανή καμπύλη.

Γνωρίζουμε ότι οι γραφικές παραστάσεις μιας συνάρτησης και της αντίστροφής της είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία $y=x$.

Εφόσον δίνεται η γραφική παράσταση της $f^{-1}$, η γραφική παράσταση της $f$ προκύπτει με κατοπτρισμό ως προς την ευθεία $y=x$.

Άρα η συνάρτηση $f$ έχει διπλανή καμπύλη.

Άσκηση 20

Έστω η συνάρτηση $f(x)=3-e^{1-x}$.

α. Να βρείτε την αντίστροφή της.
β. Αν $M(x_0,x_0)$ είναι κοινό σημείο των $C_f$ και $C_{f^{-1}}$, να αποδείξετε ότι $e^{1-x}=\ln(3e^2-e^{2x})$.

α. Θέτουμε $y=3-e^{1-x}$.

Τότε $e^{1-x}=3-y$ και, επειδή $3-y>0$, παίρνουμε $1-x=\ln(3-y)$.

Άρα $x=1-\ln(3-y)$.

Επομένως $f^{-1}(x)=1-\ln(3-x)$.

β. Αν $M(x_0,x_0)$ είναι κοινό σημείο των $C_f$ και $C_{f^{-1}}$, τότε ανήκει στην ευθεία $y=x$.

Άρα $f(x)=x$.

Δηλαδή $3-e^{1-x}=x$.

Από πράξεις και λογαρίθμηση προκύπτει η ζητούμενη σχέση $e^{1-x}=\ln(3e^2-e^{2x})$.

Άσκηση 21

Αν $ f(x)=\dfrac{x}{1+|x|} $, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ έχει αντίστροφη και ότι ισχύει $ f^{-1}(x)=\dfrac{x}{1-|x|} $, με $ -1<x<1 $.

Θέτουμε $ y=f(x)=\dfrac{x}{1+|x|} $.

Εξετάζουμε δύο περιπτώσεις.

1η περίπτωση: Αν $x\ge 0$, τότε $ |x|=x $ και \[ y=\dfrac{x}{1+x}. \] Από αλγεβρικές πράξεις προκύπτει \[ x=\dfrac{y}{1-y}. \]

2η περίπτωση: Αν $x<0$, τότε $ |x|=-x $ και \[ y=\dfrac{x}{1-x}. \] Από πράξεις προκύπτει \[ x=\dfrac{y}{1+y}. \]

Και στις δύο περιπτώσεις το αποτέλεσμα γράφεται ενιαία: \[ x=\dfrac{y}{1-|y|}. \]

Άρα η αντίστροφη συνάρτηση είναι \[ f^{-1}(x)=\dfrac{x}{1-|x|}. \]

Επειδή $ |f(x)|<1 $ για κάθε $x\in\mathbb{R}$, το πεδίο ορισμού της $ f^{-1} $ είναι το διάστημα $ (-1,1) $.

Άσκηση 22

Δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $f$, $g$ και $\varphi$.

Να βρείτε ποιες έχουν αντίστροφη και να σχεδιάσετε πρόχειρα τη γραφική παράσταση της αντίστροφής τους.

Μια συνάρτηση έχει αντίστροφη αν και μόνο αν είναι 1–1.

Από τα δοσμένα σχήματα παρατηρούμε ότι οι συναρτήσεις $f$ και $g$ είναι 1–1, ενώ η $\varphi$ δεν είναι.

Οι γραφικές παραστάσεις των αντιστρόφων προκύπτουν με συμμετρία ως προς την ευθεία $y=x$.

Άσκηση 23

Έστω η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, η οποία είναι 1–1 και περιττή. Να λύσετε την εξίσωση $f(x)+f(1)=0$.

Επειδή η $f$ είναι περιττή, ισχύει $f(-1)=-f(1)$.

Η εξίσωση γράφεται $f(x)=f(-1)$.

Επειδή η $f$ είναι 1–1, από την ισότητα $f(x)=f(-1)$ προκύπτει $x=-1$.

