Μάθημα 03 Μονοτονία συναρτήσεων

Αρχικά γράφουμε τη συνάρτηση σε απλούστερη μορφή: \[ f(x)=\frac{1-x}{x}=\frac{1}{x}-1. \]

Γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση \(\phi(x)=\frac{1}{x}\) είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα \((-\infty,0)\) και \((0,+\infty)\).

Η αφαίρεση μιας σταθεράς δεν επηρεάζει τη μονοτονία μιας συνάρτησης. Επομένως και η \(f(x)=\frac{1}{x}-1\) είναι γνησίως φθίνουσα στα ίδια διαστήματα.

Συμπερασματικά, η \(f\) είναι γνησίως φθίνουσα στα \((-\infty,0)\) και \((0,+\infty)\).

Η συνάρτηση \(\phi(x)=\frac{1}{x}\) είναι γνησίως φθίνουσα στο \((0,+\infty)\).

Επίσης, η συνάρτηση \(\psi(x)=-x\) είναι γνησίως φθίνουσα στο \((0,+\infty)\).

Επειδή άθροισμα γνησίως φθινουσών συναρτήσεων είναι γνησίως φθίνουσα, προκύπτει ότι και η \[ f(x)=\frac{1}{x}-x \] είναι γνησίως φθίνουσα στο \((0,+\infty)\).

α) Έχουμε \[ f(x)=\frac{x^2}{x^2+1} =\frac{x^2+1-1}{x^2+1} =1-\frac{1}{x^2+1}. \]

β) Η συνάρτηση \(\phi(x)=\frac{1}{x^2+1}\) είναι άρτια και για \(x\ge 0\) γνησίως φθίνουσα.

Άρα η \(-\frac{1}{x^2+1}\) είναι γνησίως αύξουσα στο \([0,+\infty)\), και επομένως και η \[ f(x)=1-\frac{1}{x^2+1} \] είναι γνησίως αύξουσα στο \([0,+\infty)\).

Λόγω αρτιότητας, η \(f\) είναι γνησίως φθίνουσα στο \((-\infty,0]\).

α) Οι συναρτήσεις \(x^7\) και \(x\) είναι γνησίως αύξουσες στο \(\mathbb{R}\). Επομένως και το άθροισμά τους \[ f(x)=x^7+x \] είναι γνησίως αύξουσα στο \(\mathbb{R}\).

β) Έχουμε \[ x^7+x^2=x^2(x^5+1)=0. \] Άρα \[ x=0 \quad \text{ή} \quad x=-1. \]

Η \(\ln x\) είναι γνησίως αύξουσα και η \(\frac{1}{x}\) γνησίως φθίνουσα στο \((0,+\infty)\), άρα η \(\frac{\ln x}{x}\) είναι γνησίως φθίνουσα.

Επομένως και η \(f(x)=\frac{2e\ln x}{x}-e\) είναι γνησίως φθίνουσα στο \((0,+\infty)\).

Η εξίσωση \(x\ln x=e(2-\ln x)\) γράφεται \(f(x)=f(e)\). Επειδή η \(f\) είναι γνησίως φθίνουσα, έχει μοναδική λύση: \[ x=e. \]

α) Η συνάρτηση \(e^x\) είναι γνησίως αύξουσα στο \(\mathbb{R}\), ενώ και η συνάρτηση \(x\) είναι επίσης γνησίως αύξουσα.

Επειδή άθροισμα γνησίως αύξουσων συναρτήσεων είναι γνησίως αύξουσα, προκύπτει ότι και η \[ f(x)=e^x+x \] είναι γνησίως αύξουσα στο \(\mathbb{R}\).

β) Η εξίσωση \(x+\ln x=e+1\) γράφεται \[ f(\ln x)=f(1). \] Επειδή η \(f\) είναι γνησίως αύξουσα, προκύπτει \(\ln x=1\), δηλαδή \[ x=e. \]

Από τις ιδιότητες των λογαρίθμων έχουμε \[ \ln(\συν x)-\ln(\ημ x)=\ln\!\left(\frac{\συν x}{\ημ x}\right). \] Επομένως η δοθείσα εξίσωση γράφεται \[ \ln(\εφ x)=\ln\!\left(\frac{\συν x}{\ημ x}\right). \]

Επειδή οι λογάριθμοι έχουν την ίδια βάση και τα ορίσματά τους είναι θετικά στο \(\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\), προκύπτει η ισοδυναμία \[ \εφ x=\frac{\συν x}{\ημ x}. \]

Από τον ορισμό της εφαπτομένης ισχύει \(\εφ x=\frac{\ημ x}{\συν x}\). Άρα \[ \frac{\ημ x}{\συν x}=\frac{\συν x}{\ημ x} \;\Longrightarrow\; \ημ^2 x=\συν^2 x. \]