Άσκηση 24

Έστω η περιττή και 1–1 συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$. Να αποδείξετε ότι και η $f^{-1}$ είναι περιττή.

Από την περιττότητα της $f$ έχουμε $f(-x)=-f(x)$.

Θέτουμε $y=f(x)$. Τότε $-y=f(-x)$.

Εφαρμόζοντας την αντίστροφη, προκύπτει $f^{-1}(-y)=-f^{-1}(y)$.

Άρα η $f^{-1}$ είναι περιττή.

Άσκηση 25

Έστω η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, ώστε $(f\circ f)(x)=3x-2$.

α. Να αποδείξετε ότι $f(1)=1$.
β. Να αποδείξετε ότι η $f$ είναι 1–1.
γ. Να λύσετε την εξίσωση $f(-x)=1$.

α. Θέτουμε $x=1$ στη σχέση $(f\circ f)(x)=3x-2$.

Παίρνουμε $f(f(1))=3\cdot1-2=1$.

Επομένως $f(1)=1$.

β. Έστω $f(x_1)=f(x_2)$.

Εφαρμόζοντας τη $f$ στα δύο μέλη, έχουμε $f(f(x_1))=f(f(x_2))$.

Δηλαδή $3x_1-2=3x_2-2$, οπότε $x_1=x_2$.

Άρα η $f$ είναι 1–1.

γ. Από $f(-x)=1=f(1)$ και επειδή η $f$ είναι 1–1, προκύπτει $-x=1$.

Άρα $x=-1$.

Άσκηση 26

Έστω η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, ώστε $(f\circ f)(x)=x^2-3x+4$.

α. Να αποδείξετε ότι $f(2)=2$.
β. Να αποδείξετε ότι η $g(x)=x^2-xf(x)+2$ δεν είναι 1–1.

α. Θέτουμε $x=2$ στη δοσμένη σχέση.

Παίρνουμε $f(f(2))=2^2-3\cdot2+4=2$.

Άρα $f(2)=2$.

β. Υπολογίζουμε τις τιμές της $g$:

$g(2)=4-2\cdot f(2)+2=4-4+2=2$.

Επίσης $g(0)=0-0+2=2$.

Εφόσον $g(2)=g(0)$ με $2\neq0$, η $g$ δεν είναι 1–1.

Άσκηση 27

Έστω η συνάρτηση $f(x)=x^5+x^3-2$.

α. Να αποδείξετε ότι είναι 1–1.
β. Να βρείτε το ευρύτερο σύνολο στο οποίο ορίζεται η $F(x)=\dfrac{1}{f(x)}$.
γ. Αν $(\alpha-1)^5+(\alpha-1)^3= (\beta-1)^5+(\beta-1)^3$, να αποδείξετε ότι $\alpha=\beta$.

α. Έστω \(x_1

Επειδή οι συναρτήσεις $x^5$ και $x^3$ είναι γνησίως αύξουσες στο $\mathbb{R}$, έχουμε \(x_1^5

Προσθέτοντας, προκύπτει \(f(x_1)

Άρα η $f$ είναι γνησίως αύξουσα και επομένως 1–1.

β. Η $F(x)=\dfrac{1}{f(x)}$ ορίζεται όπου $f(x)\neq0$.

Υπολογίζουμε $f(1)=1+1-2=0$.

Άρα $D=\mathbb{R}\setminus\{1\}$.

γ. Η δοσμένη ισότητα γράφεται $f(\alpha-1)=f(\beta-1)$.

Επειδή η $f$ είναι 1–1, προκύπτει $\alpha-1=\beta-1$, δηλαδή $\alpha=\beta$.

Τέλος του μαθήματος

Μάθημα 05 Αντίστροφη συνάρτηση

1. 1-1 Συνάρτηση

2. Γεωμετρική ερμηνεία της 1-1 συνάρτησης

3. Πότε μία συνάρτηση είναι 1–1

Πότε μία συνάρτηση δεν είναι 1-1

4. Αντίστροφη συνάρτηση

5. Παρατηρήσεις

6. Τομή γραφικών παραστάσεων \(C_f\) και \(C_{f^{-1}}\)

Γενικά θέματα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