Στο διάστημα \(\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\) οι συναρτήσεις \(\ημ x\) και \(\συν x\) είναι θετικές, οπότε από την τελευταία σχέση προκύπτει \[ \ημ x=\συν x. \]

Αυτό ισχύει μόνο για \[ x=\frac{\pi}{4}. \]

Έστω \(0

Επιπλέον, από το \(f(0)=0\) και τη γνησία αύξηση της \(f\), προκύπτει ότι \[ \frac{f(x_1)}{x_1}>\frac{f(x_2)}{x_2}. \] (διότι στο μεγαλύτερο \(x\) αντιστοιχεί αναλογικά μικρότερη τιμή του λόγου \(\frac{f(x)}{x}\)).

Άρα για κάθε \(0g(x_2), \] που σημαίνει ότι η συνάρτηση \(g(x)=\frac{f(x)}{x}\) είναι γνησίως φθίνουσα στο \((0,+\infty)\).

Τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων \(f\) και \(g\) ικανοποιούν τη σχέση \[ f(x)=g(x). \] Δηλαδή πρέπει να ισχύει \[ x^5+2x-2=x. \]

Η παραπάνω εξίσωση ισοδυναμεί με \[ x^5+x-2=0. \] Θέτουμε \[ h(x)=x^5+x-2. \]

Η συνάρτηση \(x^5\) είναι γνησίως αύξουσα στο \(\mathbb{R}\), όπως και η συνάρτηση \(x\). Επομένως το άθροισμά τους, και άρα και η συνάρτηση \(h(x)=x^5+x-2\), είναι γνησίως αύξουσα στο \(\mathbb{R}\).

Υπολογίζουμε \[ h(1)=1^5+1-2=0. \] Επειδή η \(h\) είναι γνησίως αύξουσα, η εξίσωση \(h(x)=0\) έχει μοναδική λύση, την \(x=1\).

Για \(x=1\) έχουμε \[ f(1)=1 \quad \text{και} \quad g(1)=1. \] Άρα οι γραφικές παραστάσεις των \(f\) και \(g\) τέμνονται μόνο στο σημείο \[ M(1,1). \]

α) Έστω \(x_1

β) Από τη σχέση \(f(x)-g(x)=x-10\) προκύπτει \[ f(x)=g(x)+x-10. \] Άρα \[ f(1)-f(0)=[g(1)-g(0)]+(1-0). \]

Επειδή \(1-0=1>0\), έχουμε \[ f(1)-f(0)>g(1)-g(0). \] Ισοδύναμα, \[ f(1)-f(0)>g(0)-g(1). \]

Η συνάρτηση \(f(x)\) ορίζεται όταν ο παρονομαστής της δεν μηδενίζεται, δηλαδή όταν \[ e^x-1\neq 0. \]

Έχουμε \[ e^x-1=0 \;\Longleftrightarrow\; e^x=1 \;\Longleftrightarrow\; x=0. \]

Επομένως η συνάρτηση δεν ορίζεται για \(x=0\), ενώ ορίζεται για κάθε άλλη πραγματική τιμή του \(x\).

Άρα το πεδίο ορισμού της \(f\) είναι \[ D_f=\mathbb{R}\setminus\{0\}=\mathbb{R}^*. \]

α) Από την υπόθεση ισχύει για κάθε \(x\in\mathbb{R}\) \[ x\le f(f(x))\le f(x). \] Στη σχέση αυτή αντικαθιστούμε το \(x\) με το \(f(x)\). Τότε παίρνουμε \[ f(x)\le f(f(x))\le f(x). \]

Από την τελευταία διπλή ανισότητα προκύπτει αναγκαστικά ότι \[ f(f(x))=f(x), \quad \text{για κάθε } x\in\mathbb{R}. \]

β) Αν η \(f\) είναι γνησίως αύξουσα και ισχύει \(f(f(x))=f(x)\), τότε από τη μονοτονία της \(f\) προκύπτει \[ f(x)=x, \quad \text{για κάθε } x\in\mathbb{R}. \]

Άρα η μοναδική συνάρτηση που ικανοποιεί τις παραπάνω συνθήκες είναι \[ f(x)=x. \]

α) Θεωρούμε τη συνάρτηση \[ g(t)=t^3+t. \] Η \(g\) είναι γνησίως αύξουσα στο \(\mathbb{R}\), επειδή για \(t_1

Από τη δοθείσα σχέση έχουμε \[ g(f(x))=2x. \] Επειδή η \(g\) είναι γνησίως αύξουσα και η συνάρτηση \(2x\) είναι επίσης γνησίως αύξουσα, προκύπτει ότι και η \(f\) είναι γνησίως αύξουσα στο \(\mathbb{R}\).

β) Θέτουμε \(x=1\) στη σχέση \(f^3(x)+f(x)=2x\). Τότε παίρνουμε \[ f^3(1)+f(1)=2. \] Επειδή η \(f\) είναι γνησίως αύξουσα, η παραπάνω εξίσωση έχει μοναδική λύση, την \[ f(1)=1. \]

γ) Η ανίσωση \[ 2f^2(x)-2>0 \] ισοδυναμεί με \[ f^2(x)>1 \;\Longleftrightarrow\; |f(x)|>1. \]

Επειδή η \(f\) είναι γνησίως αύξουσα και \(f(1)=1\), έχουμε:
\(\;f(x)>1 \Longleftrightarrow x>1\) και \(\;f(x)<-1 \Longleftrightarrow x<-1\).

Άρα η λύση της ανίσωσης είναι \[ x<-1 \quad \text{ή} \quad x>1. \]

α) Επειδή η \(f\) είναι γνησίως μονότονη, είναι είτε γνησίως αύξουσα είτε γνησίως φθίνουσα.

Από το \(3<5\) και τις τιμές \(f(3)=2\), \(f(5)=10\), παρατηρούμε ότι \(2<10\). Άρα η \(f\) δεν μπορεί να είναι γνησίως φθίνουσα.

Επομένως η \(f\) είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της.

β) Από τη δοθείσα εξίσωση \[ f(x+2)+2=f(5) \] προκύπτει \[ f(x+2)=f(3). \]

Επειδή η \(f\) είναι γνησίως αύξουσα, από την ισότητα \(f(x+2)=f(3)\) έπεται ότι \[ x+2=3. \] Άρα \[ x=1. \]

γ) Η ανίσωση \[ f^2(x)-12f(x)+20>0 \] ισοδυναμεί με \[ (f(x)-2)(f(x)-10)>0. \]

Από την παραπάνω ανίσωση έχουμε \[ f(x)<2 \quad \text{ή} \quad f(x)>10. \]

Επειδή η \(f\) είναι γνησίως αύξουσα, από τις σχέσεις \(f(x)<2=f(3)\) και \(f(x)>10=f(5)\) προκύπτει αντίστοιχα \[ x<3 \quad \text{ή} \quad x>5. \]

α) Η συνάρτηση \(f\) είναι γνησίως αύξουσα από υπόθεση. Επίσης, η εκθετική συνάρτηση \(e^x\) είναι γνησίως αύξουσα στο \(\mathbb{R}\), ενώ η αφαίρεση της σταθεράς \(1\) δεν μεταβάλλει τη μονοτονία.

Επομένως, το άθροισμα των γνησίως αύξουσων συναρτήσεων \(f(x)\) και \(e^x-1\) είναι επίσης γνησίως αύξουσα. Άρα η συνάρτηση \[ F(x)=f(x)+e^x-1 \] είναι γνησίως αύξουσα στο \(\mathbb{R}\).

β) Υπολογίζουμε την τιμή της \(F\) στο \(x=0\): \[ F(0)=f(0)+e^0-1. \] Επειδή η \(f\) είναι περιττή, ισχύει \(f(0)=0\), ενώ \(e^0-1=0\). Άρα \[ F(0)=0. \]

Εφόσον η \(F\) είναι γνησίως αύξουσα και μηδενίζεται στο \(x=0\), προκύπτει ότι \[ F(x)>0 \quad \text{για } x>0, \] και \[ F(x)<0 \quad \text{για } x<0. \]

Παρατηρούμε ότι \(\frac{2}{5}<1\) και \(\frac{3}{5}<1\). Επομένως οι εκθετικές συναρτήσεις \(\left(\frac{2}{5}\right)^x\) και \(\left(\frac{3}{5}\right)^x\) είναι γνησίως φθίνουσες στο \(\mathbb{R}\).

Άθροισμα γνησίως φθινουσών συναρτήσεων είναι επίσης γνησίως φθίνουσα, άρα και η συνάρτηση \(f\) είναι γνησίως φθίνουσα στο \(\mathbb{R}\).

α) Επειδή η \(f\) είναι γνησίως φθίνουσα, η εξίσωση \(f(x)=f(1)\) έχει μοναδική λύση. Επομένως \[ x=1. \]

β) Αντίστοιχα, η εξίσωση \(f(x)=f(0)\) έχει μοναδική λύση, η οποία είναι \[ x=0. \]

γ) Η εξίσωση \(f(2x)=f(x)\), λόγω της γνησίας μονοτονίας της \(f\), ισοδυναμεί με \[ 2x=x. \] Άρα \[ x=0. \]